第二章-靜電場復(fù)習(xí)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課百校聯(lián)賽優(yōu)質(zhì)課一等獎?wù)n件

第二章靜電場

1.

電場強度、電通及電場線

電場強度經(jīng)過任一曲面通量稱為電通，以

表示,即

1/322.

真空中靜電場方程高斯定理環(huán)路定理真空中靜電場電場強度E

滿足以下兩個積分形式方程。

左式稱為高斯定理，它表明真空中靜電場電場強度經(jīng)過任一封閉曲面電通等于該封閉曲面所包圍電量與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場電場強度沿任一條閉合曲線環(huán)量為零。2/32左式表明，真空中靜電場電場強度在某點散度等于該點電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場電場強度旋度處處為零。由此可見，真空中靜電場是有散無旋場。

已知靜電場電場強度散度及旋度以后，依據(jù)亥姆霍茲定理，電場強度E應(yīng)為式中xPzyr03/32將前述結(jié)果代入，求得所以

標量函數(shù)

稱為電位。將電位表示式代入，求得電場強度與電荷密度關(guān)系為4/32

若電荷分布在一個有限表面上，或者分布在一個有限線段內(nèi)，那么能夠類推獲知此時電位及電場強度與電荷面密度

S

及線密度

l

關(guān)系分別為5/32（1）高斯定律中電量q

應(yīng)了解為封閉面S

所包圍全部正負電荷總和。

靜電場特征深入認識：（2）靜電場電場線是不可能閉合，而且也不可能相交。（3）任意兩點之間電場強度E線積分與路徑無關(guān)。真空中靜電場和重力場一樣，它是一個保守場。（4）已知電荷分布情況下，能夠利用高斯定理計算電場強度，或者能夠經(jīng)過電位求出電場強度，或者直接依據(jù)電荷分布計算電場強度等三種計算靜電場方法。

6/323.

電位與等位面

靜電場中某點電位，其物理意義是單位正電荷在電場力作用下，自該點沿任一條路徑移至無限遠處過程中電場力作功。電位數(shù)學(xué)表示式中q

為電荷電量，W為電場力將電荷q

推到無限遠處作功。

電位相等曲面稱為等位面，其方程為7/32

因為電場強度方向為電位梯度負方向，而梯度方向總是垂直于等位面，所以，電場線與等位面一定處處保持垂直。若要求相鄰等位面之間電位差保持恒定，那么等位面密集處表明電位改變較快，因而場強較強。這么，等位面分布疏密程度也可表示電場強度強弱。

電場線等位面E8/32有極分子無極分子4.介質(zhì)極化

導(dǎo)體中電子通常稱為自由電子，它們所攜帶電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中電荷是不會自由運動，這些電荷稱為束縛電荷。

在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。通常，無極分子極化稱為位移極化，有極分子極化稱為取向極化。

無極分子有極分子

Ea

9/32單位體積中電矩矢量和稱為極化強度，以P表示，即

式中pi

為體積

V

中第i個電偶極子電矩，N

為

V

中電偶極子數(shù)目。這里

V

應(yīng)了解為物理無限小體積。

式中

e

稱為極化率，它是一個正實數(shù)。

10/32

空間各點極化率相同介質(zhì)稱為均勻介質(zhì)，不然，稱為非均勻介質(zhì)。極化率與時間無關(guān)介質(zhì)稱為靜止媒質(zhì)，不然稱為運動媒質(zhì)。

極化率與電場強度大小無關(guān)介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，不然，稱為非線性介質(zhì)。

發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻，則極化產(chǎn)生電偶極子分布也是不均勻，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷體分布，因而出現(xiàn)體分布束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生面分布及體分布束縛電荷又稱為極化電荷。11/32

5.介質(zhì)中靜電場方程

在介質(zhì)內(nèi)部，穿過任一閉合面S電通應(yīng)為式中q為閉合面S

中自由電荷，為閉合面S

中束縛電荷。那么

令，求得此處定義D

稱為電位移?？梢?，介質(zhì)中穿過任一閉合面電位移通量等于該閉合面包圍自由電荷，而與束縛電荷無關(guān)。12/32

介質(zhì)中微分形式高斯定律表明，某點電位移散度等于該點自由電荷體密度。

已知各向同性介質(zhì)極化強度，求得

則

對于均勻介質(zhì)，因為介電常數(shù)與坐標無關(guān)，所以取得13/326.兩種介質(zhì)邊界條件

因為媒質(zhì)特征不一樣，引發(fā)場量在兩種媒質(zhì)交界面上發(fā)生突變，這種改變規(guī)律稱為靜電場邊界條件。

為了討論邊界上某點電場強度切向分量改變規(guī)律，圍繞該點且緊貼邊界作一個有向矩形閉合曲線，其長度為

l，高度為

h，則電場強度沿該矩形曲線環(huán)量為為了求出邊界上場量關(guān)系，必須令

h0，則線積分14/32E2E11324

l

h

1

2et為了求出邊界上場量關(guān)系，必須令

h0，則線積分

為了求出邊界上某點場量關(guān)系，必須令

l

足夠短，以致于在

l內(nèi)能夠認為場量是均勻，則上述環(huán)量為式中E1t

和E2t

分別表示介質(zhì)①和②中電場強度與邊界平行切向分量。已知靜電場中電場強度環(huán)量處處為零，所以由上式得15/32此式表明，在兩種介質(zhì)形成邊界上，兩側(cè)電場強度切向分量相等，或者說，電場強度切向分量是連續(xù)。

對于各向同性線性介質(zhì)，得

此式表明，在兩種各向同性線性介質(zhì)形成邊界上，電位移切向分量是不連續(xù)。

為了討論電位移法向分量改變規(guī)律，在邊界上圍繞某點作一個圓柱面，其高度為

h，端面為

S。那么依據(jù)介質(zhì)中高斯定律，得知電位移經(jīng)過該圓柱面通量等于圓柱面包圍自由電荷，即16/32

h

SD2D1令

h0

，則經(jīng)過側(cè)面通量為零，又考慮到

S

必須足夠小，則上述通量應(yīng)為式中D1t

及D2t

分別代表對應(yīng)介質(zhì)中電位移與邊界垂直法線分量。邊界法線方向en

要求為由介質(zhì)①指向介質(zhì)②。

1

2en求得17/32式中

s

為邊界上存在表面自由電荷面密度?？紤]到在兩種介質(zhì)形成邊界上通常不可能存在表面自由電荷，所以此式表明，在兩種介質(zhì)邊界上電位移法向分量相等，或者說，電位移法向分量是連續(xù)。

對于各向同性線性介質(zhì)，得

此式表明，在兩種各向同性線性介質(zhì)形成邊界上，電場強度法向分量不連續(xù)。

18/327.介質(zhì)與導(dǎo)體邊界條件

靜電平衡：當孤立導(dǎo)體放入靜電場中以后，導(dǎo)體中自由電子發(fā)生運動，電荷重新分布。因為自由電子逆電場方向反向移動，所以重新分布電荷產(chǎn)生二次電場與原電場方向相反，使導(dǎo)體中合成電場逐步減弱，一直到導(dǎo)體中合成電場消失為零，自由電子運動方才停頓，因而電荷分布不再改變，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。

當導(dǎo)體處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。因為導(dǎo)體中不可能存在靜電場，所以導(dǎo)體中電位梯度為零，這就意味著導(dǎo)體中電位不隨空間改變。所以，處于靜電平衡狀態(tài)導(dǎo)體是一個等位體，導(dǎo)體表面是一個等位面。19/32

既然導(dǎo)體中電場強度為零，導(dǎo)體表面外側(cè)不可能存在電場強度切向分量。換言之，電場強度必須垂直于導(dǎo)體表面，介質(zhì)E,D導(dǎo)體en

導(dǎo)體表面存在表面自由電荷面密度為

已知導(dǎo)體表面是一個等位面，因，求得表面電位與電荷關(guān)系為

考慮到導(dǎo)體中不存在靜電場，因而極化強度為零。求得導(dǎo)體表面束縛電荷面密度為20/32

靜電屏蔽：當封閉導(dǎo)體空腔中沒有自由電荷時，即使腔外存在電荷，腔中也不可能存在靜電場。這就意味著封閉導(dǎo)體腔能夠屏蔽外部靜電場，這種效應(yīng)稱為靜電屏蔽。8.電容與部分電容

平板電容器正極板上攜帶電量q與極板間電位差U比值是一個常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器電容，即電容為

對于多導(dǎo)體之間電容計算，需要引入部分電容概念。多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個導(dǎo)體電位不但與導(dǎo)體本身電荷相關(guān)，同時還與其它導(dǎo)體上電荷相關(guān)，因為周圍導(dǎo)體上電荷存在必定影響周圍空間靜電場分布，而多導(dǎo)體電場是由它們共同產(chǎn)生。21/32q1q3qnq2

此時，各個導(dǎo)體上電荷與導(dǎo)體間電位差關(guān)系為式中Cii

稱為第i個導(dǎo)體固有部分電容；Cij

稱為第i個導(dǎo)體與第j個導(dǎo)體之間互有部分電容。22/329.電場能量

已知在靜電場作用下，帶有正電荷帶電體會沿電場方向發(fā)生運動，這就意味著電場力作了功。靜電場為了對外作功必須消耗本身能量，可見靜電場是含有能量。假如靜止帶電體在外力作用下由無限遠處移入靜電場中，外力必須反抗電場力作功，這部分功將轉(zhuǎn)變?yōu)殪o電場能量儲備在靜電場中，使靜電場能量增加。由此可見，依據(jù)電場力作功或外力作功與靜電場能量之間轉(zhuǎn)換關(guān)系，能夠計算靜電場能量。

首先依據(jù)外力作功與靜電場能量之間關(guān)系計算電量為Q孤立帶電體能量。23/32代入上式，求得電量為Q

孤立帶電體含有能量為或者表示為

對于n

個帶電體含有總能量當各個帶電體電量同時分別增至最終值時，該系統(tǒng)總電場能為求得

當帶電體電荷為連續(xù)體分布、面分布或線分布電荷時，由，求得這種分布電荷帶電體總能量為24/32式中

為體元dV、面元dS、或線元dl所在處電位，積分區(qū)域為電荷分布空間。

從場觀點來看，靜電場能量分布在電場所占據(jù)整個空間，應(yīng)該計算靜電場能量分布密度。靜電場能量密度以小寫英文字母we表示。由此可見，靜電場能量密度

對于各向同性線性介質(zhì)，，代入后得25/32

此式表明，靜電場能量與電場強度平方成正比。所以，能量不符合疊加原理。即使幾個帶電體在空間產(chǎn)生電場強度等于各個帶電體分別產(chǎn)生電場強度矢量和，不過，其總能量并不等于各個帶電體單獨存在時含有各個能量之和。實際上，這是因為當?shù)诙€帶電體引入系統(tǒng)中時，外力必須反抗第一個帶電體對第二個帶電體產(chǎn)生電場力而作功，此功也轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿芰?，這份能量通常稱為互有能，而帶電體單獨存在時含有能量稱為固有能。26/3210.電場力

已知某點電場強度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點受到電場力。所以，點電荷受到電場力為若上式中E

為點電荷q產(chǎn)生電場強度，則

上式就是法國科學(xué)家?guī)靵鲆罁?jù)試驗總結(jié)歸納庫侖定律。

27/32

已知帶電體電荷分布，標準上，依據(jù)庫侖定律能夠計算帶電體電荷之間電場力。不過，對于電荷分布復(fù)雜帶電系統(tǒng)，依據(jù)庫侖定律計算電場力是非常困難，有時甚至無法求積。為了計算含有一定電荷分布帶電體之間電場力，通常采取虛位移法。這種方法是假定帶電體在電場作用下發(fā)生一定位移，依據(jù)位移過程中電場能量改變與外力及電場力所作功之間關(guān)系計算電場力。28/32例利用虛位移法計算平板電容器極板上受到表面張力。解利用虛位移概念，假定因為同一極板上同性電荷相斥產(chǎn)生表面張力為F。在此表面張力F

作用下，使極板面積擴大了dS，則電場力作功為FdS。依據(jù)能量守恒原理，這部分功應(yīng)等于電場能量減小值，即已知平板電容器能量為，代入上式，得

若虛位移時，極板與外源相連，因而電位保持不變。那么，表面張力F

應(yīng)為

29/32那么將代入，即可取得一樣結(jié)果。

顯然，對于不一樣廣義坐標，其廣義力含義不一樣。對于位移而言，廣義力就是普通概念力，單位為N；對于面積，廣義力為表面張力，單位為N/m；對于體積，廣義力為膨脹力或壓力，單位為N/m2；對于角度，廣義力為轉(zhuǎn)矩，單位為N?m。若要求廣義力方向依然為廣義坐標增加方向，那么，廣義力與廣義坐標乘積依然等于功。這么，前兩式可分別改寫為30/32式中兩微分符號變?yōu)槠?/p>