余弦定理優(yōu)質(zhì)課教案市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

余弦定理第1頁1、向量數(shù)量積：2、勾股定理：AaBCbc證實(shí)：相關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)：第2頁AaBCbcAcbAbc當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，AB邊大小與BC、AC邊大小和角C大小有什么關(guān)系呢？怎樣用它們表示AB呢？新課導(dǎo)入：在△ABC中第3頁問題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：第4頁余弦定理：三角形任何一邊平方等于其它兩邊平方和減去這兩邊與它們夾角余弦積兩倍。余弦定理能夠處理以下兩類相關(guān)三角形問題：（1）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角。第5頁ABCabcD（1）當(dāng)角C為銳角時(shí)過A作ADCB交CB于D在Rt中在中證法2：第6頁（2）當(dāng)角C為鈍角時(shí)過A作ADCB交BC延長(zhǎng)線于D在Rt中在中bAacCBD（3）當(dāng)角C為鈍角時(shí)，由勾股定理知依然成立。第7頁bAacCB證法3：以CB所在直線為X軸，過C點(diǎn)垂直于CB直線為Y軸，建立如圖所表示坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為：第8頁

利用余弦定理，能夠處理：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊及夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝第9頁例1：在

ABC中，已知a＝7，b＝10，

c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()第10頁例2：在

ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解這個(gè)三角形.解：由余弦定理c2=a2＋b2－2abcosC,=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.第11頁ABCOxy例3：

ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.第12頁ABCOxy例3：

ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).第13頁ABCOxy例3：

ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=αβ第14頁解：在

AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夾角為120且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、|a＋b|及a＋b與a夾角.a－ba＋bBbACa120°O在

OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°＝21,∴a＋b＝√21.∴∠COA即a＋b與a夾角約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b第15頁例5已知四邊形ABCD四邊長(zhǎng)為AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,求C.解:

BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思索：若A=θ,怎樣用θ表示四邊形ABCD面積？第16頁練習(xí)：

ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，則c＝_____；√1314.6°（2）a=2,

b=3,

c=4,則C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，則A＝______.第17頁研究題

總結(jié)解三角形方法：已知三角形邊角中哪三個(gè)量，有唯一解或多解或無解？分別用什么方法？