數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課堂探究1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（第2課時(shí)）

課堂探究探究一應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)1．運(yùn)用可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一定要先分析函數(shù)y＝f(x)的結(jié)構(gòu)和特征，若直接求導(dǎo)很煩瑣，一定要先進(jìn)行合理的化簡變形，再選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)．2．若要求導(dǎo)的函數(shù)解析式與三角函數(shù)有關(guān)，往往需要先運(yùn)用相關(guān)的三角函數(shù)公式對(duì)解析式進(jìn)行化簡、整理，然后再套用公式求導(dǎo)．【典型例題1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝eq\f(cosx,x)；(3)y＝eq\f(\r(x3)＋\r(x5)＋\r(x7),\r(x))；(4)y＝x3ex；(5)y＝eq\f(lnx,x).思路分析：解答本題可先確定式子的形式，再用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解．解：(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f((cosx)′x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2).(3)∵y＝x＋x2＋x3，∴y′＝1＋2x＋3x2.(4)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex.(5)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)))′＝eq\f((lnx)′x－lnx·x′,x2)＝eq\f(1－lnx,x2).探究二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需處理好以下環(huán)節(jié)：(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)；(2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次；(3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)；(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體；(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．【典型例題2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(5)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).思路分析：解答本題可先分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解．解：(1)設(shè)y＝u2，u＝－2x＋1，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)設(shè)y＝eu，u＝x－1，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝eu·1＝ex－1.(3)設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,(2x＋1)ln2).(4)設(shè)y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).(5)設(shè)y＝，u＝1－2x，則y′x＝·(1－2x)′＝×(－2)＝.探究三導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用關(guān)于復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及其解決方法(1)應(yīng)用：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要有：求在某點(diǎn)處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點(diǎn)，以及涉及切線問題的綜合應(yīng)用．(2)方法：先求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若已知切點(diǎn)則求出切線斜率、切線方程；若切點(diǎn)未知，則先設(shè)出切點(diǎn)，用切點(diǎn)表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點(diǎn)坐標(biāo)．總之，切點(diǎn)在解決此類問題時(shí)起著至關(guān)重要的作用．【典型例題3】(1)曲線y＝eq\r(2x)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,2)))在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))處的切線方程為__________．(2)曲線y＝xex在(1，e)處的切線方程為__________．解析：(1)設(shè)y＝eq\r(u)＋lnv，u＝2x，v＝2x2＋eq\f(1,2)，∵y′x＝(eq\r(u))′u′＋(lnv)′v′＝eq\f(1,\r(u))＋eq\f(4x,v)＝eq\f(1,\r(2x))＋eq\f(4x,2x2＋\f(1,2))，∴＝1＋eq\f(4×\f(1,2),1)＝3.∴切線方程為y－1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即6x－2y－1＝0.(2)∵y′＝ex＋xex，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝2e.則切線方程為y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.答案：(1)6x－2y－1＝0(2)2ex－y－e＝0探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)用公式或法則時(shí)記憶不準(zhǔn)導(dǎo)致出錯(cuò)【典型例題4】求函數(shù)y＝eq\f(ln2x,x)的導(dǎo)數(shù)．錯(cuò)解：y′＝eq\f((ln2x)′x＋ln2x·x′,x2)＝eq\f(\f(x,2x)＋ln2x,x2)＝eq\f(1＋2ln2x,2x2).錯(cuò)因分析：以上解法中有兩處錯(cuò)誤，一是錯(cuò)用商