量表的因子分析-8-3

因子分析（FactAnalysis）因子分析是多元統(tǒng)計(jì)技術(shù)的一個(gè)分支，其目的是濃縮數(shù)據(jù)。它通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)假想變量（公共因子）來(lái)表示基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這些假想變量能夠反映原來(lái)眾多的觀測(cè)變量所代表的主要信息，并解釋這些觀測(cè)變量之間的相互依存關(guān)系，將這些假想變量稱為基礎(chǔ)變量，即因子（Factors）。因子分析就是研究如何以最少的信息丟失把眾多的觀測(cè)變量濃縮為少數(shù)幾個(gè)因子的過(guò)程。兩個(gè)主要應(yīng)用尋求基本結(jié)構(gòu)、檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)效度——在多元分析中，經(jīng)常碰到觀測(cè)變量很多且變量之間存在著較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系的情形，這不僅給問(wèn)題的分析和描述帶來(lái)一定困難，而且在使用某些統(tǒng)計(jì)方法時(shí)會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化——通過(guò)因子分析把一組觀測(cè)變量化為少數(shù)幾個(gè)因子后，可以進(jìn)一步將原始觀測(cè)變量的信息轉(zhuǎn)換成這些因子的因子值，然后用這些因子代替原來(lái)的觀測(cè)變量進(jìn)行其他統(tǒng)計(jì)分析，如回歸分析、路徑分析、判別分析和聚類(lèi)分析，利用因子值也可以直接對(duì)樣本進(jìn)行分類(lèi)和綜合評(píng)價(jià)。因子分析的基本假設(shè)，是因子隱含在許多可觀察的現(xiàn)實(shí)事物的背后。雖然難以直接測(cè)量，但是可以從復(fù)雜的外在現(xiàn)象中計(jì)算、估計(jì)。其數(shù)學(xué)原理的共變的抽取。也就是說(shuō)，受到同一個(gè)因子影響的測(cè)量分?jǐn)?shù)，共同相關(guān)的部分就是因子所在的部分。因子的提取也是根據(jù)共同相關(guān)的得分而決定。一般說(shuō)來(lái)，研究者事先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)背后存在多少個(gè)因子、因子如何抽取、因子的內(nèi)容以及變量的分類(lèi)等一無(wú)所知，未有任何事前的假定，而由因子分析的過(guò)程來(lái)決定。這種類(lèi)型的應(yīng)用稱為探索性因子分析（EFA），因子分析的大部分應(yīng)用都屬于這種類(lèi)型。探索性因子分析（ExploratoryFactorAnalysis;EFA）有的情況下，研究者根據(jù)某些理論或其他先驗(yàn)知識(shí)可能對(duì)因子的個(gè)數(shù)或因子的結(jié)構(gòu)作出假設(shè)，因子分析也可以用來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)，作為證實(shí)假設(shè)的工具，這種類(lèi)型的應(yīng)用稱為證實(shí)性（CFA）因子分析。證實(shí)性因子分析（ConfirmatoryFactorAnalysis;CFA）探索性因子分析步驟第一步：通過(guò)共變關(guān)系的分解，找出最低限度的主要成分（principalcomponent）或共同因子（commonfactor）。第二步：探討這些主成分或共同因子與個(gè)別的變量的關(guān)系，找出觀測(cè)變量與其相對(duì)應(yīng)因子的強(qiáng)度，即因子負(fù)荷值或負(fù)載值（factorloading），以說(shuō)明因子與所屬的觀察變量的關(guān)系與強(qiáng)度。第三步：決定因子的內(nèi)容，為因子取一個(gè)合適的名字。因子分析的條件

因子分析的變量都必須是連續(xù)變量，符合線性相關(guān)的假設(shè)。順序與類(lèi)別變量不得使用因子分析簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)。抽樣的過(guò)程必須具有隨機(jī)性，并具有一定的規(guī)模。如果研究的總體具有較高的同質(zhì)性（如學(xué)生樣本），變量數(shù)目不多，樣本數(shù)可以介于100~200之間；Gorsuch（1983）建議樣本數(shù)最少為變量數(shù)的5倍，且大于100。因子分析的原理1.因子分析模型因子分析模型在形式上和多元回歸模型相似，每個(gè)觀測(cè)變量由一組因子的線性組合來(lái)表示。上式中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，……Fm叫公共因子（Commonfactors），它們是各個(gè)觀測(cè)變量所共有的因子，解釋了變量之間的相關(guān)。Ui稱為特殊因子(Uniquefactor)，它是每個(gè)觀測(cè)變量所特有的因子，相當(dāng)于多元回歸中的殘差項(xiàng)，表示該變量不能被公共因子所解釋的部分。aim稱為因子負(fù)載(Factorloading)，它是第i個(gè)變量在m個(gè)公共因子上的負(fù)載，相當(dāng)于多元回歸分析中的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)。因子分析的數(shù)學(xué)原理（相關(guān)矩陣）因子分析的基礎(chǔ)是變量之間的相關(guān)。分析相關(guān)矩陣代表的意義。如果“自尊”用Y來(lái)表示，其他10個(gè)選項(xiàng)的分?jǐn)?shù)以X1到X10表示，則Y的得分可以用以下數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)得到：Y=b1X1+b2X2+b3X3+……+b10X10+U因子分析中的因子負(fù)載（負(fù)荷）因子負(fù)荷是因子分析中的最重要的統(tǒng)計(jì)量，它是連接觀測(cè)變量和公共因子之間的紐帶。因子負(fù)荷不僅表示觀測(cè)變量如何由因子線性表示的，而且也反映了因子和變量之間的相關(guān)關(guān)系。假如我們得到了5個(gè)觀測(cè)變量、2個(gè)公共因子的情形：X1=0.9562F1+0.2012F2+0.2126U1X2=0.8735F1+0.2896F2+0.3913U2X3=0.1744F1+0.8972F2+0.4057U3X4=0.5675F1+0.7586F2+0.3202U4X5=0.8562F1+0.3315F2+0.3962U5可以看出，公共因子F1與變量X1、X2、X4、X5關(guān)系密切，它主要代表了這些變量的信息。F2與變量X3、X4關(guān)系密切，它主要代表了這兩個(gè)變量的信息。F1F2hi2X10.95620.20120.9548X20.87350.28960.8469X30.17440.89720.8354X40.56750.75860.8975X50.85620.33150.8430hi2=ai12+ai22+……+aim2（i=1,2,……p）表明F1和F2兩個(gè)因子解釋了X1變量信息的95.48%。公共因子方差（Communality），或共同度指觀測(cè)變量方差中由公共因子決定的比例。變量的方差由兩部分組成，一部分由公共因子決定，一部分由特殊因子決定（即殘差）。公共因子方差表示原始變量方差能被公共因子所解釋的部分，共同度越大，變量能被因子說(shuō)明的程度越高。一個(gè)原始變量的共同度等于因子負(fù)荷矩陣中該變量所在行的所有元素的平方和。對(duì)上例，計(jì)算出每個(gè)變量的公共因子方差為：共同度這個(gè)指標(biāo)以觀測(cè)量為中心，其意義在于說(shuō)明如果用公共因子替代觀測(cè)變量后，原來(lái)的每個(gè)變量的信息被保留的程度。因子貢獻(xiàn)（Contributions）特征值（eigenvalue）一個(gè)因子的特征值等于因子負(fù)荷矩陣中該變量所在列的所有元素的平方和，表示該因子所能解釋的方差。因子Fj所能解釋的方差所占的比例叫做該因子的貢獻(xiàn)率。其計(jì)算公式為：

F1F2hi2X10.95620.20120.9548X20.87350.28960.8469X30.17440.89720.8354X40.56750.75860.8975X50.85620.33150.8430特征值：2.76281.614684Fj貢獻(xiàn)率：0.5520.323表明第一個(gè)因子F1解釋了所有變量總方差的55%，第二個(gè)變量解釋了上述總方差的32%，兩個(gè)因子一共解釋了總方差的87%。因子分析的主要步驟：第一步：計(jì)算所有變量的相關(guān)矩陣。相關(guān)矩陣是因子分析直接要用的數(shù)據(jù)，根據(jù)相關(guān)矩陣還應(yīng)該進(jìn)一步判斷應(yīng)用因子分析方法是否合適。第二步：提取因子。這一步是確定因子的個(gè)數(shù)和求因子解的方法。第三步：是進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)。這一步的目的是通過(guò)坐標(biāo)軸變換使因子解的實(shí)際意義更容易解釋。第四步：計(jì)算因子值。因子值是各個(gè)因子在每個(gè)觀測(cè)量上的得分，有了因子值可以在其他的分析中使用這些因子。前提是觀測(cè)變量之間應(yīng)該有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。如果變量之間的相關(guān)程度很小的話，他們不可能共享因子。所以，計(jì)算出相關(guān)矩陣后，應(yīng)對(duì)相關(guān)矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，如果相關(guān)矩陣的大部