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八年級數(shù)學·下新課標[北師]第一章三角形證實

學習新知檢測反饋1等腰三角形（第3課時）第1頁學習新知問題思索獨立思索后再進行交流.【問題1】

等腰三角形性質(zhì)定理內(nèi)容是什么?這個命題條件和結(jié)論分別是什么?【問題2】

我們是怎樣證實上述定理?【問題3】

我們把性質(zhì)定理條件和結(jié)論反過來還成立嗎?在一個三角形中,假如兩個角相等,那么這兩個角所正確邊也相等,對嗎?第2頁證實:有兩個角相等三角形是等腰三角形.已知:如圖所表示，在△ABC中，∠B=∠C.求證AB=AC.證實1:作AD⊥BC于點D.(如圖所表示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠BDA=∠CDA,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形對應邊相等).

證實2：作△ABC頂角平分線AD交BC于點D.(如圖所表示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形對應邊相等).定理:有兩個角相等三角形是等腰三角形.這一定理能夠簡述為:等角對等邊.幾何語言:在△ABC中，∵∠B=∠C(已知)，∴AB=AC(等角對等邊).第3頁例2

已知:如圖所表示,AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E,求證△AED是等腰三角形.證實:∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形對應角相等).∴AE=DE(等角對等邊).∴△AED是等腰三角形.第4頁反證法如圖所表示，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等.假設AB=AC，那么依據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，這與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，所以AB≠AC.證實時,先假設命題結(jié)論不成立,然后推導出與定義、基本事實、已經(jīng)有定理或已知條件相矛盾結(jié)果,從而證實命題結(jié)論一定成立.這種證實方法稱為反證法.第5頁例3

用反證法證實:一個三角形中不能有兩個角是直角.已知:△ABC.求證:∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角.證實:假設∠A,∠B,∠C中有兩個角是直角,不妨設∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°,于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾,所以“∠A和∠B是直角”假設不成立.所以，一個三角形中不能有兩個角是直角.[知識拓展]

等腰三角形判定定理和性質(zhì)定理是互逆,解相關等腰三角形問題時,等腰三角形底邊上高線、中線、頂角平分線通常是作輔助線需要重點考慮線段.第6頁1.已知:如圖所表示,OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,則CD等于 (

)A.3cm

B.4cm C.1.5cm

D.2cmA2.(·西安中考)如圖所表示,在△ABC中,∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC角平分線.若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有 (

)A.2個 B.3個

C.4個 D.5個D解析:∵△ABC為等腰三角形,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC角平分線,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴△ABD為等腰三角形,△BCD為等腰三角形.可得BE=BC=BD,∴△BDE為等腰三角形.∵∠AED=108°,∴∠EAD=∠EDA=36°,∴△AED為等腰三角形.故選D.檢測反饋第7頁3.如圖所表示,在△ABC中,∠ABC與∠ACB平分線交于點F,過點F作DE∥BC交AB于點D,交AC于點E,那么以下結(jié)論:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE周長等于AB與AC和;④BF=CF.其中正確有 (

)A.①②③ B.①②③④C.①② D.①解析:可證實△BDF,△CEF都是等腰三角形,得①②③正確.故選A.A4.用反證法證實命題“一個三角形三個外角中,至多有一個銳角”第一步是

.

假設三角形三個外角中,有兩個銳角第8頁解析:依據(jù)等腰三角形性質(zhì)可知AB=AC.故填AB=AC.5.已知AD是△ABC外角∠EAC平分線,要使AD∥BC,則△ABC邊一定滿足

.

AB=AC解析:可證△ADE是等腰三角形,∴AD=AE=2cm.6.在△ABC中,∠C=∠B,D,E分別是AB,AC上點,AE=2cm,且DE∥BC,則AD=

.

2cm第9頁7.如圖所表示,已知AB=AC,E,D分別在AB,AC上,BD與CE交于點F,且∠ABD=∠ACE,求證BF=CF.證實:連接BC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.8.如圖所表示,在△ABC中,BA=BC,點D是AB延長線上一點,DF⊥AC于F交BC于E,求證△DBE是等腰三角形