隱函數(shù)組隱函數(shù)組的存在性連續(xù)性與可微性是函數(shù)方市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎課件

§2隱函數(shù)組

隱函數(shù)組存在性、連續(xù)性與可微性,是函數(shù)方程組求解問題理論基礎.利用隱函數(shù)組思想,又可進而討論反函數(shù)組與坐標變換等特殊問題.

一、隱函數(shù)組概念二、隱函數(shù)組定理三、反函數(shù)組與坐標變換第1頁一、隱函數(shù)組概念設有一組方程使得對于任給足方程組(1),則稱由(1)確定了隱函數(shù)組有惟一與之對應,且使?jié)M其中函數(shù)定義在區(qū)域若存在區(qū)域第2頁并有關于隱函數(shù)組普通情形(含有m+n個變量m個方程所確定n個隱函數(shù))，將在第二十三章采取向量函數(shù)形式作深入討論．第3頁首先來看看,若由方程組(1)能確定兩個可微隱函數(shù),則函數(shù)應滿足何種條件呢?

不妨先設都可微,由復合求導法,經(jīng)過對(1)分別求關于x與y偏導數(shù),得到第4頁能由(2)與(3)惟一解出充要條件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即由此可見，只要含有連續(xù)一階偏導數(shù)，且其中是滿足(1)某一初始點,則由保號性定理，使得在此鄰域內(nèi)(4)式成立．依據(jù)以上分析,便有下述隱函數(shù)組定理.第5頁雅可比（

Jacobi,C.G.J.

1804-1851,德國）第6頁定理18.4(隱函數(shù)組定理)設方程組(1)中函數(shù)F與G滿足以下條件：(i)在以點為內(nèi)點某區(qū)域上連續(xù)；(ii)(初始條件);

(iii)在V內(nèi)存在連續(xù)一階偏導數(shù)；(iv)二、隱函數(shù)組定理

第7頁即有則有以下結論成立：且滿足必定存在鄰域其中使得第8頁在上連續(xù).在上存在一階連續(xù)偏導數(shù),且有本定理詳細證實從略(第二十三章有普通隱函數(shù)定理及其證實),下面只作一粗略解釋:第9頁①由方程組(1)第一式確定隱函數(shù)②將代入方程組(1)第二式,得③再由此方程確定隱函數(shù)并代回至這么就得到了一組隱函數(shù)第10頁經(jīng)過詳細計算,又可得出以下一些結果:第11頁例1設有方程組試討論在點近旁能確定怎樣隱函數(shù)組？并計算各隱函數(shù)在點處導數(shù).解易知點滿足方程組(5).設第12頁它們在上有連續(xù)各階偏導數(shù).再考查在點關于全部變量雅可比矩陣因為第13頁所以由隱函數(shù)組定理可知,在點近旁能夠惟一地確定隱函數(shù)組:但不能必定y,z可否作為x兩個隱函數(shù).第14頁利用定理18.4結論,可求得隱函數(shù)在點處導數(shù)值:第15頁*注經(jīng)過詳細計算,還能求得這說明處取極大值,從而知道在點任意小鄰域內(nèi),對每一個x值,會有多個y值與之對應.類似地,對每一個x值,也會有多個z值與之對應.所以方程組(5)在點近旁不能惟一確定以x作為自變量隱函數(shù)組.第16頁例2設函數(shù)含有連續(xù)偏導數(shù),是由方程組所確定隱函數(shù)組.試求

解設則有第17頁由此計算所需之雅可比行列式:于是求得第18頁注計算隱函數(shù)組偏導數(shù)(或導數(shù))比較繁瑣,要學懂前兩例所演示方法(利用雅可比矩陣和雅可比行列式),掌握其中規(guī)律.這里尤其需要“精心＋細心＋耐心”.第19頁三、反函數(shù)組與坐標變換設有一函數(shù)組它確定了一個映射(或變換):寫成點函數(shù)形式,即為并記象集為現(xiàn)在問題是:函數(shù)組(6)滿足何種條件時,存在逆變換即存在第20頁亦即存在一個函數(shù)組使得滿足這么函數(shù)組(7)稱為函數(shù)組(6)反函數(shù)組.它存在性問題可化為隱函數(shù)組對應問題來處理.第21頁為此,首先把方程組(6)改寫為然后將定理18.4應用于(8),即得下述定理.定理18.5(反函數(shù)組定理)

設(6)中函數(shù)在某區(qū)域上含有連續(xù)一階偏導數(shù),是內(nèi)點,且第22頁則在點某鄰域內(nèi),存在惟一另外,反函數(shù)組(7)在內(nèi)存在連續(xù)一階一組反函數(shù)(7),使得偏導數(shù);若記第23頁則有同理又有第24頁由(9)式深入看到:

此式表示:互為反函數(shù)組(6)與(7),它們雅可比行列式互為倒數(shù).這和以前熟知反函數(shù)求導公式相類似,亦即一元函數(shù)導數(shù)和函數(shù)組(6)雅可比行列式互為對應物.第25頁例3平面上點直角坐標與極坐標之間坐標變換為試討論它逆變換.解因為所以除原點(r=0)外,在其余一切點處,T存在逆變換第26頁第27頁例4空間直角坐標與球坐標之間坐標變換為(見右圖)因為第28頁所以在(即除去Oz軸上一切點)時,存在逆變換例5設有一微分方程(弦振動方程):其中含有二階連續(xù)偏導數(shù).試問此方程在坐標變換之下,將變成何種形式?第29頁解據(jù)題意,是要把方程(10)變換成以u,v作為自變量形式.現(xiàn)在按此目標計算以下:首先有故T逆變換存在,而且又有依據(jù)一階微分形式不變性,得到并由此推知