2023新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)章末綜合提升教師用書新人教A版必修第一冊

第5章三角函數(shù)章末綜合提升類型1三角函數(shù)式的化簡與求值本章主要學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式等．(1)牢記兩個基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，并能應(yīng)用兩個關(guān)系式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．在應(yīng)用中，要注意掌握解題的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα．注意應(yīng)用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．在倍角公式中特別關(guān)注cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α及其變形．(2)誘導(dǎo)公式可概括為k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限．【例1】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則eq\f(sin4α,1＋cos2α)的值為__________．(2)化簡：eq\f(1＋sinα＋cosα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),\r(2＋2cosα))(π<α<2π)．(1)－eq\f(4\r(2),15)[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))．∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝eq\f(1,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝eq\f(1,3)，即cos2α＝eq\f(1,3)．又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－eq\f(2\r(2),3)．∴cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)＝eq\f(1＋\f(1,3),2)＝eq\f(2,3)．∴eq\f(sin4α,1＋cos2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))×\f(1,3),1＋\f(2,3))＝－eq\f(4\r(2),15)．](2)[解]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2)))＝eq\f(2cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＝eq\f(cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(α,2)－cos2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＝－eq\f(cos\f(α,2)cosα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))．∵π<α<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π．∴coseq\f(α,2)<0．∴原式＝cosα．類型2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)三角函數(shù)的性質(zhì)包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等，在研究性質(zhì)時，一般先通過恒等變換將函數(shù)表達式變形為y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后將ωx＋φ看成一個整體，利用整體代換思想解題是常見的技巧．(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象①“五點法”作圖；②圖象伸縮、平移變換．【例2】(1)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，則下面結(jié)論正確的是()A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個單位長度，得到曲線C2(2)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x．①求f(x)的最小正周期和最大值；②討論f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)性．(1)D[因為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以曲線C1：y＝cosx上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到曲線y＝cos2x，再把得到的曲線y＝cos2x向左平移eq\f(π,12)個單位長度，得到曲線y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))．故選D．](2)[解]①f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期為π，最大值為eq\f(2－\r(3),2)．②當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時，0≤2x－eq\f(π,3)≤π，從而當(dāng)0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，即eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,12)時，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤π，即eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(2π,3)時，f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減．類型3三角函數(shù)模型的應(yīng)用如果某種現(xiàn)象的變化具有周期性，那么我們可以根據(jù)這一現(xiàn)象的特征和條件利用三角函數(shù)知識建立數(shù)學(xué)模型－－三角函數(shù)模型．在解題中務(wù)必關(guān)注以下兩點：(1)自變量的取值范圍；(2)數(shù)形結(jié)合的靈活運用．【例3】如圖所示，摩天輪的半徑為40m，O點距地面的高度為50m，摩天輪作勻速轉(zhuǎn)動，每2min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最高點．(1)試確定在時刻tmin時P點距離地面的高度；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，有多長時間P點距離地面超過70m．[解](1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)φ(0≤φ≤2π)是以O(shè)x為始邊，OP0(P0表示點P的起始位置)為終邊的角，OP在tmin內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為eq\f(2π,2)t，即πt．∴以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為(πt＋φ)，即P點縱坐標(biāo)為40sin(πt＋φ)，∴P點距地面的高度為z＝50＋40sin