可測函數的定義和簡單性質1_第1頁
可測函數的定義和簡單性質1_第2頁
可測函數的定義和簡單性質1_第3頁
可測函數的定義和簡單性質1_第4頁
可測函數的定義和簡單性質1_第5頁
已閱讀5頁，還剩1頁未讀， 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領

文檔簡介

./補充:特征函數定義1設X是非空全集,,稱為集合A的特征函數.顯然的充分必要條件是A=B.例如：取,,則特征函數如圖圖1-13-1特征函數定理1〔1；〔2；〔3.特別時；〔4；〔5；〔6；〔7設是任一集列,則；〔8存在,且當極限存在時,.證明僅證〔3,〔7.；〔3任意,.當時,；當時,；同理；當時,有.〔7設是任一集列,則；〔7先證任意,存在使,故,從而.又由特征函數定義知,所以；當,存在自然數N,,故,,而,所以也有,故.再證任意時,存在自然數N,,故,從而,而,所以；當時,.由下限集的定義知,存在無窮多個,使于是,從而,所以,因此.第三章可測函數為了建立新的積分即Lebesgue積分,我們需要介紹一類比連續(xù)函數更為廣泛的重要函數——可測函數,這類函數與連續(xù)函數有著密切的聯(lián)系.首先我們拓廣函數的概念,以下我們提到的函數都是指定義在中某點集上的實值函數,且允許它取值±∞.另外,我們規(guī)定：<+∞>+〔+∞=+∞,〔-∞+〔-∞=-∞,對于任意實數a,總有a+<+∞>=<+∞>+a=+∞,a+<-∞>=-∞,對于b>0,c<0,b·<±∞>=±∞,c·<±∞>=∞,<±∞>·〔±∞=+∞,〔+∞·〔-∞=〔-∞·〔+∞=-∞,0·〔±∞=〔±∞·0=0,對,,對,,但〔+∞-〔+∞,〔±∞+〔∞,〔-∞-〔-∞均無意義.§1可測函數的定義及簡單性質可測函數的定義方法很多,本節(jié)我們將采用從簡單到復雜的方法定義可測函數,即先給出簡單函數,再用簡單函數的極限定義非負可測函數,然后通過分析非負可測函數的特性給出一般可測函數的定義.一、可測函數的定義及等價定義1．簡單函數定義1設為一個可測集,為定義在上的實函數,如果〔1=,其中為兩兩不交的可測集,〔2在每個上=,即=,亦即,其中表示的特征函數,則稱為上的簡單函數.圖3-1-1簡單函數顯然=及=均為其定義域上的簡單函數.圖3-1-2符號函數可以證明,可測集上的兩個簡單函數的和、差及乘積仍為上的簡單函數；當時,也是上的簡單函數.另外,若是G上的函數,是可測集上的簡單函數,且,則仍為上的簡單函數.例1證明可測集上的兩個簡單函數的和仍為上的簡單函數證明設是上的簡單函數,下證也是上的簡單函數.事實上,設,那么,其中則是個互不相交的可測集,且所以是上的簡單函數.定義2設為上的非負實函數,集合{}稱為在上的下方圖形,記為,當時,簡記為.圖3-1-3下方圖形例2如果是中可測子集的示性函數：則,這都是中的可測集.例3設為可測集上的非負簡單函數

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論