D10-1對弧長和曲線積分96850省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

第十章積分學定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長曲線積分對坐標曲線積分對面積曲面積分對坐標曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第1頁9/16/2023阜師院數(shù)科院第一節(jié)一、對弧長曲線積分概念與性質(zhì)二、對弧長曲線積分計算法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對弧長曲線積分第十章第2頁9/16/2023阜師院數(shù)科院一、對弧長曲線積分概念與性質(zhì)假設曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構(gòu)件質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件質(zhì)量采取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁9/16/2023阜師院數(shù)科院設

是空間中一條有限長光滑曲線,義在

上一個有界函數(shù),都存在,

上對弧長曲線積分,記作若經(jīng)過對

任意分割局部任意取點,2.定義以下“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件質(zhì)量和對機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁9/16/2023阜師院數(shù)科院假如L是xoy

面上曲線弧,假如L

是閉曲線,則記為則定義對弧長曲線積分為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思索:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分特例?否!

對弧長曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負.第5頁9/16/2023阜師院數(shù)科院3.性質(zhì)（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

長度)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁9/16/2023阜師院數(shù)科院二、對弧長曲線積分計算法基本思緒:計算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分依據(jù)定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁9/16/2023阜師院數(shù)科院點設各分點對應參數(shù)為對應參數(shù)為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁9/16/2023阜師院數(shù)科院說明:所以積分限必須滿足(2)注意到所以上述計算公式相當于“換元法”.所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁9/16/2023阜師院數(shù)科院假如曲線L方程為則有假如方程為極坐標形式:則推廣:設空間曲線弧參數(shù)方程為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例1.

計算其中L是拋物線與點B(1,1)之間一段弧.解:上點O(0,0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例2.計算半徑為R,中心角為圓弧L

對于它對稱軸轉(zhuǎn)動慣量I(設線密度

=1).解:建立坐標系如圖,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例3.計算其中L為雙紐線解:在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例4.計算曲線積分

其中

為螺旋一段弧.解:

線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例5.計算其中

為球面被平面所截圓周.解:由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁9/16/2023阜師院數(shù)科院思索:例5中

改為計算解:

令,則圓

形心在原點,故,怎樣機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例6.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例7.有二分之一圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點引力.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁9/16/2023阜師院數(shù)科院內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

長度)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁9/16/2023阜師院數(shù)科院3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁9/16/2023阜師院數(shù)科院思索與練習1.已知橢圓周長為a,求提醒:原式=利用對稱性分析:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁9/16/2023阜師院數(shù)科院2.

設均勻螺旋形彈簧L方程為(1)求它關于z軸轉(zhuǎn)動慣量(2)求它質(zhì)心.解:設其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L質(zhì)量而(1)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁9/16/2023阜師院數(shù)科院故重心坐標為作業(yè)P1313(3),(4),(6),(7)5第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁9/16/2023阜師院數(shù)科院備用題1.設C是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域邊界,求提醒:分段積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束