大綱版數(shù)學(xué)高考名師一輪復(fù)習(xí)教案114函數(shù)的單調(diào)性與極值microsoftword文檔doc高中數(shù)學(xué)

/11.4函數(shù)的單調(diào)性與極值最值一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1.了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2.了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處取極值的必要條件和充分條件，會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（單峰函數(shù)）的最大值與最小值。二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.函數(shù)的單調(diào)性（1）函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)f'(x)0，那么f(x)為增函數(shù)；假設(shè)f'(x)0，那么f(x)為減函數(shù)。（2）求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法。=1\*GB3①確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間；=2\*GB3②求f'(x)，令f'(x)=0，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；=3\*GB3③把函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)[即包括f(x)的無(wú)定義點(diǎn)]的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成假設(shè)干個(gè)小區(qū)間；=4\*GB3④確定f'(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f'(x)的符號(hào)判定f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的增減性。例如：求函數(shù)y=(x2－1)(x2－4)單調(diào)區(qū)間。2.可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極值的概念設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且假設(shè)對(duì)x0附近所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），那么稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲担Q(chēng)x0為極大（?。┲迭c(diǎn)。（2）求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟=1\*GB3①求導(dǎo)數(shù)f'(x)；=2\*GB3②求方程f'(x)=0的根；=3\*GB3③檢驗(yàn)f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符號(hào)，如果根的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，那么函數(shù)在此處取得極大值；如果在根的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，那么函數(shù)在此處取得極小值。3.函數(shù)的最大值與最小值（1）設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，并在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，求函數(shù)在[a,b]上的最值可分兩步進(jìn)展：=1\*GB3①求y=f(x)在（a,b）內(nèi)的極值；=2\*GB3②將y=f(x)在各極值點(diǎn)的極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。（2）假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增（或遞減），那么f(a)為函數(shù)的最小值（或最大值），f(b)為函數(shù)的最大值（或最小值）。三、雙基題目練練手1．(廣東)函數(shù)f(x)=x3-3x2+1是減函數(shù)的區(qū)間為 （）A． B． C． D．（0，2）2．函數(shù)y=1+3x－x3有A.極小值－2,極大值2,B.極小值－2,極大值3C.極小值－1,極大值1,D.極小值－1,極大值33．(全國(guó)Ⅰ)函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x－9已知f(x)在x=－3時(shí)取得極值，那么a=（）A．2 B．3 C．4 D．54.函數(shù)y=－2x（x≥0）的最大值為_(kāi)____________.5.（北京）已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是6.如果函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如以以下圖所示,給出以下判斷:①函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（－3,－）內(nèi)單調(diào)遞增;②函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（－,3）內(nèi)單調(diào)遞減;③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（4,5）內(nèi)單調(diào)遞增;④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f（x）有極小值;⑤當(dāng)x=－時(shí),函數(shù)y=f（x）有極大值.那么上述判斷中正確的選項(xiàng)是_____________簡(jiǎn)答:1－4.DDD；4.y′=－2,當(dāng)0＜x＜時(shí)，y′＞0,為增函數(shù).當(dāng)x＞時(shí)，y′＜0,是減函數(shù).∴x=時(shí)，y有最大值.5.；6.當(dāng)x∈（4,5）時(shí),恒有f′（x）＞0.答案:③四、經(jīng)典例題做一做【例1】已知函數(shù)f（x）=2ax－,x∈（0,1］.（1）假設(shè)f（x）在x∈（0,1］上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）求f（x）在區(qū)間（0,1］上的最大值.分析:（1）要使f（x）在（0,1］上為增函數(shù)，需f′（x）＞0,x∈（0,1）.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求最大值.解:（1）由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函數(shù)，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈（0,1］.∴a＞－1.當(dāng)a=－1時(shí)，f′（x）=－2+對(duì)x∈（0,1）也有f′（x）＞0，滿(mǎn)足f（x）在（0,1］上為增函數(shù)，∴a≥－1.（2）由（1）知,當(dāng)a≥－1時(shí),f（x）在（0,1］上為增函數(shù),∴［f（x）］max=f（1）=2a－1.當(dāng)a＜－1時(shí)，令f′（x）=0得x=,∵0＜＜1,∴0＜x＜時(shí),f′（x）＞0;＜x≤1時(shí)，f′（x）＜0.∴f（x）在（0,）上是增函數(shù)，在（,1]減函數(shù).∴［f（x）］max=f（）=－3.解法點(diǎn)評(píng):求參數(shù)的取值范圍，凡涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題時(shí)，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決較簡(jiǎn)單.【例2】(天津)已知函數(shù)，其中x∈R,θ為參數(shù)，且0≤θ<2π．（1）當(dāng)時(shí)cosθ=0，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；（2）要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；（3）假設(shè)對(duì)（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）當(dāng)cosθ=0時(shí)，f(x)=4x3，那么f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值.（Ⅱ）f′(x)=12x2-6xcosθ，令f′(x)=0，得由（Ⅰ），只需分下面兩種情況討論.①當(dāng)cosθ>0時(shí)，隨x的變化f′(x)的符號(hào)及f(x)的變化情況如下表：x0f/(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗因此，函數(shù)f(x)在處取得極小值，且要使，必有，可得由于，故=2\*GB3②當(dāng)時(shí)cosθ<0，隨x的變化，f′(x)的符號(hào)及的變化情況如下表：+0－0+極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)，且假設(shè)f(0)>0，那么cosx>0。矛盾。所以當(dāng)cosx<0時(shí)，f(x)的極小值不會(huì)大于零。綜上，要使函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍為。（=3\*ROMANIII）由（=2\*ROMANII）知，函數(shù)f(x)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a-1,a)內(nèi)是增函數(shù)，那么a須滿(mǎn)足不等式組 或 由（=2\*ROMANII），參數(shù)時(shí)時(shí)，。要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，即。綜上，解得或。所以的取值范圍是。特別提示：對(duì)于求單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)把定義區(qū)間分開(kāi)，列出表格，再分析各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間、極值最值，清楚直觀不易出錯(cuò)。【例3】(福建)統(tǒng)計(jì)說(shuō)明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：(0<x≤20)已知甲、乙兩地相距100千米。 （I）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ （II）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)， 要耗油（升）。 答：當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。 （II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升， 依題意得 令得 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，取到極小值 因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值。 答：當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升?？疾熘R(shí)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等根本知識(shí)，考察運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！纠?】(廣東)設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值極大值平面上點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為,該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)求(Ⅰ)點(diǎn)AB的坐標(biāo)；(Ⅱ)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程解:(Ⅰ)令解得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,所以,點(diǎn)AB的坐標(biāo)為(Ⅱ)設(shè)，，PQ的中點(diǎn)在上，，所以，∴∵∴∴化簡(jiǎn)得【研討.欣賞】（遼寧）已知函數(shù)f（x）=,其中a,b,c是以d為公差的等差數(shù)列，且a＞0,d＞0．設(shè)x0為f(x)的極小值點(diǎn),在［1-］上，f/(x)在x1處取得最大值，在x2處取得最小值，將點(diǎn)(x0,f(x0))、(x1,f/(x1))、(x2,f(x2))依次記為A，B，C（=1\*ROMANI）求x0的值（=2\*ROMANII）假設(shè)⊿ABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a,d的值解（Ⅰ）：令，得或當(dāng)時(shí)，，所以在處取極小值，即.（Ⅱ）法一：∴的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸方程是，，知∴在上的最大值為，那么，又由，知∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，，.由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以，即①又由△ABC的面積為，得，利用，得.②聯(lián)立①，②可得.法二：.由知在上的最大值為，即由，知，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，.由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以－，即.①又由△ABC的面積為，得.利用，得.②聯(lián)立①，②可得. 五．提煉總結(jié)以為師1.假設(shè)f(x)在區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)，那么（x）>0f（x）為增函數(shù)（（x）<0f（x）為減函數(shù)）.（1）假設(shè)不是可導(dǎo)函數(shù)，上述必要性不成立；（2）（x）≥0（≤0）且只在一些孤立的點(diǎn)處f/(x)=0,那么f(x)仍遞增（減）。2.求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟如下：（1）求f（x）的定義域，求（x）；（2）由（x）=0，求其穩(wěn)定點(diǎn)；（3）檢查（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取極小值；如果左右同號(hào)，那么f（x）在這個(gè)根處不取極值.注意：f/(x)=0是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取極值的必要不充分條件。.3.求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的最值的方法：（1）求f（x）在給定區(qū)間內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與端點(diǎn)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.（3）如果開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么必是最值點(diǎn)。同步練習(xí)11.4函數(shù)的單調(diào)性與極值最值【選擇題】1.已知a>0，函數(shù)f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，那么a的最大值是A0 B1 C2 D32.(天津)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如以下圖，那么函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)3已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，那么f［g（x）］A.在（－2，0）上遞增B.在（0，2）上遞增C.在（－，0）上遞增D.在（0，）上遞增4.函數(shù)y=xsinx+cosx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)A.（,）B.（π,2π）C.（,）D.（2π,3π）【填空題】5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是6.函數(shù)f(x)=sin2x-x,(-≤x≤)的最大值是，最小值是。簡(jiǎn)答提示：1－4：DACC；1.（x）=3x2－a在［1，+∞)上，（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3.3.解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，（x）=4x3－8x，令（x）>0，得－<x<0或x>，∴F（x）在（－，0）上遞增5.(0,2)；6.最大值是，最小值是-【解答題】7.（北京）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在點(diǎn)x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，(2,0)，如以下圖.求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.解法一：（Ⅰ）由圖像可知，在(－∞,1)上f′(x)>0，在(1,2)上f′(x)<0，在(2,+∞)上f′(x)>0故f(x)在(－∞,1),(2,+∞)上遞增，在(1,2)上遞減，因此f(x)在處取得極大值，所以（Ⅱ）由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5得解得a=2,b=-9,c=12.解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）設(shè)又所以由f(1)=5,即得m=6所以a=2,b=－9,c=128.(北京)已知函數(shù)f(x)=－x3+3x2+9x+a（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）假設(shè)f(x)在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.解：（I）f′(x)=－3x2+6x+9令f′(x)<0，解得x<－1或x>3所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,－1),(3,+∞)（II）因?yàn)樗砸驗(yàn)樵冢ǎ?，3）上，所以f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=－2故f(x)=－x3+3x2+9x－2因此f(－1)=1+3－9－2=－7即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7.9.(山東)設(shè)函數(shù)，其中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，且?）當(dāng)時(shí)，f′(x)<0函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，由f′(x)=0解得假設(shè)，那么f′(x)<0函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.假設(shè)那么，f′(x)>0函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在(-1,