第7課時(shí)-第三章-第二節(jié)-測(cè)量不確定度的評(píng)定與表示

（四)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算無(wú)論各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量是由a類評(píng)定還是b類評(píng)定得到，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是由各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到的。測(cè)量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度用符號(hào)表示。1.測(cè)量不確定度的傳播律當(dāng)被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果y的數(shù)學(xué)模型為線性函數(shù)y=(x1,x2,……xn)時(shí)，測(cè)量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)按式(3－64)計(jì)算，此式稱為“不確定度傳播律”。

（3—64）式中：y——輸出量的估計(jì)值，即被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果；

xi，xj——輸入量的估計(jì)值，i≠j；n——輸入量的數(shù)量；——偏導(dǎo)數(shù)，又稱靈敏系數(shù)，可表示為ci，cj；u(xi），u(xj）——輸入量xi和xj的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

r（xi，xj）——輸入量xi與xj的相關(guān)系數(shù)估計(jì)值；注：當(dāng)數(shù)學(xué)模型為非線性函數(shù)時(shí)，可采用泰勒級(jí)數(shù)展開，舍去高次項(xiàng)后得到近似的線性函數(shù)。

（四)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算無(wú)論各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量是由a類評(píng)定還是b類評(píng)定得到，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是由各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到的。測(cè)量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度用符號(hào)表示。1.測(cè)量不確定度的傳播律當(dāng)被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果y的數(shù)學(xué)模型為線性函數(shù)y=(x1,x2,……xn)時(shí)，測(cè)量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)按式(3－64)計(jì)算，此式稱為“不確定度傳播律”。

（3—64）式中：y——輸出量的估計(jì)值，即被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果；

xi，xj——輸入量的估計(jì)值，i≠j；n——輸入量的數(shù)量；——偏導(dǎo)數(shù)，又稱靈敏系數(shù)，可表示為ci，cj；u(xi），u(xj）——輸入量xi和xj的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

r（xi，xj）——輸入量xi與xj的相關(guān)系數(shù)估計(jì)值；注：當(dāng)數(shù)學(xué)模型為非線性函數(shù)時(shí)，可采用泰勒級(jí)數(shù)展開，舍去高次項(xiàng)后得到近似的線性函數(shù)。(2)當(dāng)被測(cè)量的函數(shù)形式為：y=a1x1+a2x2+…+anxn，且各輸入量間不相關(guān)時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3－69)

(3)當(dāng)被測(cè)量的函數(shù)形式為y=a(x1p1

x2p2…xnpn)且各輸入量間不相關(guān)時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3－70)如果式(3－70)中pi=1，則被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是各輸入量的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方和根值

(3－71)

3.輸入量間相關(guān)系數(shù)均為+1時(shí)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定當(dāng)所有輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3～72)當(dāng)所有輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為+1，靈敏系數(shù)為1時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3～73)由此可見，當(dāng)輸入量都正強(qiáng)相關(guān)，且靈敏系數(shù)均為1時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是各輸入量標(biāo)準(zhǔn)確定度分量的代數(shù)和。也就是說(shuō)，強(qiáng)相關(guān)時(shí)不再是方和根法合成。【案例】看看如下不確定度評(píng)定是否合適：某計(jì)量檢定機(jī)構(gòu)在評(píng)定某臺(tái)計(jì)量?jī)x器的重復(fù)性sr時(shí)，通過(guò)對(duì)某穩(wěn)定的量q重復(fù)觀測(cè)了n次，按貝賽爾公式，計(jì)算出任意觀測(cè)值qk的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(qk)=0.5，然后，考慮該儀器讀數(shù)分辨力δq=1.0，由分辨力導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(q)=0.29δq=0.29×1.0=0.29將s(qk)與u(q)合成，作為儀器示值的重復(fù)性不確定度ur(qk)

【案例分析】重復(fù)性條件下，示值的分散性既決定于儀器結(jié)構(gòu)和原理上的隨機(jī)效應(yīng)的影響，也決定于分辨力。依據(jù)jjfl059一1999第6.11節(jié)指出：“同一種效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度已作為一個(gè)分量進(jìn)入uc(y)時(shí)，它不應(yīng)再包含在另外的分量中”。該機(jī)構(gòu)的這一評(píng)定方法，出現(xiàn)了對(duì)分辨力導(dǎo)致的不確定度分量的重復(fù)計(jì)算，因?yàn)樵诎簇惾麪柗椒ㄟM(jìn)行的重復(fù)觀測(cè)中的每一個(gè)示值，都無(wú)例外地已受到分辨力影響導(dǎo)致測(cè)量值q的分散，面在s(qk)中已包含了δq效應(yīng)導(dǎo)致的結(jié)果，而不必再u(q)與s(qk)合成為ur(qk)。該機(jī)構(gòu)采取這二者合成作為ur(qk)是不對(duì)的。有些情況下，有些儀器的分辨力很差，以致分辨不出示值的變化。在實(shí)驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)重復(fù)性小，即：s(qk)≤u(q)。特別是用非常穩(wěn)定的信號(hào)源測(cè)量數(shù)字顯示式測(cè)量?jī)x器，在多次對(duì)同一量的測(cè)量中，示值不變或個(gè)別的變化甚小，反而不如u(q)大。在這一情況下，應(yīng)考慮分辨力導(dǎo)致的測(cè)量不確定度分量，即在s(qk)與u(q)兩個(gè)中，取其中一個(gè)較大者，而不能同時(shí)納入。【案例分析】重復(fù)性條件下，示值的分散性既決定于儀器結(jié)構(gòu)和原理上的隨機(jī)效應(yīng)的影響，也決定于分辨力。依據(jù)jjfl059一1999第6.11節(jié)指出：“同一種效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度已作為一個(gè)分量進(jìn)入uc(y)時(shí)，它不應(yīng)再包含在另外的分量中”。該機(jī)構(gòu)的這一評(píng)定方法，出現(xiàn)了對(duì)分辨力導(dǎo)致的不確定度分量的重復(fù)計(jì)算，因?yàn)樵诎簇惾麪柗椒ㄟM(jìn)行的重復(fù)觀測(cè)中的每一個(gè)示值，都無(wú)例外地已受到分辨力影響導(dǎo)致測(cè)量值q的分散，面在s(qk)中已包含了δq效應(yīng)導(dǎo)致的結(jié)果，而不必再u(q)與s(qk)合成為ur(qk)。該機(jī)構(gòu)采取這二者合成作為ur(qk)是不對(duì)的。有些情況下，有些儀器的分辨力很差，以致分辨不出示值的變化。在實(shí)驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)重復(fù)性小，即：s(qk)≤u(q)。特別是用非常穩(wěn)定的信號(hào)源測(cè)量數(shù)字顯示式測(cè)量?jī)x器，在多次對(duì)同一量的測(cè)量中，示值不變或個(gè)別的變化甚小，反而不如u(q)大。在這一情況下，應(yīng)考慮分辨力導(dǎo)致的測(cè)量不確定度分量，即在s(qk)與u(q)兩個(gè)中，取其中一個(gè)較大者，而不能同時(shí)納入。例如：一個(gè)振蕩器的頻率與環(huán)境溫度可能有關(guān)，則可以把頻率f和環(huán)境溫度t作為兩個(gè)輸入量，即xi=t，xj=f，同時(shí)觀測(cè)每個(gè)溫度下的頻率值，得到一組tk，fk數(shù)據(jù)，共觀測(cè)n組，k=1，2，…，n。計(jì)算算術(shù)平均值，則由下式可以計(jì)算它們的協(xié)方差如果協(xié)方差為零，說(shuō)明頻率與溫度無(wú)關(guān)，如果協(xié)方差不為零，就顯露出它們間的相關(guān)程度。

(3)用同時(shí)觀測(cè)兩個(gè)量的方法確定相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值根據(jù)對(duì)x和y兩個(gè)量同時(shí)測(cè)量的n組測(cè)量數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值按式(3－75)計(jì)算

(3—75)式中，s(x)和s(y)分別為x和y的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

(4)用經(jīng)驗(yàn)公式估計(jì)相關(guān)系數(shù)如果兩個(gè)輸入量xi，xj相關(guān)，xi變化會(huì)使xj相應(yīng)變化變化，則xi和xj的相關(guān)系數(shù)可用經(jīng)驗(yàn)公式(3－76)估計(jì)

(3—76)式中，u(xi）和u(xj）分別為xi和xj的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。(5)采用適當(dāng)方法去除相關(guān)性①將引起相關(guān)的量作為獨(dú)立的附加輸入量進(jìn)入數(shù)學(xué)模型例如xi和xj原來(lái)是不相關(guān)的兩個(gè)量，但都需要做溫度修正，若用同一個(gè)溫度計(jì)測(cè)量溫度，則如果該溫度計(jì)示值偏大，兩者的修正值同時(shí)受影響，即存在xi=f（t），xj=g（t），所以y=f(xi，xj)中兩個(gè)輸入量xi與xj成為相關(guān)的了。只要在數(shù)學(xué)模型中把溫度t作為獨(dú)立的附加輸入量，即y=f(xi，xj，t)，該附加輸入量具有與上述兩個(gè)量不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。則在計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)就不需再引入xi與xj的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)了。②采取有效措施變換輸入量例如在量塊校準(zhǔn)中校準(zhǔn)值的不確定度分量中包括標(biāo)準(zhǔn)量塊的溫度θs及被校量塊的溫度θ兩個(gè)輸入量，即l=f(θs，θ)。由于兩個(gè)量塊處在同一實(shí)驗(yàn)室的同一臺(tái)測(cè)量裝置上，溫度θs與θ是相關(guān)的。但只要把θ變換為，使數(shù)學(xué)模型中只有被校量塊與標(biāo)準(zhǔn)量塊的溫度差么與標(biāo)準(zhǔn)量塊的溫度作為兩個(gè)輸入量時(shí)，這兩個(gè)輸入量間就不相關(guān)了，即中不相關(guān)。

5.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度的計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)的自由度稱為有效自由度，用符號(hào)veff表示。在以下情況時(shí)需要計(jì)算有效自由度veff（1）

當(dāng)需要評(píng)定up時(shí)為求得kp而必須計(jì)算的自由度veff；（2）

當(dāng)用戶為了解所評(píng)定的不確定度的可靠程度而提出要求時(shí)。有效自由度的計(jì)算公式:

(3－77)當(dāng)測(cè)量模型為時(shí)，有效自由度可用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的形式計(jì)算，式3－78

(3－78)實(shí)際計(jì)算中，得到的有效自由度veff不一定是一個(gè)整數(shù)。如果不是整數(shù)，可以采用將veff數(shù)字舍位到最接近的一個(gè)較低的整數(shù)。例如計(jì)算得到veff=12.65，則取veff=12。

有效自由度計(jì)算舉例：

設(shè)y=f(x1

,x2,x3)=bx1

x2x3，x1

,x2,x3的估計(jì)值x1

,x2,x3分別是nl，n2

，n3次測(cè)量的算術(shù)平均值，n2=10，n2=5，n3=15。它們的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為：u(x1）/x1=0.25%

，u(x2）/x2=0.57%，u(x3）/x3=0.82%這種情況下合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其有效自由度為

6.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算流程合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算流程如圖3－16所示。

圖3－16合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算流程圖(五)擴(kuò)展不確定度的確定1.確定擴(kuò)展不確定度的流程

圖3－17確定擴(kuò)展不確定度的流程圖2.擴(kuò)展不確定度u的評(píng)定方法

(1)擴(kuò)展不確定度以由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u

c乘包含因子k得到u=kuc

(3—79)測(cè)量結(jié)果可表示為：y=y±u；y是被測(cè)量y的最佳估計(jì)值，被測(cè)量y的可能值以較高的包含概率落在[y－u，y+u]區(qū)間內(nèi)，即y－u≤y≤y+u，擴(kuò)展不確定度u是該統(tǒng)計(jì)包含區(qū)間的半寬度。

(2)包含因子k的選取包含因子k的值是根據(jù)u=kuc所確定的區(qū)間y±u需具有的置信水平來(lái)選取。k值一般取2或3。當(dāng)取其他值時(shí)，應(yīng)說(shuō)明其來(lái)源。為了使所有給出的測(cè)量結(jié)果之間能夠方便地相互比較，在大多數(shù)情況下取k=2。當(dāng)接近正態(tài)分布時(shí)，測(cè)量值落在由以所給出的統(tǒng)計(jì)包含區(qū)間內(nèi)的概率為：

若k=2，則由u=2uc所確定的區(qū)間具有的包含概率(置信水平)約為95%。

若k=3，則由u=3uc所確定的區(qū)間具有的包含概率(置信水平)約為99%以上。當(dāng)給出擴(kuò)展不確定度u時(shí)，應(yīng)注明所取得k值。3.明確規(guī)定包含概率時(shí)擴(kuò)展不確定度up的評(píng)定方法當(dāng)要求擴(kuò)展不確定度所確定的區(qū)間具有接近于規(guī)定的包含概率p時(shí)，擴(kuò)展不確定度用符號(hào)up表示

up=kp

uc

(3—80)kp是包含概率為p時(shí)的包含因子。

(1)接近正態(tài)分布時(shí)kp的確定根據(jù)中心極限定理，當(dāng)不確定度分量很多，且每個(gè)分量對(duì)不確定度的影響都不大時(shí)，其合成分布接近正態(tài)分布，此時(shí)若以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果y，通?？杉僭O(shè)概率分布為t分布，可以取kp值為t值。即kp=tp(veff)

(3—81)根據(jù)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)的有效自由度veff和需要的置信水平p，查表得到的t值即置信水平為p的包含因子kp。擴(kuò)展不確定度up=kp

uc(y)提供了一個(gè)具有包含概率(置信水平)為p的區(qū)間y±up。獲得kp的計(jì)算步驟為：①先求得測(cè)量結(jié)果y及其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)。②按式(3－82)計(jì)算uc(y)的有效自由度veff

(3－82)式中，ci為靈敏系數(shù)，u(xi)為輸入量xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，vi為u(xi)的自由度。當(dāng)u(xi)為a類標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，是由n次觀測(cè)得到的s(x)或，其自由度為vi=n—1；當(dāng)u(xi)為b類標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，用式(3－83)估計(jì)自由度vi

(3－83)

式中，δu(xi)/u(xi)是標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)的相對(duì)不確定度，是所評(píng)定的u(xi)的不可靠程度。在實(shí)際工作中，b類標(biāo)準(zhǔn)不確定度通常根據(jù)區(qū)間[－a,a]的信息來(lái)評(píng)定。若可假設(shè)被測(cè)量值落在區(qū)間外的概率極小，則可認(rèn)為u(xi)的評(píng)定是很可靠的，即δu(xi)/u(xi)

0，此時(shí)，可假設(shè)u(xi)的自由度vi

∞。③據(jù)要求的置信水平p和計(jì)算得到的有效自由度veff，查t分布的t值表得到tp(veff)值。④取kp=tp(veff)，并計(jì)算up=kp

uc。【案例】某測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.0lmm，其有效自由度為9；要求給出其擴(kuò)展不確定度up，由該擴(kuò)展不確定度所確定的區(qū)間具有包含概率為p=95%?！景咐治觥扛鶕?jù)確定up的步驟，計(jì)算如下：①已知uc(y)=0.0lmm，uc(y)的有效自由度veff=9；②要求p=95%=0.95，根據(jù)p和veff，查t分布值表，得到t(0.95，9)=2.26；③則kp=t(0.95，9)=2.26；④計(jì)算up，up=kp

uc=2.26×0.0lmm=0.023mm；⑤所以，該測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度u95=0.023mm

(kp

=2.26)

(2)當(dāng)合成分布為非正態(tài)分布時(shí)kp的選?。私猓┤绻淮_定度分量很少，且其中有一個(gè)分量起主要作用，合成分布就主要取決于此分量的分布，可能為非正態(tài)分布。①當(dāng)要求確定up，而合成的概率分布為非正態(tài)分布時(shí)，應(yīng)根據(jù)概率分布確定kp值。②實(shí)際上，當(dāng)合成分布接近均勻分布時(shí)，為了便于測(cè)量結(jié)果間進(jìn)行比較，有時(shí)約定仍取k為2。這種情況下給出擴(kuò)展不確定度時(shí)，包含概率遠(yuǎn)大于0.95，所以此時(shí)應(yīng)注明k的值，但不必注明p的值。

知識(shí)點(diǎn)、表示不確定度的符號(hào)(2)當(dāng)合成分布為非正態(tài)分布時(shí)kp的選?。私猓┤绻淮_定度分量很少，且其中有一個(gè)分量起主要作用，合成分布就主要取決于此分量的分布，可能為非正態(tài)分布。①當(dāng)要求確定up，而合成的概率分布為非正態(tài)分布時(shí)，應(yīng)根據(jù)概率分布確定kp值。②實(shí)際上，當(dāng)合成分布接近均勻分布時(shí)，為了便于測(cè)量結(jié)果間進(jìn)行比較，有時(shí)約定仍取k為2。這種情況下給出擴(kuò)展不確定度時(shí)，包含概率遠(yuǎn)大于0.95，所以此時(shí)應(yīng)注明k的值，但不必注明p的值。知識(shí)點(diǎn)、gum法及蒙特卡洛法1.

gum法通過(guò)不確定傳播率計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，從而得到被測(cè)量估計(jì)值的測(cè)量不確定度的方法成為gum法，即不確定度指南的方法。gum法的使用詳見jjf1059.1－2012《測(cè)量不確定度表示與評(píng)定》。gum法主要適用條件：（1）

可以假設(shè)輸入量的概率分布呈對(duì)稱分布；（2）

可以假設(shè)輸入量的概率分布近似為正態(tài)分布或t分布；（3）

測(cè)量模型為線性模型、可以轉(zhuǎn)換為線性的模型或可用線性模型近似的模型。

2.蒙特卡洛法當(dāng)不能滿足上述gum法的適用條件時(shí)，可考慮采用蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度。jjf1059.1－2012《測(cè)量不確定度表示與評(píng)定》中還規(guī)定：有時(shí)雖然gum法的適用條件不完全滿足，當(dāng)用gum法評(píng)定的結(jié)果得到蒙特卡洛法驗(yàn)證時(shí)，依然可用gum法評(píng)定測(cè)量不確定度。因此gum法依然是評(píng)定測(cè)量不確定度的最基本方法。蒙特卡洛法簡(jiǎn)稱mcm，mcm是采用概率分布傳播的方法，即通過(guò)對(duì)輸入量xi的概率密度