2021北京順義初三（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

2021北京順義初三（上）期末

數(shù)學(xué)

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.數(shù)軸上A、B、C、D四個點的位置如圖所示，這四個點中，表示2的相反數(shù)的點是（）

ABCD

—J--------i----------1----4-^-J------------1-------1---------1------------?

-3-2-1011234

2

A.點AB.點BC.點CD.點D

2.如果5a=28（ab#。），那么下列比例式中正確的是（）

a5b2abab

A.-=-B.———C.—=—D.一=—

b2a52552

3在.RsABC中，ZC=90\AB=亞,AC=2,則tanB的值為（）

A.—B.2C.正D,2

255

4將.拋物線y=2x2向下平移1個單位，得到的拋物線是（）.

A.y=2x2+1B.y=2x2-1C.y=2（x+I）2D.y=2(x-l)2

5.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點，且DE〃BC,若AD：DB=2：3,則△ADE與△ABC的

面積比等于（）

A

BC

A.2：3B.4：5C,4：9D.4：25

6.二次函數(shù)圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的表達式為（）

Ay=x24-2X-3B.y=x2-2x-3C.y=-x2+2x_3D.y=—-2x4-3

C都在。O上，若NA00140。,則NB的度數(shù)是（)

A.70°B.80°C.110°D.140°

x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表:

①拋物線y=+〃x+c的開口向上;

②拋物線y=at?+法+。的對稱軸為直線了=—2：

③關(guān)于X的方程以2+〃x+c=0的根為一3和—1；

④當yVO時，X的取值范圍是一3VxV-l.

其中正確的是（）

A.①④B.②④C.②③D.③④

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

X—V=1

9.方程組＜-「的解是__________.

2x+y=5

10.-?個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面如圖所示，若。O中的直徑為52cm,水面寬AB=48cm,則水的最大深度

11.小明為了測量一個小湖泊兩岸的兩棵樹A、B之間的距離，在垂直AB的方向BC上確定點C,測得BC=45m,

/C=40。，從而計算出AB之間的距離.則AB=.（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin400~0.64,

cos40°=0.77,tan40°=0.84,sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°~1.19）

12.如圖，在。。中，若弧AB=BC=CD,則AC與2CD的大小關(guān)系是：AC2CD.（填“>”，或

13.如圖，在RMABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點D,AB=9,AC=6,則cos/DCB=

14.如圖，小明拋投一個沙包，沙包被拋出后距離地面的高度h（米）和飛行時間t（秒）近似滿足函數(shù)關(guān)系式

],

/?=-—（Z-6/+5,則沙包在飛行過程中距離地面的最大高度是米.

k

15.在反比例函數(shù)y二—的圖象上有兩點A(xi,yi),B(X2,yz),且xiVxzVO,yi>yz寫出一個符合條件的函

x

數(shù)表達式________________.

16.如圖，線段AB=9,ACLAB于點A,BDLAB于點B,AC=2,BD=4,點P為線段AB上一動點，且以A、

C、P為頂點三角形與以B、D、P為頂點的三角形相似，則AP的長為.

2

C?

ApB

三、解答題(本題共52分，其中第17—20題每小題5分，第21—23題每小題6分，第24,25題每小題7分)

3(x+1)〉x—1

17.解不等式組：J%+9

----->2%

I2

18.計算：卜+(萬一3)—y/3+3tan30.

19.已知：如圖，點M為銳角NAPB的邊PA上一點.

求作：ZAMD,使得點D在邊PB上，且NAMD=2NP.

作法：①以點M圓心，MP長為半徑畫圓，交PA于另一點C,交PB于點D點;

②作射線MD.

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：；P、C、D都在。M上，

ZP為弧CD所對的圓周角，ZCMD為弧CD所對的圓心角，

：.ZP=—ZCMD()(填推理依據(jù)).

2

，/AMD=2ZP.

20.己知：如圖，△ABCsz^ACD,CD平分NACB,AD=2,BD=3,求AC、DC的長.

21.一艘船向正北方向航行，在A處時看到燈塔S在船的北偏東30。的方向上，繼續(xù)航行12海里到達B處，看到燈

塔S在船的北偏東60。的方向上.若繼續(xù)沿正北方向航行，求航行過程中船距燈塔S的最近距離.（結(jié)果精確到0.1

海里）（參考數(shù)據(jù)：72-1.41,73=1.73）

南

22.已知：AB為。O的直徑，點D為弧BC的中點，過點D作。O的切線交AB的延長線于點E,連接CB.

(1)求證：BC〃DE；

4

(2)若cosE=1,DE=20,求BC的長.

23.在平面直角坐標系xOy中，有拋物線產(chǎn)/-2,nx+〃?2(m>Q).

(1)求拋物線的頂點坐標(用含，〃的式子表示)；

(2)過點A(0,1)作y軸的垂線/，點B在直線/上且橫坐標是2〃?+1

①若m的值等于1,求拋物線與線段AB的交點個數(shù)；

②若拋物線與線段AB只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍.

24.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,AC=BC,點D為線段BC上一動點(不與點B,C重合)，作射線

AD、AB,將射線AD、AB分別繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到射線47，A8，過點B作BC的垂線，分別交射線

AD,，A8于點E,F.

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：AB=AF；

(3)用等式表示線段AC,BD與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

25.在平面直角坐標系xOy中，對于點P,若點Q滿足條件：以線段PQ為對角線的正方形，邊均與某條坐標軸垂

直，則稱點Q為點P的“正軌點”，該正方形為點P的“正軌正方形”如下圖所示.

(1)已知點A的坐標是(1,3).

①在(一3,-1),(2,2),(3,3)中，是點A的“正軌點”的坐標是.

②若點A的“正軌正方形”的面積是4,寫出一個點A的"正軌點''的坐標」

(2)若點B(1,0)“正軌點”在直線y=2x+2上，求點B的“正軌點”的坐標；

(3)已知點C(m,0),若直線y=2x+m上存在點C的“正軌點”，使得點C的“正軌正方形”面積小于4,直接寫

出m的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.數(shù)軸上A、B、C、D四個點的位置如圖所示，這四個點中，表示2的相反數(shù)的點是（）

D

42-4

A.點AB.點BC.點CD.點D

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的定義直接求得結(jié)果.

【詳解】解：數(shù)軸上表示2的相反數(shù)的點是-2,即A點.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸及相反數(shù)的性質(zhì)，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，。的相反數(shù)是0.

2.如果5a=2〃（，力聲0）,那么下列比例式中正確的是（）

a5b2aba

A.-=-B.—=-C.—=—D.-=

b2a5255

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)比例的基本性質(zhì)直接判斷即可.

【詳解】A、由?=可得到2a=5匕，A錯誤；

b2

B、由2=2,可得到方=5。，B錯誤；

a5

ah

C、由一二一，可得到5。=處，C正確；

25

D、由州=2,可得到2a=5h,D錯誤；

52

故選：C.

【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.在RSABC中，NC=90°，AB=5AC=2,則tanB的值為（）

A.—B.2C.—D.—

255

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用勾股定理求出BC,再根據(jù)正切公式計算即可.

【詳解】在RtaABC中，ZC=90°.AB=⑸AC=2,

.??BC=7AB2-AC2=b

【點睛】此題考查求角的正切值，勾股定理，熟記計算公式是解題的關(guān)鍵.

4.將拋物線y=2/向下平移1個單位，得到的拋物線是（）.

A.y-2x'+1B.y-2x2-1C.y-2（x+I）2D.-1)2

【答案】B

【解析】

【分析】

將拋物線＞=篁2向上平移攵（左＞0）個單位，得到的拋物線是y=a?+A：y"2向下平移左（Z＞0）個單位得到

的拋物線是y=ax2-k,規(guī)律是：上加下減.

【詳解】將拋物線y=2f向下平移一個單位，得到的拋物線是y=2f一1,

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點，且DE〃BC,若AD：DB=2：3,則△ADE與△ABC的

面積比等于（）

A

BC

A.2：3B.4：5C.4：9D.4：25

【答案】D

【解析】

【分析】

先由平行線判定△ADE~AA5C,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)及已知條件AD：DB=2：3,解得相似比

2

為），最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方解題即可.

【詳解】「DE//BC,

.'.^ADE~AABC

ADDEAE

"~AB~~BC~~AC

又：AD：DB=2：3,

ADDEAE2

?_-----_----_--------_-----_----_----_------_----_1____------

ABBCAC5

?S-APE=（2）2_&

"LBC525

故選：D.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

6.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的表達式為（）

A.y-+2x—3B.y——一2x—3C.y———+2%—3D.y———一2x+3

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)圖像的對稱軸及與X軸的一個交點，則可以知道函數(shù)與X軸的另一個交點，再根據(jù)待定系數(shù)法求

解函數(shù)解析式即可.

【詳解】根據(jù)題意，二次函數(shù)對稱軸為x=l,與X軸的一個交點為（一1,0）,

則函數(shù)與X軸的另一個交點為（3,0）,

故設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=以2+必+0,

函數(shù)另外兩點坐標（一1,0）,（1,-4）

0=9Q+3〃+C

可得方程組（0=a-b+c,

-4=4+〃+C

Q=1

解得方程組得-2,

c=-3

所以二次函數(shù)表達式為y=/-2x-3.

故答案為B.

【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式的方法和二次函數(shù)的對稱軸的問題，同時考查學(xué)生解方程組的知

識，是比較常見的題目.

7.如圖，點A、B、C都在。O上，若NAOC=140。，則NB的度數(shù)是（）

A.70°B.80°C.110°D.140°

【答案】C

【解析】

分析：作AC對的圓周角NAPC,如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/P=40。，然后根據(jù)圓周角定理求NAOC的

度數(shù).

詳解：作AC對的圓周角/APC,如圖，

ZP=—ZAOC=—x]40°=70°

22

VZP+ZB=180°,

/.ZB=180°-70°=110°,

故選C.

點睛：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一

半.

8.已知拋物線y=ax2+歷c+c上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表:

X-4-3-2—10

y-3m10-3

有以下幾個結(jié)論：

①拋物線y=a%2+bx+c的開口向上；

②拋物線,=⑺2+法+。的對稱軸為直線為=—2；

③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的根為—3和—1；

④當y<0時，x的取值范圍是一

其中正確的是()

A.①④B.②④C.②③D.③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)表格信息，可得拋物線經(jīng)過(-4,-3),(0,-3)兩點，結(jié)合拋物線的對稱性，解得拋物線的對稱軸，再由表格信息

知拋物線與x軸的其中一個交點為(-1,0),結(jié)合對稱性解得拋物線與x軸的另一個交點，即可判斷拋物線的開口方

向及關(guān)于X的方程改2+區(qū)+°=0的兩個根，結(jié)合圖象可得當y<0時，X的取值范圍.

【詳解】由表格信息得，拋物線經(jīng)過(-4,-3),((),-3),結(jié)合拋物線的對稱性可得

-4+0

拋物線對稱軸為x=-----=-2,

2

故②正確；

因為拋物線經(jīng)過點(-1-0)，即拋物線與x軸的一個交點為(-1,0),根據(jù)拋物線的對稱性可得，

拋物線與x軸的另一個交點為(-3,0),

拋物線開口向下，

故①錯誤；

，故關(guān)于x的方程加2+bx+c=0的根為-3和—1，

故③正確；

當y<0時，拋物線在x軸的下方的圖象有兩部分，即x<—3或x>-1,

故④錯誤，

因此正確的有：②③，

故選：c.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

x-V=1

9.方程組〈°「的解是___________.

2x4-y=5

x=2

【答案】一

[y=]

【解析】

【分析】

根據(jù)方程組的特點，選加減消元法.

x-y=1①

【詳解】解：在方程組《中，

2x+y=5②

①+②得：3x=6，

解得：x=2.

代入①得：y=i.

即原方程組的解為《x—2，.

【點睛】要根據(jù)方程組特點，選擇適當?shù)慕夥?

10.一個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面如圖所示，若。O中直徑為52cm,水面寬AB=48cm,則水的最大深度

為cm.

從廣

L48T

【答案】16

【解析】

【分析】

連接OA,過O點作OCLAB,垂足為H,交。。于點C,由垂徑定理求出AH,根據(jù)勾股定理求出OH,即可求

出最大深度CH.

【詳解】解：如圖

C

連接0A,過O點作0C_LA3,垂足為H,交。。于點C

,/。。的直徑為52cm

OA=OC=26cm

OCLAB,且過O點

.?.OC垂直且平分AB

AH=24cm

根據(jù)勾股定理=OAi_AH2

得OH=10cm

/?CH=OC-OH=26-10=16cm

所以水的最深為16cm

【點睛】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

11.小明為了測量一個小湖泊兩岸的兩棵樹A、B之間的距離，在垂直AB的方向BC上確定點C,測得BC=45m,

ZC=40°,從而計算出AB之間的距離.則AB=.(精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.64,

cos40°=0.77,tan40°=0.84,sin50°=0.77,cos500=0.64,tan50°~1.19)

【答案】37.8m.

【解析】

AR

【分析】根據(jù)題意可知A3,BC，在直角三角形ABC中，利用tanC=i},根據(jù)已知條件代入，從而可以求得

BC

AB的長.

【詳解】由題意知：AB1BC,

則AABC為直角三角形，

Rt△A5C中，tanZ.C-,

BC

?；BC=45m,ZC=40°,

AB=BC-tan40°?45x0.84,

A3=37.8m,

故答案為：37.8m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

12.如圖，在。O中，若弧AB=BC=CD,則AC與2CD的大小關(guān)系是：AC2CD.（填“>”，或

【答案】V

【解析】

【分析】

利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得至UAB=BC=CD,然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得到AC與2CD之間的關(guān)系.

【詳解】解：連接AB、BC,如圖,

AB

,C

??,AB=BC=CD，

AAB=BC=CD,

VAB+BOAC,

.\2CD>AC,

即ACV2CD.

故答案為：V.

【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余

各組量都分別相等.

13.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點D,AB=9,AC=6,則cosNDCB=.

2

【答案】-

3

【解析】

【分析】

首先利用等角的余角得到NA二NDCB,然后根據(jù)余弦的定義求出cosA即可.

【詳解】解：在RSABC中，

VCD1AB,

AZDCB+ZB=90°,

VZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

.*.ZA=ZDCB,

=AC62

而cosA=-----=—=—，

AB93

2

/.cosZDCB=—.

3

2

故答案為：—.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在RSABC中，ZC=90°,我們把銳角A的鄰邊a與斜邊c的比叫做

ZA的余弦，記作cosA.

14.如圖，小明拋投一個沙包，沙包被拋出后距離地面的高度h（米）和飛行時間t（秒）近似滿足函數(shù)關(guān)系式

〃=-2（/-6）-+5,則沙包在飛行過程中距離地面的最大高度是米?

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

10

【詳解】由〃=一億（，-6）~+5可得，當t=6時，h損大=5,

所以小球距離地面的最大高度是5米，

故答案為：5.

【點睛】考查了函數(shù)的最值的求法，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

k

15.在反比例函數(shù)曠二—的圖象上有兩點A（xi,yi）,B（X2,y2）,且xiVx2V0,yi>y2寫出一個符合條件的函

x

數(shù)表達式________________.

【答案】y=-（答案不唯一）

x

【解析】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k的符號，據(jù)此解答即可.

【詳解】解：?.,xiVx2V0,yi>y2,

???反比例函數(shù)y上在其中一分支上呈下降趨勢，

X

???此函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，

Ak>0.

函數(shù)表達式可以是y=2（答案不唯一）.

X

2

故答案是：y=—（答案不唯一）.

x

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的增減性，熟知反比例函數(shù)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

16.如圖，線段AB=9,AC，AB于點A,BD_LAB于點B,AC=2,BD=4,點P為線段AB上一動點，且以A、

C、P為頂點的三角形與以B、D、P為頂點的三角形相似，則AP的長為.

產(chǎn)

C?

ApB

【答案】1或3或8

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求解，但這里沒有指明對應(yīng)邊，故要分兩種情況進行討論.

【詳解】解：設(shè)AP=x,則BP=9-x,

(1)當AC與BP是對應(yīng)邊時，

VAACP^ABPD,

?ACAP

,?麗一而

VAC=2,BD=4,AP=x,BP=9-x,

.2x

??-------——

9-x4

解得，Xl=l,X2=8.

(2)當AC與BD是對應(yīng)邊時，

VAACP^ABDP,

.ACAP

；AC=2,BD=4,AP=x,BP=9-x,

.2X

??一―----

49-x

解得；x=3.

綜上所述，AP的長為1或3或8.

故答案為：1或3或8.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共52分，其中第17—20題每小題5分，第21—23題每小題6分，第24,25題每小題7分)

3(%+1)>x-1

17.解不等式組：Ix+9^

-------->2龍

I2

【答案】-2<x<3.

【解析】

分析：分別解不等式，找出解集的公共部分即可.

3(x+l)>x-l①

詳解：〈

x+9c否

---->2x(2)

I2

由①得,x>—2，

由②得,x<3,

不等式的解集為一2<x<3.

點睛：考查解一元一次不等式組，比較容易，分別解不等式，找出解集的公共部分即可.

18.計算：卜G|+S—3）°-J5+3tan3O°.

【答案】V3+1

【解析】

【分析】

利用絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)值進行化簡，再根據(jù)實數(shù)的混合運算的法則進行計算.

【詳解】解：原式=G+l—J5+3x《l

3

=6+1-

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)幕,特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三

角函數(shù)值.

19.已知：如圖，點M為銳角NAPB的邊PA上一點.

求作：ZAMD,使得點D在邊PB上，且/AMD=2/P.

作法：①以點M為圓心，MP長為半徑畫圓，交PA于另一點C,交PB于點D點:

②作射線MD.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：；P、C、D都在。M上，

/P為弧CD所對的圓周角，NCMD為弧CD所對的圓心角，

AZP=-ZCMD（）（填推理依據(jù)）.

2

AZAMD=2NP.

【答案】（1）作圖見解析；（2）同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

【解析】

分析】

（1）按提示作法依次作圖即可得到答案；

（2）由/P,/AM。分別是所對的圓周角與圓心角，再利用同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，從

而可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖，NAMD即為所求作的角，

（2）證明：VP,C、D都在。M上，

/P為CO所對的圓周角，NCMD為c。所對的圓心角，

AZP=-ZCMD（同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）

2

???ZAMD=2ZP.

故答案為：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

【點睛】本題考查的是作一個角等于已知角的2倍，同時考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，掌握以上知識是

解題的關(guān)鍵.

20.已知：如圖，△ABCsAACD,CD平分NACB,AD=2,BD=3,求AC、DC的長.

【答案】AC=JF5；DC=3.

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及角平分線的定義即可求解.

【詳解】證明：如圖

ADAC

AZ1=ZB,

AC~AB

又TCQ是平分NAC8,

AZ1=Z2,

/.Z2=ZB,

：.BD=DC.

VBD=3,

:.DC=3；

又TAD=2,BD=3,

，AB=5

ADAC

由t——=——

ACAB

得AC2=AD>AB

即AC2=2x5=10

???AC=VIO.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)即角平分線性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及角平分線的

定義.

21.一艘船向正北方向航行，在A處時看到燈塔S在船的北偏東30。的方向上，繼續(xù)航行12海里到達B處，看到燈

塔S在船的北偏東60。的方向上.若繼續(xù)沿正北方向航行，求航行過程中船距燈塔S的最近距離.（結(jié)果精確到0.1

海里）（參考數(shù)據(jù)：72-1.41,73=1.73）

南

【答案】10.4海里

【解析】

【分析】

過點S作SCJ_48于點C,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得BS=4B=12,在RsCSE中，運用正弦函數(shù)即可求出SC.

【詳解】（1）解：過點S作SCLAB于點C,

依題意可知/1=30。，Z3=60°,AB=\2,

.\Z2=30o,BS=AB=12,

cs

在RtACSE中，ZSCB=90°,sinZ3=—,Z3=60°,

BS

CS=BSxsin/3

=12xsin60°

=12x=：i2xl.73x—=10.38=10.4（海里），

22

答：航行過程中船距燈塔S的最近距離是10.4海里.

南

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠發(fā)現(xiàn)△ABS是等腰三角形，并正確運用三角函數(shù)解直角三角形是解

題的關(guān)鍵.

22.已知：AB為。O的直徑，點D為弧BC的中點，過點D作。0的切線交AB的延長線于點E,連接CB.

（1）求證：BC〃DE；

4

(2)若cosE=1,DE=20,求BC的長.

【答案】（1）見解析：（2）24

【解析】

【分析】

（1）連結(jié)OD,根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD_LDE,再根據(jù)垂徑定理的推論得出ODJ_BC,即可得出結(jié)論

4

（2）先根據(jù)已知cosE=g得出OD=15,AB=30,再由（1）得出NABC=NE,再根據(jù)三角函數(shù)值即可得出BC的

長

【詳解】（1）證明：連結(jié)OD

<?,DE切。。于點D,

AOD1DE,

又：點D為弧BC的中點，

.,.OD±BC,

BC//DE.

(2)連接AC,

4

在RtAOED中，ZODE=90°,cosE=y,

?DE4

??二,

OE5

,/DE=20,

；.OE=25,

.*.OD=15,AB=30,

BC//DE,

NABC=NE,

4

cosZABC=—，

5

4BC

在RtAABC中，ZACB=90°,cos/ABC=—=—,

5AB

：.BC=24.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理的推論以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運

用所學(xué)知識解決問題.

23.在平面直角坐標系xOy中，有拋物線-2如+/”2(m>0).

(1)求拋物線的頂點坐標(用含，〃的式子表示)；

(2)過點A(0,1)作)，軸的垂線/,點B在直線/上且橫坐標是2%+1

①若m的值等于1,求拋物線與線段AB的交點個數(shù)；

②若拋物線與線段AB只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍.

【答案】(1)(〃?，0)；(2)①2個；②0W加<1

【解析】

【分析】

(1)直接對原解析式進行配方變形為頂點式即可得出結(jié)論；

(2)①當m=l時，可先求出此時拋物線的解析式，再結(jié)合A,B的坐標分析即可：

②可先求解出拋物線與直線相交的兩個交點的坐標表達式，再分類討論即可.

【詳解】(1)拋物線y=丁-2〃a+/可化為y=(尤―

二頂點坐標為(〃?，0).

(2)①當膽=1,拋物線為)，=%2-2%+1,點4(0,1),B點坐標為(3,1),

令y=l，則X2-2X+1=1，

x=0,或X=2

???拋物線與直線/的交點為(0,1),(2,1),兩點均在線段AB上,

??.拋物線與線段A8有2個交點.

②當y=l時，可解得：%=m+1或,

Vm>0,

m+1>m-l,

即：拋物線與直線/左交點的橫坐標為m-1,右交點的橫坐標為m+1,

772-1>0m>\

i><，即：\機<。'此時無解，舍去;

m+1>2m+i

m-l<Qm<\

ii"，即:故解集為：()Wm<l,

m+l<2m+1m>0

【點睛】本題考查將二次函數(shù)一般式化為頂點式，以及函數(shù)圖象平移過程中與直線交點問題，理解二次函數(shù)的基本

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

24.如圖，在RtAABC中，/ACB=90。，AC=BC,點D為線段BC上一動點(不與點B,C重合)，作射線

AD、AB,將射線AD、AB分別繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到射線47，A8，過點B作BC的垂線，分別交射線

AD'，A8于點E,F.

B

(1)依題意補全圖形;

(2)求證：AB=AF；

(3)用等式表示線段AC,BD與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)BE+BD=2AC,見解析

【解析】

【分析】

(1)按照要求畫圖即可；

(2)證/ABF=NAFB=45。即可；

(3)ffiA得BD二EF,BE+BD=BE+EF=BF,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，BF二&AB=2AC.

詳解】解:(1)作圖如下：

(2)證明：VZACB=90°,AC=BC,

/.Zl=45°,

VBF1BC,

/.ZCBF=90°,

:.Z2=45°,

,/射線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到射線AD,,

/.ZBAF=90°,

AZ3=45°=Z2,

：.AB=AF.

c

證明：?.?射線A。、AB分別繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90