極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移定理

極值點(diǎn)偏移1-2---極值點(diǎn)偏移判定定理一、極值點(diǎn)偏移的判定定理對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（小）大值點(diǎn)右（左）偏.證明：（1）因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（小）值點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）二、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對(duì)稱(chēng)軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個(gè)步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數(shù)滿(mǎn)足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過(guò)求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.（4）不妨設(shè)，通過(guò)的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)椋?，由于在上單調(diào)遞減，故.【說(shuō)明】（1）此類(lèi)試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)須細(xì)心；（2）此類(lèi)題目若試題難度較低，會(huì)分解為三問(wèn)，前兩問(wèn)分別求的單調(diào)性、極值點(diǎn)，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時(shí)自己應(yīng)主動(dòng)把該小問(wèn)分解為三問(wèn)逐步解題.三、對(duì)點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒★已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，且，證明：.∵，∴，在上單調(diào)遞增，∴，∴.★函數(shù)與直線(xiàn)交于、兩點(diǎn).證明：.★已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由函數(shù)單調(diào)性可知：若，則必有，。所以，而，令，則所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以即，所以，所以.★已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.四、招式演練★已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)，且時(shí)，.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，無(wú)極值;當(dāng)時(shí),有極小值;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在時(shí)成立在上單調(diào)遞增，無(wú)極值.當(dāng)時(shí)，解得由得；由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極小值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，由，解?當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：00+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∵，且，則（不妨設(shè)）★已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有極大值為，且方程的兩根為，且，證明：.【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析.（1）當(dāng)