第3章 《圓的基本性質(zhì)》50題 （原卷+解析卷）

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《圓的基本性質(zhì)》精選50題

一、選擇題

1．（杭州市采荷中學(xué)）下列命題中不正確的是（）

A．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸

B．圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心

C．圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等

D．平分弦的直徑一定垂直于這條弦

2．（浙江溫州·九年級期末）已知一個扇形的半徑長是，圓心角為，則這個扇形的面積為（）

A．B．

C．D．

3．（浙江溫州·九年級期末）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，若，則等于（）

A．B．

C．D．

4．（浙江杭州·翠苑中學(xué)九年級二模）如圖，是的直徑，弦于點，，，則的長為（）

A．4B．5C．8D．16

5．（浙江衢江·九年級期末）如圖，在半圓O中，若∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．70°B．140°C．110°D．130°

6．（浙江諸暨市暨陽初級中學(xué)九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（）

A．52°B．26°C．64°D．128°

7．（浙江九年級月考）如圖，在⊙O中，半徑r=10，弦AB=16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是（）

A．10B．16C．6D．8

8．（杭州市公益中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，點A、B、C、D在上，，，，則（）

A．30°B．50°C．70°D．80°

9．（諸暨市濱江初級中學(xué)九年級期中）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

10．（衢州市實驗學(xué)校教育集團（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團）九年級期末）已知⊙O的半徑為4cm，點P到圓心O的距離為3cm，則點P（）

A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不能確定

11．（浙江衢江·九年級期末）在一次數(shù)學(xué)綜合活動課上，小凌同學(xué)需要在一個半徑為6cm的圓上裁出一個面積盡可能大的等邊三角形，則這個等邊三角形的邊長是（）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

12．（浙江溫州·九年級期中）以下命題：

①三角形的內(nèi)心是三角形三邊中垂線的交點；

②任意三角形都有且只有一個外接圓；

③圓周角相等，則弧相等．

④經(jīng)過兩點有且只有一個圓，其中真命題的個數(shù)為（）個．

A．1B．2C．3D．4

13．（諸暨市開放雙語實驗學(xué)校）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．弦AB與DC的延長線相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝48°，則∠DBC的度數(shù)為（）

A．84°B．72°C．66°D．48°

14．（浙江九年級期末）如圖，已知是直徑，是弦，，過圓心作交弧于點，連接，則為（）

A．B．C．D．

15．（浙江）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為軸，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標是（）

A．B．C．D．

16．（浙江杭州·九年級期末）如圖，在中，弦半徑，與相交于M，，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

17．（浙江九年級期末）如圖，為圓O的直徑，且AB=8，C為圓上任意一點，連接、，以為邊作等邊三角形，以為邊作正方形，連接．若為a，為b，為c，則下列關(guān)系式成立的是（）

A．B．C．D．

18．（金華市外國語學(xué)校八年級期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，、為其兩條對角線，，，，連接，則的大小為（）

A．B．C．D．

19．（浙江蕭山·）如圖，已知△ABC，O為AC上一點，以O(shè)B為半徑的圓經(jīng)過點A，且與BC，OC交于點D，E．設(shè)∠A=α，∠C=β（）

A．若α+β=70°，則的度數(shù)為20°B．若α+β=70°，則的度數(shù)為40°

C．若α﹣β=70°，則的度數(shù)為20°D．若α﹣β=70°，則的度數(shù)為40°

20．（浙江九年級期末）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑畫弧交于點，則的長為（）

A．B．2C．D．4

21．（浙江九年級期末）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，直徑，，則的長為（）

A．B．C．D．

22．（浙江九年級期中）如圖，在扇形中，點A從點M出發(fā)沿著向點N運動，當(dāng)點A到達點N時停止運動．以為邊，順時針方向作正方形，連結(jié)．在整個運動過程中，圖中陰影部分的面積的大小變化情況是（）

A．變大B．變小C．先變大再變小D．不變

23．（浙江）如圖，六邊形是正六邊形，點是邊的中點，，分別與交于點，，則的值為（）．

A．B．C．D．

24．（浙江九年級期末）如圖，是上的5等分點，連接，得到一個五角星圖形和五邊形．有下列3個結(jié)論：①，②，③．其中正確的結(jié)論是（）

A．①B．①②C．②③D．①②③

二、填空題

25．（浙江九年級月考）⊙O內(nèi)一點P到⊙O上的最近點的距離為2，最遠點的距離為4，則⊙O的半徑為___．

26．（杭州市采荷中學(xué)）已知△ABC三邊長分別為5cm，12cm，13cm，則這個三角形的外接圓的半徑＝___．

27．（浙江溫州·九年級期末）如圖，在的內(nèi)接正六邊形中，______°．

28．（浙江鄞州·九年級月考）如圖，已知的對角線，將繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)，則點所轉(zhuǎn)過的路徑長為______．

29．（浙江衢州·九年級期中）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠C＝80°，則∠A等于___．

30．（浙江衢州·九年級期中）如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝2，點A在⊙O上，∠AMN＝40°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA＋PB的最小值為_____________．

31．（浙江九年級月考）已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，P為⊙O上除C、D外任意一點，則∠CPD的度數(shù)為________．

32．（杭州市十三中教育集團（總校）九年級二模）如圖，點為半圓的中點，是直徑，點是半圓上一點，、交于點，若，，則________．

33．（浙江諸暨·浣江教育九年級期中）如圖，直線l經(jīng)過的圓心O，且與交于A、B兩點，點C在上，且，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與相交于另一點Q，如果，則______．

34．（浙江九年級期末）如圖，已知AD是∠BAC的平分線，以線段AB為直徑作圓，交∠BAC和角平分線于C，D兩點過D向AC作垂線DE垂足為點E，若，則直徑________．

35．（浙江九年級期末）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C在上，且的長為2π，點D在OA上，連接BD，CD，BC，若點C，O關(guān)于直線BD對稱，則BC長=____________．

36．（浙江桐鄉(xiāng)·）如圖，邊長為2的正方形中，動點在邊上，在射線上取一點，使，當(dāng)動點從點出發(fā)向終點運動時，點的運動路徑長為______，線段的最大值是______．

37．（浙江婺城·九年級三模）如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，長為2的線段CD的兩個端點分別在線段OA、OB上滑動，E為CD的中點，點F在弧AB上，連接EF、BE．若AF的長是，當(dāng)線段EF的值最小時圖中陰影部分的面積是___．

38．（浙江慈溪·九年級期中）如圖，是以為圓心，半徑為4的圓的兩條弦，，且點在內(nèi).點是劣弧上的一個動點，點分別是的中點.則的長度的最大值為________.

三、解答題

39．（浙江鎮(zhèn)?！ぃ┤鐖D，在中，．求證：．

40．（樂清市英華學(xué)校九年級月考）如圖，在Rt△OAB中，∠OBA=90°，且點B的坐標為（0，4）．

（1）畫出△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1；

（2）求點A旋轉(zhuǎn)到點A1所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）．

41．（浙江九年級月考）如圖，⊙O的直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D．

（1）連AD，BD，判斷△ABD的形狀，并說明理由；

（2）求弦CD的長．

42．（浙江溫州·九年級期末）如圖，在中，，以底邊為直徑的交兩腰于點，．

（1）求證：；

（2）當(dāng)是等邊三角形，且時，求的長．

43．（浙江鄞州·）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．

（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；

（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長．

44．（浙江九年級月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度數(shù)；

（2）過B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．

45．（浙江龍游·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，點E是BC的中點，連結(jié)并延長OE交圓于點D．

（1）求證：ODAC．

（2）若DE＝2，BE＝2，求陰影部分的面積．

46．（紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊的中點，以CD為直徑作⊙O，分別與AC，

BC，AB交于點E，F(xiàn)，G．

（1）求證：AE＝CE；

（2）若CE＝4，CF＝3，求DG的長．

47．（浙江溫州·九年級期中）如圖，⊙O是△ABD的外接圓，AB為直徑，點C是弧AD的中點，連接OC，BC分別交AD于點F，E．

（1）求證：∠ABD＝2∠C．

（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．

48．（浙江金華·中考真題）在扇形中，半徑，點P在OA上，連結(jié)PB，將沿PB折疊得到．

（1）如圖1，若，且與所在的圓相切于點B．

①求的度數(shù)．

②求AP的長．

（2）如圖2，與相交于點D，若點D為的中點，且，求的長．

49．（浙江九年級期末）在中，．將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到，記，連結(jié)，取的中點F，射線，交于點A．

（1）填表：如圖1，當(dāng)時，根據(jù)下表中的值，分別計算的度數(shù)．

（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）應(yīng)用：如圖2，當(dāng)時，請求出從逐漸增加到的過程中，點A所經(jīng)過的路徑長．

50．（浙江杭州·九年級期末）根據(jù)題意求各圖中陰影部分的面積．

（1）如圖1，在中，，，以A為頂點，為半徑畫弧，交于D點．

（2）如圖2，已知扇形的圓心角為，半徑為2．

（3）如圖3，是的直徑，弦，，．

（4）如圖4，半徑為，圓心角為的扇形中、分別以、為直徑作半圓．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺

《圓的基本性質(zhì)》精選50題

一、選擇題

1．（杭州市采荷中學(xué)）下列命題中不正確的是（）

A．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸

B．圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心

C．圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等

D．平分弦的直徑一定垂直于這條弦

【答案】D

【分析】

利用圓的對稱性、圓周角定理及垂徑定理分別判斷后即可確定正確的選項．

【解析】

解：、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸，正確，不符合題意；

、圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心，正確，不符合題意；

、同弧或等弧所對的圓心角相等，正確，不符合題意；

、平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于這條弦，錯誤，符合題意，

故選：D．

【點睛】

本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓的對稱性、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及垂徑定理．

2．（浙江溫州·九年級期末）已知一個扇形的半徑長是，圓心角為，則這個扇形的面積為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】

根據(jù)扇形的面積公式直接求解即可．

【解析】

解：由扇形的面積公式可得，這個扇形的面積為

故選B

【點睛】

此題考查了扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算公式是解題的關(guān)鍵．

3．（浙江溫州·九年級期末）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，若，則等于（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】

直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【解析】

解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠C=180°．

∵∠A=60°，

∴∠C=180°-60°=120°．

故選C．

【點睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關(guān)鍵．

4．（浙江杭州·翠苑中學(xué)九年級二模）如圖，是的直徑，弦于點，，，則的長為（）

A．4B．5C．8D．16

【答案】C

【分析】

根據(jù)垂徑定理得出CM=DM，再由已知條件得出圓的半徑為5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，從而得出CD．

【解析】

解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴CM=DM，

∵AM=2，BM=8，

∴AB=10，

∴OA=OC=5，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，

∴CM==4，

∴CD=8．

故選：C．

【點睛】

本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握定理的內(nèi)容并熟練地運用是解題的關(guān)鍵．

5．（浙江衢江·九年級期末）如圖，在半圓O中，若∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．70°B．140°C．110°D．130°

【答案】C

【分析】

連接AC，BD，利用圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理求解即可．

【解析】

解：如圖連接AC，BD，

∵AB是圓的直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵∠ABC=70°，

∴∠CDB=∠CAB=20°，

∴∠ADC=110°，

故選C．

【點睛】

本題主要考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．

6．（浙江諸暨市暨陽初級中學(xué)九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（）

A．52°B．26°C．64°D．128°

【答案】A

【分析】

先利用直角三角形的兩銳角互余得出，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解即可．

【解析】

解：，，

，

，

，

，

的度數(shù)為．

故選A．

【點睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓心角的性質(zhì)，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．

7．（浙江九年級月考）如圖，在⊙O中，半徑r=10，弦AB=16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是（）

A．10B．16C．6D．8

【答案】C

【分析】

過點O作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理的求得AC=8，由勾股定理求出OC=6，由垂線段最短得：當(dāng)P與C重合時，OP最短為6即可．

【解析】

解：過點O作OC⊥AB于C，連接OA，

∴AC=AB=×16=8，

∵⊙O的半徑r=10，

∴OA=10，

在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC==6，

由垂線段最短得：當(dāng)P與C重合時，OP最短=OC=6，

故選：C．

【點睛】

本題考查了垂徑定理、勾股定理以及最短線段，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．

8．（杭州市公益中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，點A、B、C、D在上，，，，則（）

A．30°B．50°C．70°D．80°

【答案】C

【分析】

根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，可分別得到，，再由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠ADB的度數(shù)．

【解析】

∵在中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故選：C．

【點睛】

本題考查了同弧或等弧所對的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．

9．（諸暨市濱江初級中學(xué)九年級期中）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．

【解析】

解：根據(jù)圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，

∵∠ABC+∠AOC＝75°，

∴∠AOC＝×75°＝50°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，

故選C．

【點睛】

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，能求出∠AOC是解此題的關(guān)鍵．

10．（衢州市實驗學(xué)校教育集團（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團）九年級期末）已知⊙O的半徑為4cm，點P到圓心O的距離為3cm，則點P（）

A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不能確定

【答案】A

【分析】

根據(jù)點與圓的位置關(guān)系“當(dāng)點到圓心的距離等于半徑時，點在圓上；當(dāng)點到圓心的距離大于半徑時，點在圓外；當(dāng)點到圓心的距離小于半徑時，點在圓內(nèi)”，由此可求解．

【解析】

解：由題意得：3＜4，

∴點P在圓內(nèi)；

故選A．

【點睛】

本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

11．（浙江衢江·九年級期末）在一次數(shù)學(xué)綜合活動課上，小凌同學(xué)需要在一個半徑為6cm的圓上裁出一個面積盡可能大的等邊三角形，則這個等邊三角形的邊長是（）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

【答案】D

【分析】

畫出圖形，作于點，利用垂徑定理和等邊三角形的性質(zhì)求出AC的長，即可求解．

【解析】

解：依題意得，

連接，，作于點，

∵，

∴，，

∴

∴

由勾股定理可得

故選：D．

【點睛】

本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

12．（浙江溫州·九年級期中）以下命題：

①三角形的內(nèi)心是三角形三邊中垂線的交點；

②任意三角形都有且只有一個外接圓；

③圓周角相等，則弧相等．

④經(jīng)過兩點有且只有一個圓，其中真命題的個數(shù)為（）個．

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】

根據(jù)三角形外心的概念，確定圓的條件，圓周角定理判定即可.

【解析】

解：①三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點，本小題說法是假命題；

②任意三角形都有且只有一個外接圓，本小題說法是真命題；

③在同圓或等圓中，圓周角相等，則弧相等，本小題說法是假命題；

④經(jīng)過兩點有無數(shù)個圓，本小題說法是假命題；

故選A

【點睛】

本題主要考查了命題的判定，正確的命題在真命題，錯誤的命題角假命題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識.

13．（諸暨市開放雙語實驗學(xué)校）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．弦AB與DC的延長線相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝48°，則∠DBC的度數(shù)為（）

A．84°B．72°C．66°D．48°

【答案】A

【分析】

連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及平角定義可得，∠ADC＝∠GBC＝48°，根據(jù)垂徑定理可得得到DE＝CE，∠DAE＝42°，AC＝AD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DAE＝42°，最后根據(jù)圓周角定理可知即可求解．

【解析】

解：連接AC，

∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠ADC＝∠GBC＝48°，

∵AO⊥CD，

∴DE＝CE，∠AED＝90°，AC＝AD，

∴∠DAE＝180°﹣∠ADC﹣∠AED＝42°，

∴∠CAD＝2∠DAE＝84°，

由圓周角定理得，∠DBC＝∠CAD＝84°，

故選：A．

【點睛】

本題主要考查了圓的角度計算，涉及到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識求得∠DAC．

14．（浙江九年級期末）如圖，已知是直徑，是弦，，過圓心作交弧于點，連接，則為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓周角定理，∠DCB=∠BOD，只要求出∠BOD即可解決問題；

【解析】

解：如圖，OD交BC于E．

∵OD⊥BC，

∴∠OEB=90°，

∵∠ABC=40°，

∴∠BOD=50°，

∴∠DCB=∠BOD=25°，

故選：C．

【點睛】

本題考查圓周角定理、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

15．（浙江）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為軸，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，點B′恰好落在y軸負半軸上，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小可得OB′=OB，然后寫出點A′的坐標即可得解．

【解析】

解：如圖，點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點落在軸負半軸上，

點的坐標為，

，

，

，

，

點的坐標為，．

故選：B．

【點睛】

本題考查了坐標與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，根據(jù)平面直角坐標系確定出點A′的位置是解題的關(guān)鍵．

16．（浙江杭州·九年級期末）如圖，在中，弦半徑，與相交于M，，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】

由圓周角定理得到∠AOC，再由平行得∠A，最后利用三角形的外角性質(zhì)求出∠AMB．

【解析】

解：∵∠C=20°，

∴∠AOB=40°，

又∵弦BC∥半徑OA，

∴∠OAC=∠C=20°，

∵∠AMB是△AOM的外角，

∴∠AMB=∠OAC+∠AOB=60°．

故選：B．

【點睛】

本題考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)和三角形的外角定理，掌握定理并熟練運用是解題的關(guān)鍵．

17．（浙江九年級期末）如圖，為圓O的直徑，且AB=8，C為圓上任意一點，連接、，以為邊作等邊三角形，以為邊作正方形，連接．若為a，為b，為c，則下列關(guān)系式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

延長DC，過E作DC延長線的垂線，垂足為M，在△ECM中，分別表示出EM和CM，得到DM，在△DEM中，利用勾股定理得到，結(jié)合直徑AB=8即可得到結(jié)果．

【解析】

解：延長DC，過E作DC延長線的垂線，垂足為M，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵四邊形BCEF為正方形，

∴∠BCE=90°，即A，C，E三點共線，

∵△ACD為正三角形，

∴∠ACD=60°，

∴∠ECM=60°，

在△ECM中，

EM=EC·sin60°=b，

CM=EC·sin30°=b，

∴DM=DC+CM=a+b，

在△DEM中，，

∴，

整理可得：，

∵AB=8，

∴，

∴，

故選D．

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，得到a，b，c的關(guān)系式．

18．（金華市外國語學(xué)校八年級期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，、為其兩條對角線，，，，連接，則的大小為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】

根據(jù)同弧或等弧所對圓周角相等可知，，即可求出．即可利用三角形內(nèi)角和定理求出，再由圓周角定理即可求出，最后即可求出的大小．

【解析】

∵，，

∴，，

∴．

∵，

∴，

∴．

∴，

∴．

∵，

∴．

故選A．

【點睛】

本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角的知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．

19．（浙江蕭山·）如圖，已知△ABC，O為AC上一點，以O(shè)B為半徑的圓經(jīng)過點A，且與BC，OC交于點D，E．設(shè)∠A=α，∠C=β（）

A．若α+β=70°，則的度數(shù)為20°B．若α+β=70°，則的度數(shù)為40°

C．若α﹣β=70°，則的度數(shù)為20°D．若α﹣β=70°，則的度數(shù)為40°

【答案】B

【分析】

連接BE，根據(jù)圓周角定理求出∠ABE=90°，∠AEB=90﹣α，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出90°﹣α=β+，得到的度數(shù)為180°﹣2（α+β），再逐個判斷即可．

【解析】

解：連接BE，設(shè)的度數(shù)為θ，

則∠EBD=，

∵AE為直徑，

∴∠ABE=90°，

∵∠A=α，

∴∠AEB=90﹣α，

∵∠C=β，∠AEB=∠C+∠EBC=β+，

∴90°﹣α=β+，

解得：θ=180°﹣2（α+β），

即的度數(shù)為180°﹣2（α+β），

A、當(dāng)α+β=70°時，的度數(shù)是180°-140°=40°，故本選項錯誤；

B、當(dāng)α+β=70°時，的度數(shù)是180°-140°=40°，故本選項正確；

C、當(dāng)α-β=70°時，即α=70°+β，的度數(shù)是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本選項錯誤；

D、當(dāng)α-β=70°時，即α=70°+β，的度數(shù)是40°-4β，故本選項錯誤；

故選：B．

．

【點睛】

本題考查了圓周角定理和三角形的外角性質(zhì)，能靈活運用定理進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．

20．（浙江九年級期末）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑畫弧交于點，則的長為（）

A．B．2C．D．4

【答案】C

【分析】

如圖（見解析），過點作于點，利用勾股定理求得，再由等面積法求得，結(jié)合已知條件可知，繼而勾股定理求得，最后根據(jù)即可求得．

【解析】

如圖，過點作于點，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案為C．

【點睛】

本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

21．（浙江九年級期末）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，直徑，，則的長為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】

先證明是等邊三角形，可得∠AOD=60°，再根據(jù)弧長公式，即可求解．

【解析】

解：∵四邊形內(nèi)接于⊙O，，

∴∠A=180°-120°=60°，

∵OA=OD=，

∴是等邊三角形，

∴AD=OA=1，∠AOD=60°，

∴=，

故選C．

【點睛】

本題主要考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長公式，掌握l=，是解題的關(guān)鍵．

22．（浙江九年級期中）如圖，在扇形中，點A從點M出發(fā)沿著向點N運動，當(dāng)點A到達點N時停止運動．以為邊，順時針方向作正方形，連結(jié)．在整個運動過程中，圖中陰影部分的面積的大小變化情況是（）

A．變大B．變小C．先變大再變小D．不變

【答案】D

【分析】

過點作于，于，分別記為，，可知正方形ABCD面積固定，求出△AON和△BCN的面積之和，得到，可得結(jié)果．

【解析】

解：如圖，過點作于，于，分別記為，，

由題可知，AO為半徑，長度不變，則正方形ABCD面積固定，

∵，，

∴，

∴，

∴不變且為正方形面積的一半．

故選D．

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠表示出的面積．

23．（浙江）如圖，六邊形是正六邊形，點是邊的中點，，分別與交于點，，則的值為（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

設(shè)正六邊形的邊長為a，MN是△PCD的中位線，求出△PBM和△PCD的面積即可．

【解析】

解：設(shè)正六邊形的邊長為a，連接AC交BE于H點，如下圖所示：

正六邊形六邊均相等，且每個內(nèi)角為120°，

∴△ABC為30°，30°，120°等腰三角形，

∴BE⊥AC，且，且，

∵AF∥CD，P為AF上一點，

∴，

MN為△PCD的中位線，

∴，

由正六邊形的對稱性可知：，

∴，

∴，

∴，

故選：D．

【點睛】

本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于常考題型．

24．（浙江九年級期末）如圖，是上的5等分點，連接，得到一個五角星圖形和五邊形．有下列3個結(jié)論：①，②，③．其中正確的結(jié)論是（）

A．①B．①②C．②③D．①②③

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓的性質(zhì)得到AO⊥BE，故①正確；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分點，得到弧CD的度數(shù)，求得∠COD=72°，根據(jù)圓周角定理得到∠CAD=36°；連接CD求得∠CGD=108°，于是得到∠CGD=∠COD+∠CAD，故②正確；連接AB，AE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解析】

解：、、、、是上的5等分點，

，

，故①正確；

、、、、是上的5等分點，

的度數(shù)，

，

，

；

連接

、、、、是上的5等分點，

，

，

，

，故②正確；

連接，，

則，

，

，

，

，

，③錯誤．

故選：B．

【點睛】

本題考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

二、填空題

25．（浙江九年級月考）⊙O內(nèi)一點P到⊙O上的最近點的距離為2，最遠點的距離為4，則⊙O的半徑為___．

【答案】3

【分析】

根據(jù)直徑＝最近點的距離＋最遠點的距離，即可求解．

【解析】

解：當(dāng)點在定圓內(nèi)時，最近點的距離為2，最遠點的距離為4，則直徑是6，

因而半徑是3；

故答案為：3．

【點睛】

本題考查了點與圓的位置關(guān)系，理解點與定圓上最近點的距離、最遠點的距離與直徑的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

26．（杭州市采荷中學(xué)）已知△ABC三邊長分別為5cm，12cm，13cm，則這個三角形的外接圓的半徑＝___．

【答案】cm

【分析】

首先根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)該三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半進行計算．

【解析】

解：，

是直角三角形，

則外接圓半徑是斜邊的一半，即為cm；

故答案為：cm．

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是熟記直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半．

27．（浙江溫州·九年級期末）如圖，在的內(nèi)接正六邊形中，______°．

【答案】

【分析】

首先求出正六邊形的內(nèi)角和，然后根據(jù)正六邊形每個內(nèi)角都相等即可求出的度數(shù)．

【解析】

解：∵多邊形是正六邊形，

∴正六邊形的內(nèi)角和為，

∴正六邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為．

∴．

故答案為：．

【點睛】

此題考查了正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知多邊形內(nèi)角和公式．多邊形內(nèi)角和=．

28．（浙江鄞州·九年級月考）如圖，已知的對角線，將繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)，則點所轉(zhuǎn)過的路徑長為______．

【答案】

【分析】

點D所轉(zhuǎn)過的路徑是一段圓心角為180°，半徑為OD的弧，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OD=，根據(jù)弧長公式計算即可得答案．

【解析】

∵四邊形ABCD是平行四邊形，，

∴OD==2cm，

∵將繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)，

∴點D所轉(zhuǎn)過的路徑是一段圓心角為180°，半徑為OD的弧，

∴點所轉(zhuǎn)過的路徑長==，

故答案為：

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)及弧長，熟練掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．

29．（浙江衢州·九年級期中）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠C＝80°，則∠A等于___．

【答案】100°

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．

【解析】

解：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∠C＝80°，

∴∠A＝180°﹣∠C＝100°，

故答案為：100°．

【點睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．

30．（浙江衢州·九年級期中）如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝2，點A在⊙O上，∠AMN＝40°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA＋PB的最小值為_____________．

【答案】

【分析】

作點B關(guān)于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，連接OA，OC，作OD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求解即可．

【解析】

解：作點B關(guān)于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則P點就是所求作的點．

此時PA+PB最小，且等于AC的長．

連接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D，

∵∠AMN＝40°，

∴∠AON＝80°，

∵B為弧AN的中點，

∴∠AOB＝∠NOB＝40°，

由對稱可知，∠CON＝∠NOB＝40°，

∴∠AOC＝120°，

∵MN＝2

∴OA＝OC＝1，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∴OD＝，

，

AC＝2CD＝．

故答案為．

【點睛】

本題考查了軸對稱-最短路線問題，垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)等，確定點P的位置，求出∠AOC的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．

31．（浙江九年級月考）已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，P為⊙O上除C、D外任意一點，則∠CPD的度數(shù)為________．

【答案】30°或150°

【分析】

連接OC、OD，如圖，利用正六邊形的性質(zhì)得到∠COD=60°，討論：當(dāng)P點在弧CAD上時，根據(jù)圓周角定理得到∠CPD=30°，當(dāng)P點在弧CD上時，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠CPD=150°．

【解析】

解：連接OC、OD，如圖，

∵⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，

∴∠COD=60°，

當(dāng)P點在弧CAD上時，∠CPD=∠COD=30°，

當(dāng)P點在弧CD上時，∠CPD=180°-30°=150°，

綜上所述，∠CPD的度數(shù)為30°或150°．

故答案為：30°或150°．

【點睛】

本題考查了正多邊形與圓：熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念和正多邊的性質(zhì)．也考查了圓周角定理．

32．（杭州市十三中教育集團（總校）九年級二模）如圖，點為半圓的中點，是直徑，點是半圓上一點，、交于點，若，，則________．

【答案】5

【分析】

由題意得，AB是直徑，則，根據(jù)勾股定理可得，，又根據(jù)點C為半圓的直徑，得出，由勾股定理可得AC=5．

【解析】

解：如圖所示，連接OC，

，

∵AB是直徑，

∴，

在中，AD=1，BD＝，

∴，

∴，

∵點C為半圓的中點，

∴，∠AOC=90°

∴，

∴，

故答案為：．

【點睛】

本題考查了圓周角的推論，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角的推論．

33．（浙江諸暨·浣江教育九年級期中）如圖，直線l經(jīng)過的圓心O，且與交于A、B兩點，點C在上，且，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與相交于另一點Q，如果，則______．

【答案】、、．

【分析】

點P是直線l上的一個動點，因而分點P在線段AO上，點P在AO延長線上，點P在OA的延長線上這三種情況進行討論求解即可．

【解析】

當(dāng)P在線段OA上如圖，

在△QOC中，OC=OQ，

∴∠OQC=∠OCP，

在△OPQ中，QP=QO，

∴∠QOP=∠QPO，

又∵∠AOC=20°，

∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+20°，

在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，

即（∠OCP+20°）+（∠OCP+20°）+∠OCP=180°，

整理得，3∠OCP=140°，

∴∠OCP=．

②當(dāng)P在線段OA的延長線上如圖

∵OC=OQ，

∴∠OQP=∠OCQ=∠COP+∠OPQ=20°+∠OPQ，

∵OQ=PQ，

∴∠OPQ=∠QOP，

在△OQP中，20°+∠OPQ+∠OPQ+∠OPQ=180°③，

則∠OPQ=，

∴∠OCP=180°-20°-=；

當(dāng)P在線段OA的反向延長線上如圖，

∵OQ=PQ，

∴∠QPO=∠QOP，

∵OC=OQ，

∴∠OCP=∠OQC=∠QPO+∠QOP=2∠QPO，

∵∠AOC=20°，

∴∠OCP+∠QPO=20°，

∴3∠QPO=20°，

∴∠QPO=，

∴∠OCP=2∠QPO=．

故答案為、、．

【點睛】

本題主要考查了圓的認識及等腰三角形等邊對等角的性質(zhì),三角形外角性質(zhì)，先假設(shè)存在并進行分類討論是進行解題的關(guān)鍵．

34．（浙江九年級期末）如圖，已知AD是∠BAC的平分線，以線段AB為直徑作圓，交∠BAC和角平分線于C，D兩點過D向AC作垂線DE垂足為點E，若，則直徑________．

【答案】10

【分析】

連接，，，過點作于點，根據(jù)勾股定理求出，由圓周角定理可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)勾股定理可得半徑的值，即可得出直徑的值．

【解析】

解：連接，，，過點作于點，

，，

，

，

是的平分線，，，

，，

，

，

在中，設(shè)，則，

，解得：，

．

故答案為：10．

【點睛】

本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵

35．（浙江九年級期末）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C在上，且的長為2π，點D在OA上，連接BD，CD，BC，若點C，O關(guān)于直線BD對稱，則BC長=____________．

【答案】6

【分析】

連結(jié)OC，根據(jù)點C，O關(guān)于直線BD對稱，可證△COB為等邊三角形，可求∠COB=60°，根據(jù)弧長公式可求即可．

【解析】

解：連結(jié)OC，

∵點C，O關(guān)于直線BD對稱，

∴OB=CB，

∵OC=OB，

∴OC=OB=BC，

∴△COB為等邊三角形，

∴∠COB=60°，

∵的長為2π，

∴，

∴，

∴BC=6．

故答案為：6．

【點睛】

本題考查扇形弧長，等邊三角形判定與性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，掌握扇形弧長，等邊三角形判定與性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

36．（浙江桐鄉(xiāng)·）如圖，邊長為2的正方形中，動點在邊上，在射線上取一點，使，當(dāng)動點從點出發(fā)向終點運動時，點的運動路徑長為______，線段的最大值是______．

【答案】4

【分析】

以AB為邊在正方形ABCD內(nèi)作等邊三角形ABO，點O為圓心，OA為半徑作圓，可知圓的半徑為2，延長AO，BC交于點K，延長BO，AD交于點H，連接并延長交⊙O于連接可知點G的運動路徑為，根據(jù)弧長公式求解即可，BG最大值為BH，根據(jù)圓的直徑即可得解．

【解析】

解：如圖，以AB為邊在正方形ABCD內(nèi)作等邊三角形ABO，點O為圓心，OA為半徑作圓，

則點G在⊙O上

延長AO，BC交于點K，延長BO，AD交于點H，連接并延長交⊙O于連接

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°

∴點K，H，在⊙O上

∴∠BKA=∠AHB=∠AGB=30°

∵F從點C運動到點D，則G點從K運動到，

即G點運動路徑為，

正方形

∴，

∵圓內(nèi)最長的弦為直徑，由圖可知BG最大值為BH

∵BH為O直徑，即BH=2r=4，

∴BG最大值為4．

故答案為：π；4

【點睛】

此題考查了點的運動，圓周角，弧長公式等知識，正確作出輔助圓是解答此題的關(guān)鍵．

37．（浙江婺城·九年級三模）如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，長為2的線段CD的兩個端點分別在線段OA、OB上滑動，E為CD的中點，點F在弧AB上，連接EF、BE．若AF的長是，當(dāng)線段EF的值最小時圖中陰影部分的面積是___．

【答案】

【分析】

連接OF，令弧AF所對圓心角為，根據(jù)弧長公式即可求得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得OE的值，從而得出E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，得出EF的值；過點E作于點M，在直角三角形OEM中即可得出EM的值，最后根據(jù)S陰影=S扇形OBF-S△BOE及扇形公式即可得出答案．

【解析】

解：連接OF，令弧AF所對圓心角為

，E為CD中點

E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，

OF與CD交點即為所求E點

此時EF最短，EF=OF-OE=1

過點E作于點M

，

S陰影=S扇形OBF-S△BOE

故答案為：．

【點睛】

本題考查了弧長公式、直角三角形斜邊上的中線定理，熟練掌握弧長公式并靈活運用是解題的關(guān)鍵．

38．（浙江慈溪·九年級期中）如圖，是以為圓心，半徑為4的圓的兩條弦，，且點在內(nèi).點是劣弧上的一個動點，點分別是的中點.則的長度的最大值為________.

【答案】

【分析】

連接OC，BD，OA，AC，過點O作OH⊥CA于點H，利用圓周角定理可及垂徑定理可得到∠AOC的度數(shù)，同時可證得CH=AH，再利用勾股定理求出AH的長，從而可得到AC的長，當(dāng)BD時直徑時，PN的值最大；再利用三角形的中位線定理可求出MN，PN的長，然后可得到PN+MN的最大值．

【解析】

解：連接OC，BD，OA，AC，過點O作OH⊥CA于點H，

∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，

∵OA=OC，OH⊥AC，

∴CH=AH，∠COH=∠AOH=60°，

∴∠HAO=30°

∴OH=OA=×4=2，

在Rt△AOH中，AH2+OH2=AO2

∴；

∴

當(dāng)BD時直徑時，PN的值最大，

∵點P，M，N分別是BC，AD，CD的中點，

∴MN和PN分別是△ADC和△BCD的中位線，

∴

∴.

故答案為：．

【點睛】

本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，三角形的中位線定理，熟練的掌握這些定理是解題的關(guān)鍵；

三、解答題

39．（浙江鎮(zhèn)?！ぃ┤鐖D，在中，．求證：．

【答案】見解析

【分析】

根據(jù)，得到，得到，證明結(jié)論．

【解析】

證明：，

，

，

即，

．

【點睛】

本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

40．（樂清市英華學(xué)校九年級月考）如圖，在Rt△OAB中，∠OBA=90°，且點B的坐標為（0，4）．

（1）畫出△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1；

（2）求點A旋轉(zhuǎn)到點A1所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）．

【答案】（1）見解析；（2）

【分析】

（1）將B，A分別繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得出對應(yīng)點位置畫出即可；

（2）先由勾股定理求出OA，再根據(jù)扇形弧長公式直接求出即可．

【解析】

解：（1）如圖所示：

（2）：解：依題意，

點A到點A1經(jīng)過的路線長為：．

【點睛】

此題考查了旋轉(zhuǎn)作圖、弧長的計算，解答本題需要正確地作出△OA1B1．

41．（浙江九年級月考）如圖，⊙O的直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D．

（1）連AD，BD，判斷△ABD的形狀，并說明理由；

（2）求弦CD的長．

【答案】（1）△ABD為等腰直角三角形；理由見解析；（2）CD＝7厘米．

【分析】

（1）先根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，再由角平分線定義和圓周角定理得，即可得出結(jié)論；

（2）過A點作AH⊥CD于H，先由等腰直角三角形的性質(zhì)求出CH、AH的長，再由勾股定理求出DH的長，即可得出答案．

【解析】

解：（1）△ABD為等腰直角三角形；

理由如下：如圖，連接AD、BD，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴，

∴AD＝BD，

∴△ABD為等腰直角三角形；

（2）過A點作AH⊥CD于H，由（1）△ABD為等腰直角三角形，

∴ADAB10＝5厘米；

在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，

∴AH＝CHAC6＝3厘米，

在Rt△ADH中，DH4，

∴CD＝CH+DH＝347．

【點睛】

此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握圓周角定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

42．（浙江溫州·九年級期末）如圖，在中，，以底邊為直徑的交兩腰于點，．

（1）求證：；

（2）當(dāng)是等邊三角形，且時，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）

【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，再由弧、弦、圓周角之間的關(guān)系證得，即可得到結(jié)論；

（2）連接OD、OE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理求出∠DOE，利用弧長公式計算即可．

【解析】

解：（1）證明：∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）連接OD、OE，

∵是等邊三角形，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴的半徑為，

∴的長．

【點睛】

本題考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，弧、弦、圓周角之間的關(guān)系，圓周角定理，弧長公式，熟記各性質(zhì)定理及弧長公式是解題的關(guān)鍵．

43．（浙江鄞州·）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．

（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；

（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）連接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．

（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．利用面積法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得結(jié)論．

【解析】

解：（1）如圖，連接AD．

∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，

∴∠ACD＝70°．

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝70°，

∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．

又∵AD＝AE，

∴．

（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．

∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，

∴BC＝5．

又∵AFBC＝ACAB，

∴，

∴．

∵AC＝AD，AF⊥CD，

∴．

【點睛】

本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

44．（浙江九年級月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度數(shù)；

（2）過B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）∠ADB＝45°；（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．理由見解析．

【分析】

（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，再根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝45°；

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和AD∥BF，證明（SAS），得到EF=MF，再證明，利用勾股定理可得AE、CF、EF的關(guān)系．

【解析】

（1）如圖1，∵AC為直徑，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，

∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．

理由如下：如圖所示，設(shè)繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接FM，

∴，

∴，

∵AD∥BF，

∴∠EBF＝∠ADB＝45°，

∴,

∴，

∴,

在和中，

∴（SAS），

∴EF=EM，

∵，

∴，

在中，根據(jù)勾股定理，

，

∴．

【點睛】

本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的知識點．

45．（浙江龍游·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，點E是BC的中點，連結(jié)并延長OE交圓于點D．

（1）求證：ODAC．

（2）若DE＝2，BE＝2，求陰影部分的面積．

【答案】（1）見解析；（2）

【分析】

（1）連接OC，利用三線合一和直徑所對的圓周角是直角進行求證即可；

（2）連接OC，先求出∠EBO=30°，得到∠COA=60°，然后利用扇形面積公式和三角形面積公式求解即可．

【解析】

解：（1）如圖連接OC，

∵OC=OB，點E為BC的中點，

∴OE⊥BC，

∴∠BEO=90°，

∵AB為圓的直徑，

∴∠ACB=∠BEO=90°，

∴OD∥AC；

（2）連接OC，設(shè)圓的半徑為r，則OE=r-2，

∵，

∴，

解得，

∴，

∴∠ABC=30°，

∴∠COA=60°，

由（1）可得，

∴，

∴，

∵△BOC與△AOC等底同高，

∴，

∴．

【點睛】

本題主要考查了，平行線的判定，三線合一定理，直徑所對的圓周角是直角，含30度角的直角三角形，扇形面積公式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．

46．（紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊的中點，以CD為直徑作⊙O，分別與AC，

BC，AB交于點E，F(xiàn)，G．

（1）求證：AE＝CE；

（2）若CE＝4，CF＝3，求DG的長．

【答案】（1）見解析；（2）

【分析】

（1）由題意連接ED，根據(jù)圓周角定理和直角三角形斜邊中線是斜邊的一半證得，進而即可求證；

（2）根據(jù)題意連接CG，EF，設(shè)，結(jié)合勾股定理利用建立方程即可求得DG的長．

【解析】

（1）證明：連接ED，

∵CD為直徑,

∴,

∵∠ACB＝90°，點D為AB邊的中點，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴；

（2）解：連接CG，EF，

∵∠ACB＝90°，CE＝4，CF＝3，

∴EF為直徑，,

∵CD為直徑,

∴,

設(shè)，

則有,

∵,,

∴

∴，解得，

∴.

【點睛】

本題考查圓周角定理以及全等三角形判定和性質(zhì)與勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊中線是斜邊的一半以及結(jié)合勾股定理利用方程思維求解是解題的關(guān)鍵.

47．（浙江溫州·九年級期中）如圖，⊙O是△ABD的外接圓，AB為直徑，點C是弧AD的中點，連接OC，BC分別交AD于點F，E．

（1）求證：∠ABD＝2∠C．

（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．

【答案】（1）見解析；（2）BD＝2.8

【分析】

（1）利用弧的中點,等腰三角形的性質(zhì)計算即可．

（2）利用勾股定理，三角形中位線定理，垂徑定理的推論計算即可．

【解析】

（1）證明：∵C是的中點，

∴，

∴∠ABC＝∠CBD，

∵OB＝OC，

∴∠ABC＝∠C，

∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，

∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；

（2）解：連接AC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝＝6，

∵C是的中點，

∴OC⊥AD，

∴，

∴，

∴OF＝1.4，

又∵O是AB的中點，F(xiàn)是AD的中點，

∴OF是△ABD的中位線，

∴BD＝2OF＝2.8．

【點睛】

本題考查了垂徑定理及其推論，直徑所