高中數(shù)學(xué)-空間中的垂直關(guān)系

第5課時(shí)空間中的垂直關(guān)系2014高考導(dǎo)航考綱展示備考指南1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.垂直關(guān)系的判斷多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，主要考查對(duì)概念、公理、定理、性質(zhì)、結(jié)論的理解及運(yùn)用，往往與命題及平行關(guān)系綜合在一起考查，難度較?。?.線面垂直、面面垂直的證明及運(yùn)算常以解答題的形式出現(xiàn)，且常與平行關(guān)系綜合命題，難度中等.本節(jié)目錄教材回顧夯實(shí)雙基考點(diǎn)探究

講練互動(dòng)名師講壇精彩呈現(xiàn)知能演練輕松闖關(guān)教材回顧夯實(shí)雙基1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面α內(nèi)的________直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．任何(2)直線與平面垂直的判定定理及推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的_________都垂直，則該直線與此平面垂直相交直線l⊥al⊥ba∩b＝Oa?α，b?α(2)直線與平面垂直的判定定理及推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也_____這個(gè)平面垂直a∥ba⊥α(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_________平行a⊥αb⊥α2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的________，則這兩個(gè)平面垂直垂線l⊥αl?β(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于______的直線垂直于另一個(gè)平面交線α⊥βl?βl⊥a

α∩β＝a3．線面角和二面角的概念(1)直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．當(dāng)直線與平面垂直和平行(含直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.(2)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的_____________所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作_____________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．兩個(gè)半平面垂直于棱課前熱身1.如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是(

)A．平行B．垂直但不相交C．異面D．相交但不垂直答案：B2．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是(

)A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m⊥β，m∥α，則α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β答案：B3．(教材習(xí)題改編)△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是__________．答案：44．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)當(dāng)滿足條件________時(shí)，有m∥β；(2)當(dāng)滿足條件________時(shí)，有m⊥β.(填所選條件的序號(hào))答案：(1)③⑤

(2)②⑤考點(diǎn)探究講練互動(dòng)例1【解】

(1)證明：由于AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，故AB⊥PH.∵PH為△PAD中AD邊上的高，故AD⊥PH.∵AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.(3)證明：如圖，過(guò)E作EG∥AB交PA于G，連接DG.∵E為PB的中點(diǎn)，∴G為PA的中點(diǎn)．∵DA＝DP，故△DPA為等腰三角形，∴DG⊥PA.【名師點(diǎn)評(píng)】

(1)在證明垂直關(guān)系時(shí)，要注意線面垂直與面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)要注意通過(guò)作輔助線進(jìn)行這種轉(zhuǎn)化．(2)解答與垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要重視對(duì)圖形的觀察與分析，從中找到線線垂直往往是解題的關(guān)鍵，因?yàn)樗械拇怪眴?wèn)題都可轉(zhuǎn)化為線線垂直來(lái)處理．跟蹤訓(xùn)練證明：(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.例2【證明】

(1)因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.【名師點(diǎn)評(píng)】證明面面垂直時(shí)一般先證線面垂直，確定這條直線時(shí)可從圖中現(xiàn)有的直線中去尋找，若圖中不存在這樣的直線，則應(yīng)通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造．跟蹤訓(xùn)練2.(2011·高考江蘇卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.證明：(1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.例3【解】

(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，QE，PD，則PQ∥BC.因?yàn)镈E∥