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數(shù)學(xué)教學(xué)論鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)教育研究所數(shù)學(xué)教學(xué)論鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系112數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)概念教學(xué)的基本要求和教學(xué)方法12數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)數(shù)學(xué)概念概述2數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念的意義

反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式叫做“數(shù)學(xué)概念”?!皩傩浴迸c“本質(zhì)屬性”;概念及其名稱和符號數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展的途徑(1)從現(xiàn)實模型直接得來;(2)經(jīng)過多級抽象概括得來;(3)從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來;數(shù)量關(guān)系和空間形式數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念的意義數(shù)量關(guān)系和空間形式3概念的內(nèi)涵和外延

概念的內(nèi)涵亦稱內(nèi)包,指概念所反映的對象的特有屬性、本質(zhì)屬性。概念的外延亦稱外包,指概念所反映的對象的總和。

例:“△ABC的頂點(diǎn)”內(nèi)涵是指點(diǎn)的性質(zhì)和其中任一點(diǎn)同在這個三角形兩邊之上這個性質(zhì);外延是指A、B、C三點(diǎn)的集合。注:(1)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認(rèn)識的。例如,角的概念在平面幾何中和在平面三角中的內(nèi)涵和外延均不同。(2)概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的概念的內(nèi)涵和外延4概念間的關(guān)系(概念外延間的同異關(guān)系)1、相容關(guān)系(1)同一關(guān)系(全同關(guān)系或重合關(guān)系)外延完全重合,內(nèi)涵可以不同。例如:數(shù)0是擴(kuò)大的自然數(shù)集中最小的數(shù),又是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界數(shù),在數(shù)的運(yùn)算中它又是兩個相等數(shù)的差等;等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線的外延都是同一條線段,而內(nèi)涵也各不相同。注:研究概念間的同一關(guān)系,可以對概念所反映的對象得到較深刻、較全面的認(rèn)識。另外,在推理證明中具有全同關(guān)系的概念可以互相代換,使得論證簡明。概念間的關(guān)系(概念外延間的同異關(guān)系)5(2)從屬關(guān)系如果甲概念的外延真包含乙概念的外延,如下圖所示,那么,這兩個概念具有從屬關(guān)系。其中,外延較大的那個概念叫做屬概念,外延較小的那個概念叫做種概念。這兩個概念的外延和的關(guān)系可以寫成注:內(nèi)涵和外延的反比關(guān)系正方形內(nèi)涵矩形內(nèi)涵平行四邊形內(nèi)涵四邊形內(nèi)涵正方形外延矩形外延平行四邊形外延四邊形外延(2)從屬關(guān)系注:內(nèi)涵和外延的反比關(guān)系6(3)交叉關(guān)系如果兩個概念的外延有且只有部分重合,那么這兩個概念具有交叉關(guān)系或者叫做部分重合關(guān)系,如下圖。用集合符號表示概念的交叉關(guān)系,可設(shè)兩個概念的外延分別是集合和集合,如果是非空集合而且不是,那么這兩個概念具有交叉關(guān)系。例:(1)整數(shù)和整數(shù)(2)等腰三角形和直角三角形(3)交叉關(guān)系例:7(4)不相容關(guān)系(全異關(guān)系)如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合的關(guān)系,那么這兩個概念具有全異關(guān)系,這種關(guān)系又叫做“拳異關(guān)系”或“排斥關(guān)系”。全異關(guān)系又分為反對關(guān)系和矛盾關(guān)系。矛盾關(guān)系反對關(guān)系(4)不相容關(guān)系(全異關(guān)系)矛盾關(guān)系反對關(guān)系8(3)揭示外延的定義方式整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。(4)約定式定義我們規(guī)定“”。(3)揭示外延的定義方式9數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)概念學(xué)習(xí)的基本形式1.概念的形成概念形成就是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性,從而形成概念。因此,數(shù)學(xué)概念的形成實質(zhì)上是抽象出數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)特征的過程??筛爬ㄈ缦拢海?)辨別各種刺激模式,通過比較,在知覺水平上進(jìn)行分析、辨認(rèn),根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)概念學(xué)習(xí)的基本形式10(2)分化出各種刺激模式的屬性。(3)抽象出各個刺激模式的共同屬性。(4)在特定的情境中檢驗假設(shè),確認(rèn)關(guān)鍵屬性。(5)概括,形成概念。(6)把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去。(7)用習(xí)慣的形式符號表示新概念。(2)分化出各種刺激模式的屬性。11“函數(shù)”概念的形成過程:1、觀察實例,寫出變量間的關(guān)系表達(dá)式:(1)以每小時80千米的速度勻速行使的汽車,所駛過的路程和時間(2)由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻(3)用表格給出的某水庫的貯水量與水深。2、找出上例中兩變量之間關(guān)系的共同本質(zhì)3、辨別正反例,找出本質(zhì)屬性(一一對應(yīng))4、概括出函數(shù)定義5、練習(xí)鞏固成形“函數(shù)”概念的形成過程:12

教學(xué)過程中需注意:(1)提供的刺激模式應(yīng)該是正例,而且數(shù)量要恰當(dāng);(2)注意選擇那些刺激強(qiáng)度適當(dāng)、變化性大和新穎有趣的例子;(3)讓學(xué)生進(jìn)行充分自主的活動,使他們經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程,了解概念產(chǎn)生的條件,把握概念形成的規(guī)律;(4)在確認(rèn)了事物的關(guān)鍵屬性,概括成概念以后,教師應(yīng)采取適當(dāng)措施,使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的新舊概念分化,以免造成新舊概念的混淆,新概念被舊概念所湮沒;教學(xué)過程中需注意:13(5)必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去,使新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點(diǎn)作用的相關(guān)概念建立起實質(zhì)的和非人為的聯(lián)系;(6)教師的語言中介作用很大,因為教師的語言引導(dǎo)可以使學(xué)生更加有的放矢地對概念的具體事例進(jìn)行分析、歸納和概括;(7)教師一定要扎扎實實地引導(dǎo)學(xué)生完成概念形成的每一個步驟。(5)必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去,使新概念與認(rèn)知結(jié)142.概念的同化概念同化的學(xué)習(xí)形式是利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有概念,以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬性。由奧蘇伯爾的有意義接受學(xué)習(xí)理論可知,要使學(xué)生有意義地同化新概念,必須:第一,新概念具有邏輯意義;第二,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備同化新概念的適當(dāng)知識;第三,學(xué)生積極主動地使這種具有潛在意義的新概念與他認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念發(fā)生相互作用,改造舊知識,使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識進(jìn)一步分化和融會貫通。2.概念的同化15概念同化的階段(1)揭示概念的關(guān)鍵屬性,給出定義、名稱和符號;(2)對概念進(jìn)行特殊的分類,討論這個概念所包含的各種特例,突出概念的本質(zhì)特征;(3)使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念建立聯(lián)系,把新觀念納入到已有概念體系中,同化新概念;(4)用肯定例證和否定例證讓學(xué)生辨認(rèn),使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念分化;(5)把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中,使有關(guān)概念融會貫通,組成一個整體。概念同化的階段16如“一次函數(shù)”的概念給出名稱、定義、符號:函數(shù)特例:等把一次函數(shù)與函數(shù)概念、一次多項式概念等作比較用肯定、否定例證讓學(xué)生辨認(rèn):如“一次函數(shù)”的概念17

教學(xué)過程中要注意:(1)同化方式學(xué)習(xí)概念,實際上是用演繹方式來理解和掌握概念。因為它是從抽象定義出發(fā)來學(xué)習(xí)的,所以應(yīng)注意及時利用實例,使抽象概念獲得具體例證的支持;(2)學(xué)習(xí)中必須經(jīng)過概念分類這一步,使學(xué)生從外延角度進(jìn)一步對概念進(jìn)行理解;(3)在引入概念的同時,要求學(xué)生掌握一定的智力動作,以防止出現(xiàn)知道概念的定義而不知如何將它用于解題的情況;教學(xué)過程中要注意:18(4)為學(xué)生及時提供應(yīng)用概念進(jìn)行推理、論證的機(jī)會,在應(yīng)用中強(qiáng)化概念,以防止由于沒有經(jīng)歷概念形成的原始過程而出現(xiàn)的概念加工不充分、理解不深刻的情況;(5)一定要將所學(xué)概念納入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,形成概念系統(tǒng)。(4)為學(xué)生及時提供應(yīng)用概念進(jìn)行推理、論證的機(jī)會,在應(yīng)用中強(qiáng)19概念教學(xué)的基本要求和教法探討概念的引入——概念的明確——概念的系統(tǒng)化——概念的運(yùn)用1、概念的引入(1)原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指明對象的方法來明確?!搬樇獯棠景濉钡暮圹E引入“點(diǎn)”、用“拉緊的繩”或“小孔中射入的光線”來引入“直線”的方法是直觀說明法,“1,2,3,···叫做自然數(shù)”是指明對象法。概念教學(xué)的基本要求和教法探討概念的引入——概念的明確——概念20(2)對于用概念的形成來學(xué)習(xí)的概念一般可通過觀察實例,啟發(fā)學(xué)生抽象出本質(zhì)屬性,師生共同進(jìn)行討論,最后再準(zhǔn)確定義。(3)對于用概念的同化來學(xué)習(xí)的概念(a)用屬加種差定義的概念新概念是已知概念的特例,新概念可以從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來。(b)由概念的推廣引入的概念講清三點(diǎn):推廣的目的和意義;推廣的合理性;推廣后更加廣泛的含義。(2)對于用概念的形成來學(xué)習(xí)的概念21(c)采用對比方法引入新概念當(dāng)新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有概念不能產(chǎn)生從屬關(guān)系,但與已有的舊概念有相似之處時可采用此法。關(guān)鍵是講清不同之處,防止概念的負(fù)遷移。(d)根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念多項式的乘法引入多項式的因式分解、由乘方引入開方、由指數(shù)引入對數(shù)等。關(guān)鍵是講清逆反關(guān)系。(c)采用對比方法引入新概念22(4)發(fā)生式定義通過觀察實例或引導(dǎo)學(xué)生思考,進(jìn)行討論,自然得出構(gòu)造過程,即揭示出定義的合理性。2、概念的明確定義的必要理解;表示概念的名稱或符號的正確使用;抓住掌握概念的關(guān)鍵;舉出肯定例證和否定例證;充分揭示概念的內(nèi)涵;3、概念的系統(tǒng)化4、概念的運(yùn)用和深化(4)發(fā)生式定義23設(shè)計問題:每包書有12冊,n包書有__冊;溫度由t℃下降2℃后是__℃,·····設(shè)一個正方形的邊長是x,那么它的面積是__;如果買x平方米的地毯(每平方米a元),又付y立方米自來水費(fèi)(每立方米b元),共花了多少錢?(3)對象階段,對代數(shù)式的形式化表述(4)圖式階段,建立綜合的心理圖式具體的實例(直觀的)、運(yùn)算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學(xué)思想、代數(shù)式的定義設(shè)計問題:24數(shù)學(xué)概念的一般教學(xué)原則

重視概念的引入——現(xiàn)實性原則揭示概念的內(nèi)涵和外延——科學(xué)性原則講清概念的來龍去脈——系統(tǒng)性原則注意概念之間的對比——比較性原則加強(qiáng)概念的運(yùn)用——應(yīng)用性原則數(shù)學(xué)概念的一般教學(xué)原則重視概念的引入——現(xiàn)實性原則25數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法

1認(rèn)識概念的重要性,切實加強(qiáng)概念教學(xué)2

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