第60講兩條直線的位置關(guān)系（原卷版）

第60講兩條直線的位置關(guān)系知識(shí)梳理1.斜率存在的兩條直線平行與垂直若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1∥l2?；l1⊥l2?；l1與l2重合?．2.直線的一般式方程中的平行與垂直條件若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A1，B1不同時(shí)為0，A2，B2不同時(shí)為0)，則l1∥l2?C1；l1⊥l2?．3.兩直線的交點(diǎn)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對(duì)應(yīng)．(1)相交?；(2)平行?；(3)重合?．4.已知兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點(diǎn)間的距離為d＝．5.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時(shí)為0)之間的距離d＝．7.五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為．【2020年新課標(biāo)3卷文科】點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．21、(2022·廣東模擬)已知a∈R，則直線l1：x＋ay－1＝0與直線l2：(1－a)x＋2ay－1＝0平行的充要條件是()A.a≠0B.a＝0C.a＝－1D.a＝0或a＝－12、(2022·濰坊二模)已知直線l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，則a的值為()A.eq\f(1,3)B.－eq\f(1,3)C.3D.－33、已知點(diǎn)(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為________．4、若直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點(diǎn)，則a的值為________．考向一兩條直線的位置關(guān)系例1、(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2(2)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0垂直，則a等于()A．1 B．eq\f(1,3)C．0 D．0或eq\f(1,3)變式1、已知直線l1：ax＋2y＋3＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)當(dāng)l1∥l2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．變式2、（1）（2022年遼寧省大連市高三模擬試卷）“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件（2）（2023·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件方法總結(jié)：(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．考向二兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題例2、已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq\f(1,2)x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．變式1、三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的取值范圍是()A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1變式2、求經(jīng)過(guò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．方法總結(jié)：(1)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，常用的直線系方程如下：①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.考向三兩直線及點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題例3、已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程．(2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，并求出最大距離．(3)是否存在過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1、（2022年重慶市巴蜀中學(xué)高三模擬試卷）若直線與垂直，直線的方程為，則與間的距離為（）A. B. C. D.變式2、(1)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(－2，2)，點(diǎn)B(4，－2)的距離相等，則直線l的方程為.(2)若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(,13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為.變式3、已知直線l經(jīng)過(guò)直線l1：2x＋y－5＝0與直線l2：x－2y＝0的交點(diǎn)P.(1)若點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點(diǎn)A(5，0)到直線l距離的最大值．方法總結(jié)：1．點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．考向四直線的對(duì)稱性例4、已知直線l：x＋2y－2＝0.(1)求直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，1)對(duì)稱的直線方程；(2)求直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的方程．變式1、已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(－1，5)和B(0，－1)，若∠ACB的平分線所在的直線方程為2x－3y＋6＝0，則BC邊所在的直線方程為______________；變式2、如圖，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后射到直線OB上，再經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是________．變式3、已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程．方法總結(jié)：對(duì)稱性問(wèn)題有三類：一是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；二是點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱；三是線關(guān)于線對(duì)稱；點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，只要用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可；點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱要用到兩個(gè)條件，一是已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的連線與已知直線垂直，二是已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上；線關(guān)于線對(duì)稱問(wèn)題，一般是在某一條直線上找兩個(gè)點(diǎn)，求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于另一條直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后用兩點(diǎn)式求出其方程．通常情況下會(huì)用到兩直線的交點(diǎn)．1、(2022·武漢部分學(xué)校9月起點(diǎn)質(zhì)量檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為eq3x－4y＋c\s\do(1)＝0，eq3x－4y＋c\s\do(2)＝0，則|eqc\s\do(1)－c\s\do(2)|＝A．eq2\r(,3)B．eq2\r(,5)C．2D．42、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試聯(lián)考)已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A B. C.4 D.53、（2020·山東高三開學(xué)考試）已知，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知直線和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線與直線相交于點(diǎn)B，且，則直線的方程為（

）A． B．C． D．5、(2022·蘇州模擬)已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結(jié)論不正確的是()A．不論a為何值時(shí)，l1與l2都互相垂直B．當(dāng)a變化時(shí)，l1與l2分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,1)和B(－1,0)C．不論a為何值，l1與l2都關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱D．如果l1與l2交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|的最