十八 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

理論力學(xué)1第四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)說話，聲帶振動(dòng)振動(dòng):物體在平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)研究振動(dòng)的目的：

消除或減小有害振動(dòng)，充分利用有利振動(dòng)。聽聲，耳膜振動(dòng)利：振動(dòng)給料機(jī)振動(dòng)篩振動(dòng)沉拔樁機(jī)弊：磨損,減少壽命,影響強(qiáng)度引起噪聲,影響勞動(dòng)條件消耗能量,降低精度2第四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)本章只研究單自由度系統(tǒng)和兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)彈性體的振動(dòng)按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度無阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)自激振動(dòng)按振動(dòng)產(chǎn)生原因無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)34123單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)計(jì)算固有頻率的能量法單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)第四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)5單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)6轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速7隔振4模型：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（彈簧原長(zhǎng)l0,剛性系數(shù)k）在重力作用下彈簧變形δst為靜變形，該位置為平衡位置。平衡取重物平衡位置O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正;xOx彈簧力§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、自由振動(dòng)微分方程5由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程可得—恢復(fù)力只在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)稱為無阻尼自由振動(dòng)。（始終指向原點(diǎn)）—無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式xOx§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)6兩個(gè)根為代入微分方程得特征方程xOx—二階齊次線性常系數(shù)微分方程方程解表示為C1、C2為積分常數(shù)，由初始條件確定§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)7微分方程的解運(yùn)動(dòng)圖線無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)txtt+Tx0OAxOx方程解表示為§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)81、固有頻率無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是一種周期振動(dòng)任意t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為—周期函數(shù)T—周期二、無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)單位：秒(s)無阻尼自由振動(dòng)經(jīng)過時(shí)間T后又重復(fù)原來的運(yùn)動(dòng)§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)9無阻尼自由振動(dòng)微分方程解為角度周期為2π，有則自由振動(dòng)的周期為—頻率其中每秒振動(dòng)次數(shù)(1/s,Hz赫茲)—圓頻率2π秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)(rad/s,弧度/秒)§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)10

固有頻率是振動(dòng)理論中的重要概念，它反映了振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率是研究系統(tǒng)振動(dòng)問題的重要課題之一。自由振動(dòng)的圓頻率ωn只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量m和剛度k有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)，它是振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性?！逃袌A頻率§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)11若已知無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)在重力作用下的靜變形，就可求得系統(tǒng)的固有頻率。如：我們可以根據(jù)車廂下面彈簧的壓縮量來估算車廂上下振動(dòng)的頻率。滿載車廂的彈簧靜變形比空載車廂大，則其振動(dòng)頻率比空載車廂低?！?-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)12固有頻率的確定方法：方法一:方法二：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)平衡時(shí)方法三：已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)13⑵振幅與初位相振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式—相對(duì)于振動(dòng)中心點(diǎn)O的最大位移初相位—決定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置相位角—決定質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)t的位置自由振動(dòng)的振幅A和初相位θ是兩個(gè)待定常數(shù)，它們由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)14簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)15物塊在平衡位置時(shí)，彈簧變形量例4-1

如圖所示，質(zhì)量為m=0.5kg的物塊沿光滑斜面無初速度滑下。當(dāng)物塊下落高度h=0.1m時(shí)撞于無質(zhì)量的彈簧上并與彈簧不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角β=30°，求此系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和振幅，并給出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。解:⑴取質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為研究對(duì)象Oxh⑵以物塊平衡位置O為原點(diǎn)，取x軸如圖⑶物塊在任意位置x處受力重力mg斜面約束力FN彈性力F§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)16固有頻率與斜面傾角β無關(guān)⑷系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率固有頻率物塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的通解Oxh§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)17取物塊剛碰上彈簧作為初始條件，此時(shí)t=0，物塊坐標(biāo)即初位移⑸系統(tǒng)振動(dòng)的振幅、物塊的運(yùn)動(dòng)方程物塊碰上彈簧時(shí)初速度§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)Oxh18得振幅及初相位此物塊的運(yùn)動(dòng)方程為系統(tǒng)的通解Oxh§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)19⑴彈簧并聯(lián)系統(tǒng)平衡—等效彈簧剛度系數(shù)三、彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)設(shè)物塊在重力mg作用下平移，靜變形為δst，兩彈簧受力F1和F2彈簧剛度分別為k1、k2§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)20⑴彈簧并聯(lián)系統(tǒng)平衡(等效彈簧剛性系數(shù))三、彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)并聯(lián)系統(tǒng)固有頻率當(dāng)兩個(gè)彈簧并聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度等于兩個(gè)彈簧剛度的和。（該結(jié)論可推廣到多彈簧并聯(lián)的情形）§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)21⑵彈簧串聯(lián)兩彈簧總靜伸長(zhǎng)每個(gè)彈簧受力均為物塊重量系統(tǒng)平衡時(shí),兩彈簧靜伸長(zhǎng)分別為設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)等效彈簧剛度為keq，則三、彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)22等效彈簧剛度⑵彈簧串聯(lián)三、彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)串聯(lián)系統(tǒng)固有頻率當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度的倒數(shù)等于兩個(gè)彈簧剛度倒數(shù)的和。（該結(jié)論可推廣到多彈簧串聯(lián)的情形）§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)23扭振系統(tǒng)：圓盤對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，剛性固結(jié)在扭桿的一端，圓盤相對(duì)固定端可轉(zhuǎn)角度φ，扭桿的扭轉(zhuǎn)剛性系數(shù)為kt（使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需力矩）扭振系統(tǒng)根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程：四、其它類型的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)（扭振系統(tǒng)、多體系統(tǒng)）—與無阻尼微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式相同§4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)24運(yùn)動(dòng)規(guī)律速度為在t瞬時(shí)物塊的動(dòng)能§4-2

計(jì)算固有頻率的能量法能量法從機(jī)械能守恒定律出發(fā)計(jì)算較復(fù)雜系統(tǒng)的固有頻率。xOx無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)，物塊運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。25對(duì)有重力影響的彈性系統(tǒng)，若以平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則重力與彈性力勢(shì)能之和相當(dāng)于由平衡位置計(jì)算變形的單獨(dú)彈性力勢(shì)能。系統(tǒng)勢(shì)能V為彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能的和，選平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)xOx§4-2

計(jì)算固有頻率的能量法26xOx當(dāng)物塊處于平衡位置時(shí)，其速度最大，物塊具有最大動(dòng)能(勢(shì)能為0)當(dāng)物塊處于偏離振動(dòng)中心的最遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，其位移最大，系統(tǒng)具有最大勢(shì)能（動(dòng)能為0）無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒§4-2

計(jì)算固有頻率的能量法27則系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)擺桿的最大角速度⑶計(jì)算最大動(dòng)能和最大勢(shì)能最大動(dòng)能例18-5

圖示擺振系統(tǒng)，擺桿AO對(duì)鉸鏈點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在桿的點(diǎn)A和B各安置一個(gè)剛度分別為K1和K2的彈簧，系統(tǒng)在水平位置處于平衡，求系統(tǒng)作微振時(shí)的固有頻率。⑵設(shè)擺桿作自由振動(dòng)時(shí),其擺角φ變化規(guī)律為解:⑴取擺桿為研究對(duì)象AOdlB§4-2

計(jì)算固有頻率的能量法28最大勢(shì)能=兩彈簧最大勢(shì)能之和⑷應(yīng)用機(jī)械能守恒定律最大動(dòng)能AOdlB§4-2

計(jì)算固有頻率的能量法29—振動(dòng)過程中的阻力粘性阻尼力c：粘性阻尼系數(shù)§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼介質(zhì)阻尼阻尼類型內(nèi)阻尼干摩擦阻尼粘性阻尼：當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，介質(zhì)粘性引起的阻力與速度一次方成正比（較多）設(shè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度為v負(fù)號(hào)表示方向30—振動(dòng)過程中的阻力振動(dòng)系統(tǒng)中存在粘性阻尼時(shí),常用阻尼元件c表示一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)都可簡(jiǎn)化為：由慣性元件（m）

彈性元件（k）

阻尼元件（c）組成的系統(tǒng)m一、阻尼上節(jié)研究的振動(dòng)是不受阻力作用的，振動(dòng)的振幅是不隨時(shí)間改變的，振動(dòng)過程將無限地進(jìn)行下去。實(shí)際中的振動(dòng)系統(tǒng)由于存在阻力，而不斷消耗著振動(dòng)的能量，使振幅不斷地減小，直到最后振動(dòng)停止?！?-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)31mxOx物塊振動(dòng)微分方程粘性阻尼力：恢復(fù)力：以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)二、振動(dòng)微分方程（不計(jì)重力）振動(dòng)過程中作用在物塊上的力方向指向平衡位置O方向與速度方向相反§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)32mxOx物塊振動(dòng)微分方程—有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式兩個(gè)特征根為特征方程設(shè)其解為方程通解為二階齊次常系數(shù)線性微分方程§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)331、欠阻尼δ<ωn特征根為共軛復(fù)數(shù)微分方程的解—有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率mxOxA和θ為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定阻力系數(shù)§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)34運(yùn)動(dòng)圖線衰減振動(dòng)：振動(dòng)的振幅隨時(shí)間不斷衰減—衰減振動(dòng)周期tx§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)35將質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)最大偏離位置到下一個(gè)最大偏離位置所需時(shí)間稱為衰減振動(dòng)周期，記為Td。tx這種振動(dòng)不符合周期振動(dòng)定義，不是周期振動(dòng)，但仍圍繞平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)，仍具振動(dòng)特點(diǎn)。阻尼比：振動(dòng)系統(tǒng)中反映阻尼特性的重要參數(shù)§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)36欠阻尼下，阻尼比有阻尼自由振動(dòng)周期圓頻率頻率與無阻尼自由振動(dòng)T、f和ωn的關(guān)系表明：由于阻尼的存在，系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期增大，頻率減小?！?-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)37空氣中的振動(dòng)系統(tǒng)阻尼較小—減縮因數(shù)任意兩相鄰振幅之比為一常數(shù)，故衰減振動(dòng)的振幅呈幾何級(jí)數(shù)減小，很快趨近于零。小阻尼情況下，阻尼對(duì)自由振動(dòng)的頻率影響較小，對(duì)振幅影響較大，振幅呈幾何級(jí)數(shù)下降。衰減振動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律相當(dāng)于振幅一個(gè)周期Td后，系統(tǒng)最大偏離值設(shè)在某瞬時(shí)ti，振動(dòng)達(dá)到的最大偏離值兩相鄰振幅之比§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)38—對(duì)數(shù)減縮率兩端取對(duì)數(shù)阻尼比ζ=0.05時(shí),可算出振動(dòng)頻率只比無阻尼時(shí)下降0.125%,而振幅衰減率為0.7301。10個(gè)周期后,振幅只有原振幅的4.3%。對(duì)數(shù)減縮率與阻尼比的關(guān)系§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)對(duì)數(shù)減縮率

是反映阻尼特性的一個(gè)參數(shù)，與阻尼比ζ之間只差2π倍。392、臨界阻尼δ=ωn特征根為兩相等實(shí)根微分方程的解物體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無限趨于平衡位置，運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn)。C1和C2為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定mxOx§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)403、過阻尼δ>ωn特征根為兩不等實(shí)根微分方程的解運(yùn)動(dòng)圖線（不再具有振動(dòng)性質(zhì)）§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)41mm解:求出對(duì)數(shù)減縮率阻尼比臨界阻力系數(shù)阻力系數(shù)例4-6

圖示彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，物塊質(zhì)量為0.05kg，彈簧剛度k=2000N/m，系統(tǒng)發(fā)生自由振動(dòng)，測(cè)得其相鄰兩個(gè)振幅之比，求系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少？Ock§4-3

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)42m交流電通過電磁鐵產(chǎn)生交變的電磁力引起的振動(dòng)彈性梁上的電動(dòng)機(jī)由于轉(zhuǎn)子偏心在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)引起的振動(dòng)受迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力：周期變化的激振力H：激振力力幅；ω：激振力的圓頻率φ：激振力初相位43m取平衡位置為原點(diǎn)，向下為正質(zhì)量為m的物塊受恢復(fù)力Fk和激振力F作用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為—無阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式mxxO一、振動(dòng)微分方程§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)44—二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解由兩部分組成齊次方程的通解為b為待定常數(shù)設(shè)特解為將x2代入無阻尼受迫振動(dòng)微分方程，得：§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)45無阻尼受迫振動(dòng)微分方程的全解無阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)諧振動(dòng)合成的：第一部分是頻率為固有頻率的自由振動(dòng)；第二部分是頻率為激振力頻率的受迫振動(dòng)。實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)存在阻尼，自由振動(dòng)部分會(huì)很快衰減掉，我們著重研究第二部分穩(wěn)態(tài)的受迫振動(dòng)?！?-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)46

二、受迫振動(dòng)的振幅在簡(jiǎn)諧激振條件下，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)為諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率等于激振力的頻率，振幅的大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率ωn、激振力的力幅H、激振力頻率ω有關(guān)?！?-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)47⑴若ω→0，激振力為一恒力，不振動(dòng)，振幅b0為靜力H

作用下靜變形振幅b與激振力頻率ω之間關(guān)系⑵

若0<ω<ωnω↗,b↗，當(dāng)ω

→ωn時(shí)，振幅b將趨于無窮大⑶若ω>ωn

b為負(fù)值,習(xí)慣上把振幅都取為正值,因而取其絕對(duì)值,而視受迫振動(dòng)與激振力反向,相位應(yīng)加或減180°。ω↗,b↘，當(dāng)ω

→∞時(shí)，振幅b將趨于0§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)48振幅b與激振力頻率ω之間關(guān)系無量綱振幅頻率曲線振幅頻率曲線§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)49當(dāng)ω=ωn時(shí)，即激振力頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，振幅b在理論上趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。設(shè)特解為無阻尼受迫振動(dòng)微分方程無意義三、共振現(xiàn)象§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)50它的幅值為共振時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為當(dāng)ω=ωn時(shí)，系統(tǒng)共振，受迫振動(dòng)的振幅隨時(shí)間無限地增大，其運(yùn)動(dòng)圖線如圖示。ttO實(shí)際系統(tǒng)由于存在阻尼，共振振幅不可能達(dá)到無限大，但共振時(shí)振幅都相當(dāng)大，往往使機(jī)器產(chǎn)生過大的變形，甚至造成破壞，因此如何避免發(fā)生共振是工程中一個(gè)非常重要的課題?！?-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)51m解:設(shè)任一瞬時(shí)剛桿擺角為φ，建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程整理為例4-8

圖示無重剛桿AO長(zhǎng)為l，一端鉸支,另一A水平懸掛在剛度為k的彈簧上，桿中點(diǎn)裝一質(zhì)量為m的小球。若在A處加一激振力F=F0sinωt，其中激振力的頻率ω

=1/2ωn，ωn為系統(tǒng)的固有頻率。忽略阻尼，求系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。kAOl/2l/2§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)52將ω=1/2ωn代入上式研究受迫振動(dòng)方程特解mkAOl/2l/2§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)53解:⑴取電機(jī)與偏心塊為研究對(duì)象⑵作用在系統(tǒng)上的恢復(fù)力⑶質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式偏心塊坐標(biāo)例4-9

圖示帶有偏心塊的電動(dòng)機(jī)固定在一根彈性梁上。設(shè)電機(jī)質(zhì)量為m1，偏心塊質(zhì)量為m2，偏心距為e，彈性梁的剛性系數(shù)為k，求電機(jī)以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。設(shè)電機(jī)軸心在t瞬時(shí)相對(duì)其平衡位置O的坐標(biāo)為xOm1m2§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)54此微分方程為質(zhì)點(diǎn)受迫振動(dòng),激振力項(xiàng)m2eω2sinωt

,即電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí),偏心塊的離心慣性力在x軸方向的投影Om1m2激振力力幅m2eω2等于離心慣性力的大小；激振力圓頻率等于轉(zhuǎn)子的角速度ω,這種情況引起的激振力的力幅與激振力的頻率有關(guān)。§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)55

ω>ωn時(shí),振幅隨頻率增大而減小,最后趨于m2e/(m1+m2)

ω<ωn時(shí),振幅從零開始,隨頻率增大而增大；振幅頻率曲線ω=ωn時(shí)，振幅趨于∞；受迫振動(dòng)振幅bO§4-4

單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)56各力在坐標(biāo)軸上投影取重物平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸鉛直向下運(yùn)動(dòng)微分方程§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)mxOx

圖示有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，物塊質(zhì)量為m，物塊上作用有線性恢復(fù)力Fk、粘性阻尼力Fc和簡(jiǎn)諧激振力Fs57運(yùn)動(dòng)微分方程§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)mxOx有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階線性常系數(shù)非齊次微分方程，其解由兩部分組成：x1：齊次方程的通解小阻尼(n<ωn)情形下58x2：齊次方程特解將x2代入運(yùn)動(dòng)微分方程得§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)mxOx運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)其形式為ε

—受迫振動(dòng)的相位落后于激振力的相位角59將右端改寫為§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)對(duì)任意瞬時(shí)t，必須滿足60A和

為積分常數(shù)，由初始條件確定聯(lián)立后可得得微分方程通解有阻尼受迫振動(dòng)由兩部分合成：第一部分是衰減振動(dòng)；第二部分是受迫振動(dòng)。§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)61由于阻尼的存在，第一部分振動(dòng)隨時(shí)間增加很快衰減，這段過程稱為過渡過程（瞬態(tài)過程），過渡過程是很短暫的，過渡過程之后，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程?！?-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)txOtxOtxO62有阻尼存在，簡(jiǎn)諧激振力下的受迫振動(dòng)仍為諧振動(dòng)，振動(dòng)頻率等于激振力頻率振幅不僅與激振力力幅有關(guān)，還與激振力頻率ω以及振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)m、k和阻力系數(shù)c有關(guān)。運(yùn)動(dòng)方程特解§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)研究穩(wěn)態(tài)過程振幅63無量綱化：橫軸表示頻率比λ=ω/ωn，縱軸表示振幅比β=b/b0，阻尼的改變用阻尼比ζ=c/cc=n/ωn表示§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)64不同阻尼條件下受迫振動(dòng)的振幅頻率曲線阻尼對(duì)振幅的影響程度與頻率有關(guān)：⑴當(dāng)ω<<ωn時(shí)，阻尼對(duì)振幅影響甚微，可忽略阻尼；§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)⑵當(dāng)ω→ωn（即λ→1）時(shí)，振幅顯著增大，阻尼對(duì)振幅影響明顯，即阻尼增大。振幅顯著下降。65振幅bmax具有最大值，這時(shí)頻率ω稱為共振頻率一般情況下ζ<<1，可認(rèn)為共振頻率ω=ωn⑶當(dāng)ω>>ωn時(shí)，阻尼對(duì)振幅影響也較小，可忽略阻尼§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)共振頻率下的振幅共振振幅66有阻尼受迫振動(dòng)的位相總比激振力落后一個(gè)相位角ε，ε稱為相位差。ε表達(dá)了相位差隨諧振力頻率的變化關(guān)系。由微分方程的特解§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)67相位差總是在0°至180°區(qū)間變化，是一單調(diào)上升曲線。共振時(shí)，ω=ωn

ε=90°，阻尼值不同的曲線都交于這一點(diǎn)。越過共振區(qū)后，隨著ω的增加，相位差趨近180°這時(shí)激振力與位移反相。相頻曲線§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)68解:⑴取系統(tǒng)為研究對(duì)象m設(shè)剛桿振動(dòng)擺角為θ,由動(dòng)量矩定理得例4-10

圖示無重剛桿一端鉸支，距鉸支端l處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，2l處有一阻尼系數(shù)為c的阻尼器，3l處有一剛度為k的彈簧，并作用一簡(jiǎn)諧激振力F=F0sinωt。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率ωn以及當(dāng)激振力頻率ω等于ωn時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)⑵受力分析⑶建立系統(tǒng)振動(dòng)微分方程69ω=ωn時(shí),其擺角θ的振幅質(zhì)點(diǎn)的振幅§4-5

單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)m70工程中的回轉(zhuǎn)機(jī)械，如渦輪機(jī)、電機(jī)等，在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)常由于轉(zhuǎn)軸的彈性和轉(zhuǎn)子偏心而發(fā)生振動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)速增至某特定值時(shí)，振幅會(huì)突然加大，振動(dòng)異常激烈，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過這個(gè)特定值時(shí)，振幅又會(huì)很快減小。使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈振動(dòng)的這個(gè)特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速?！?-6

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速71xyO§4-6

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速單圓盤轉(zhuǎn)子垂直裝在無質(zhì)量的彈性轉(zhuǎn)軸上圓盤質(zhì)量為m，質(zhì)心為C，A為圓盤與轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)，偏心距e=AC。O為z軸與圓盤交點(diǎn)，rA=OA為轉(zhuǎn)軸上點(diǎn)A的撓度（變形）圓盤與轉(zhuǎn)軸以ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于慣性力的影響，轉(zhuǎn)軸發(fā)生彎曲而偏離軸線z。圓盤慣性力的合力Fg過質(zhì)心，背離軸心O，大小為Fg=mω2OC。作用在圓盤上的彈性恢復(fù)力F指向軸心O，大小為F=krA，k為軸的剛度系數(shù)。設(shè)轉(zhuǎn)軸安在圓盤中點(diǎn)，當(dāng)軸彎曲時(shí)，圓盤仍繞點(diǎn)O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。72由達(dá)朗伯原理，慣性力Fg與恢復(fù)力F相互平衡而點(diǎn)O、A、C應(yīng)在同一直線上，且有：解出A點(diǎn)撓度xyO§4-6

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速73當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度從0逐漸增大時(shí)，撓度rA也逐漸增大；§4-6

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速當(dāng)ω=ωn時(shí)，rA趨于無窮大實(shí)際上由于阻尼和非線性剛度的影響，rA為一很大的有限值。使轉(zhuǎn)軸撓度異常增大的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度稱為臨界角速度ωcr，它等于系統(tǒng)的固有頻率ωn；此時(shí)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速，記為ncr74當(dāng)ω>ωcr時(shí)上式為負(fù)值，取rA絕對(duì)值；§4-6

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速ω再增大時(shí),撓度值rA迅速減小而趨于定值e（偏心距），此時(shí)質(zhì)心位于點(diǎn)A與點(diǎn)O之間。當(dāng)ω>>ωcr時(shí),rA≈e,這時(shí)質(zhì)心C與軸心點(diǎn)O趨于重合,即圓盤繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng),這種現(xiàn)象稱自動(dòng)定心現(xiàn)象。75§4-6

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速偏心轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于慣性力作用，彈性轉(zhuǎn)軸將發(fā)生彎曲而繞原幾何軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，稱“弓狀回轉(zhuǎn)”。軸承壓力的方向周期性變化。當(dāng)轉(zhuǎn)子角速度接近臨界角速度、轉(zhuǎn)軸的變形和慣性力都急劇增大，軸承承受很大動(dòng)壓力，