博士計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)試題

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數(shù)值上大于德賓―沃特森統(tǒng)計(jì)量，則我們應(yīng)當(dāng)疑心有謬誤回歸存在。檢驗(yàn)謬誤回歸的方法主要是用DF和ADF檢驗(yàn)考察回歸的殘差是否服從I（0），進(jìn)而判定變量之間的關(guān)系是否為協(xié)積的，從而檢驗(yàn)出謬誤回歸的存在性?；貧w中使用非平穩(wěn)的時(shí)間序列不一定會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸，比方兩個(gè)協(xié)積的變量，雖然它們可以非平穩(wěn)，但是不會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸。4、一般的幾何滯后分布模型具有形式：y=a+pxlt（1—力x+8， EQ）=0，TOC\o"1-5"\h\zt t-1 t ti=0C0V（8,8）=028， 0〈九〈1。ts t,s如何對(duì)這類(lèi)模型進(jìn)行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量？答：對(duì)一般的幾何滯后分布模型y=a+a入￡G-4x+8，有限的觀(guān)測(cè)不可能估計(jì)無(wú)限的t0 1 t-1 ti=0參數(shù)。為此，必須對(duì)模型形式進(jìn)行變換：注意到：y=a+a入￡（1-九）x+8，從而：t-1 01 t-i-1t-1i=0y-（1一九）y=a入+a為x+8-（1一九）8TOC\o"1-5"\h\zt t-1 0 1tt t-1y=a入+a為x+（1一九）y+8-（1一九）8t0 1t t-1t t-1由于y與8相關(guān)，所以該模型不能用ols方法進(jìn)行估計(jì)，必須采用諸如工具變量等方法進(jìn)t-1 t-1行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量。C0V(8C0V(8,8ts)=028t,sy=a+0x+8，EQ）=0，t tt t但是擔(dān)憂(yōu)x可能會(huì)有測(cè)量誤差，即實(shí)際得到的x可能是x*=x+v，V是白噪聲。如果已經(jīng)知道t t tttt如何檢驗(yàn)x是否存在測(cè)量誤差?

t存在與x*相關(guān)但與8和V不相關(guān)的工具變量如何檢驗(yàn)x是否存在測(cè)量誤差?

t答：已知存在與x*相關(guān)但與8和V不相關(guān)的工具變量z，用最小二乘法估計(jì)模型t t t t得到殘差v=x*-a-az。把殘差弋作為解釋變量放入回歸方程tt0 1t t

J=a+0x+a+u，用最小二乘法估計(jì)這個(gè)人工回歸，對(duì)顯著性假設(shè)運(yùn)用通常的t-檢驗(yàn)。t t ttH：b二0 〔x與8之間沒(méi)有相關(guān)性〕0 ttH：bw0 〔x與8之間有相關(guān)性〕1 tt注意，由J=a+0x+6^^+u可推得j-a—0x=bv+u，即：8=bV+u。當(dāng)t當(dāng)t-檢驗(yàn)顯著時(shí)利用對(duì)J=a+0x*+8所做回歸得到的殘差￡替代8，對(duì)系數(shù)b作OLS估計(jì)，t tt t t就說(shuō)明x就說(shuō)明x與8之間有相關(guān)性，tt即x存在測(cè)量誤差。否則就沒(méi)有。t6、考慮一個(gè)單變量平穩(wěn)過(guò)程j=a+aj+0x+0x+8t0 1t-1 0t1t-1 t這里，8產(chǎn)〃dG,o2)以及aj<1。由于〔1〕式模型是平穩(wěn)的，J和x都將到達(dá)靜態(tài)平衡值，即對(duì)任何t有:tt于是對(duì)〔1〕式兩邊取期望，就有(2)TOC\o"1-5"\h\zj*=a+aj*+0x*+0x*0 1 0 1(2)也就是%j0戶(hù)01Kj*=—0—+—0 1-x*=k+kx*1-a1-a0 11 1這里勺是j*關(guān)于x*的長(zhǎng)期乘數(shù)，重寫(xiě)(1)式就有:=a+(a-1)j +0Ax+(0+0%+80 1 t-1 0t0 1t-1t=a+(=a+(a-01—k—kx)+0Ax+8t-1 0 1t-1 0tt(4)我們稱(chēng)(4)式為(1)式的誤差修正機(jī)制〔Error-correctionMechanism〕表達(dá)式〔ECM〕。在〔4〕式中我們可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用是對(duì)稱(chēng)的。假設(shè)這種正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用不是對(duì)稱(chēng)的，那么模型應(yīng)該如何設(shè)計(jì)與估計(jì)？答：假設(shè)對(duì)誤差修正〔ECM〕模型，假設(shè)發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用是非對(duì)稱(chēng)的話(huà)，模型可以設(shè)計(jì)如下：Aj=0Ax+(b+by)(j-k-kx)+8TOC\o"1-5"\h\zt1 2t-1 t-1 0 1t-1 t=0Ax+b(j -k-kx)+by (j -k-kx )+8t1 t-1 0 1t-1 2t-1t-1 0 1t-1 t學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考1y>fQ)其中丫，=j0,<fQ)為虛擬變量，表示Y偏離的方向。tt當(dāng)y正偏離時(shí)，丫=1,誤差修正項(xiàng)系數(shù)為s+3；t t 12當(dāng)y為負(fù)偏離時(shí)，￥=0，誤差修正項(xiàng)系數(shù)為3。tt 1參數(shù)估計(jì)的方法可用MLE，也可用OLS。7、檢驗(yàn)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型是否存在異方差，可以用布羅歇一帕甘檢驗(yàn)〔BreuschPagan〕和懷特〔White〕檢驗(yàn)，請(qǐng)說(shuō)明這二種檢驗(yàn)的差異和適用性。答：當(dāng)人們猜測(cè)異方差只取決于某些解釋變量時(shí)，布羅歇一帕甘檢驗(yàn)〔BreuschPagan〕比較適合使用；當(dāng)人們猜測(cè)異方差不僅取決于某些解釋變量,還取決于這些自變量的平方和它們的交叉乘積項(xiàng)時(shí)，懷特〔White〕檢驗(yàn)比較適合使用。雖然，有時(shí)使用布羅歇一帕甘檢驗(yàn)無(wú)法檢驗(yàn)出異方差的存在，但用懷特〔White〕檢驗(yàn)卻能檢測(cè)出來(lái)。不過(guò)，懷特〔White〕檢驗(yàn)要用掉很多自由度。8、在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來(lái)的變量系數(shù)的OLS估計(jì)是無(wú)偏和一致的嗎？請(qǐng)舉簡(jiǎn)例說(shuō)明。答：在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來(lái)的變量系數(shù)的OLS估計(jì)通常是有偏和不一致的。例如,假定工資模型為：wage=0+peduc+0exper+0abil+￡i01i2 i3ii如果估計(jì)時(shí)遺漏了變量abil，得到如下估計(jì)模型：iwage~=0+0educ+0experi01i2 i~~即使假定educ,exper無(wú)關(guān)，我們也容易證明0與0也都是有偏和不一致的，且有:12E(duc一eduCabili )乙%duc一educ2E[i )乙%duc一educ2ii=1~由于0>0，并且變量educ與abil正相關(guān)，因此，0是正偏誤和不一致的。31二、綜合題1、為了比較A、B和C三個(gè)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)相類(lèi)似的城市由于不同程度地實(shí)施了某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策后的績(jī)效差異，從這三個(gè)城市總計(jì)N+N+N個(gè)企業(yè)中按一定規(guī)則隨機(jī)抽取n+n+n個(gè)樣本ABC ABC企業(yè)，得到這些企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率y作為被解釋變量,如果沒(méi)有其它可獲得的數(shù)據(jù)作為解釋變量，并且A城市全面實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策，B城市部分實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策，C城市沒(méi)有實(shí)施這

項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策。如何建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型檢驗(yàn)A、B和C這三個(gè)城市之間由于不同程度實(shí)施某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策后存在的績(jī)效差異？解：把A、B兩個(gè)城市中第i企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率丁寫(xiě)成如下模型：iy=a+BD+yD+￡，i Ai Biie?NQo2)iABC⑴⑵〔3〕i=1,2，…,n,n+1,???,n+n,n+n+1,???,ABC⑴⑵〔3〕AA ABAB這里，虛擬變量D可表示為：Aia〔1,第i個(gè)企業(yè)來(lái)自于城市AD=<Ai10, 其它D二11,第i個(gè)企業(yè)來(lái)自于城市BBi-IO, 其它于是，參數(shù)a表示城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率，而參數(shù)B表示城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的差異，即a+B表示城市a企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率；參數(shù)Y表示城市B企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的差異，即a+Y表示B城市企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率，即：[a+B,D=1,D00TOC\o"1-5"\h\zAi Bi\o"CurrentDocument"E(y)=<a+y,D=0,D=1 〔4〕i Ai Bia, D00,D00\o"CurrentDocument"Ai Bi要檢驗(yàn)城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市B企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的有無(wú)顯著差異，改寫(xiě)模型為：y0a+5D+y(D+D)+e，Ai BiAii其中，503-Y；e?NQq2)；此時(shí)，有:a+a+Y+5,e（y）二（e,D01,D00Ai BiD00,D01Ai Bi運(yùn)用運(yùn)用t檢驗(yàn)看參數(shù)5a,D00,D00Ai Bi是否顯著地不為0，否則就認(rèn)為城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市B企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間無(wú)顯著差異2、用觀(guān)測(cè)值y「…,y20和%，）…,X20估計(jì)模型y=a+0x+0x+e

t 0t1t—1t得到的OLS估計(jì)值為&=5.0(2.23) B=0.8(2.21)0B=0.3(1.86)1R2=0.86和￡2=25人括號(hào)內(nèi)為t統(tǒng)計(jì)量。由于0的t值較小1去掉滯后回歸自變量X,」重新估計(jì)模型，這時(shí)，R2為多少?解：去掉滯后回歸自變量X,1所估計(jì)的模型可以看作是無(wú)約束模型：y=a+0x+0x+e

t 0t1t—1t在約束條件：r0=0之下所得到的估計(jì)。這里，r二旅1），0'=Q,00，01）。設(shè)無(wú)約束模型的OL殘差向量為e，帶約束模型的OLS殘差向量為eR,則有:二1￡2= ee=25，從而可得到:e'e=20d2=2義25=500令C=(XX)-1=()ij3x3，則有L01八0—0，從而可得到：c:c 22/222=0.0256注意到帶約束模型的OLS殘差平方和與無(wú)約束模型的殘差平方和存在如下關(guān)系:e'e=e'e+RB)R(XX>1R1RB)=e'eRR1\+02一=500+3.47=503.471c22「、SSE、 e'e由R2=1— =1———SSTSST一一一 e'e可推得：SST=-——1—R2同理!e.ee

由R2=1--R—R-RSST4e'e4e'e( )可推得：RR=1—Sr=1—k”一R2)所以e'eRRe'e八)1503.47,—R2)=1— x0.24=0.865003、對(duì)線(xiàn)性回歸模型：=X'P+￡ii滿(mǎn)足Exe.wO。假定z可以作為光合適的工具變量，且nr（￡lZ）=O2/,請(qǐng)導(dǎo)出工具變量估計(jì)量，并給出它的極限分布。解：由于出￡。0,所以參數(shù)向量P的。LS估計(jì)將是不一致的。假定z可以作為％合適的工具變量，對(duì)模型進(jìn)行變換:zy=zx'P+z￡

iiiii從而有:Ezy=p￡zx'+￡z￡從而有:ii ii iZ=1Z=1Z=1根據(jù):仇JEze]=0,

vTi

1=1Z=1Z=1Z=1根據(jù):仇JEze]=0,

vTi

1=1]=02V———zzTii=l并且所以運(yùn)用OLS估計(jì)方法，可得：p=IVit并且所以運(yùn)用OLS估計(jì)方法，可得：p=IVitLi=llIi=l注意到:Ti=lI",Jplim(L￡z/)plim(，￡z￡)-MTiiTiii=l1=1i=l由14〕和中心極限定理，可得:-B)IV的極限分布為正態(tài)nQ,(y2Mzz，其中：-B)IV的極限分布為正態(tài)nQ,(y2Mzz，其中：M=plim工〃 Tii=l也就是，：PtNP,IV\02——MTd4、考慮如下受限因變量問(wèn)題:TOC\o"1-5"\h\z1〕、二元離散選擇模型中的Logit模型，在給定x,2=1,2,…,N條件之下y=1的條件概率為:i if-[exp(邛)p=Pr

i=11X/= /7qAp=Pr

iii 1+exp )在重復(fù)觀(guān)測(cè)不可得的情況下，運(yùn)用極大似然估計(jì)方法證明:\o"CurrentDocument"i ii=li=l其中，x：=Q%%,…嗔），aexp1+expVp^i2〕、為什么利用觀(guān)測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)y*來(lái)估計(jì)Tobit模型是不合理的?3〕、對(duì)Tobit模型：y*=x，p+8iii=1,2,…,n以及8服從正態(tài)NG,o2iy=y*,

ii求：〔1〕、Eyi若y*>0；iy*>0)；iy=0,i〔2〕、〔2〕、答案：1〕、證明:對(duì)Logit模型，其似然函數(shù)可寫(xiě)成如下形式:對(duì)重復(fù)觀(guān)測(cè)不可得的情況詳細(xì)說(shuō)明Heckman提出的模型估計(jì)方法。〔1〕L(P)=INIIp(y=1|x)1?P(y=0|x)]〔1〕i=1〔1〕式的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：〔2〕l(P)=￡{ylogFQp)]+G-y)log1—〔2〕ii=1〔2〕式關(guān)于參數(shù)P的一階導(dǎo)數(shù)為:dpi=1%) G-y)fQp)7jP)"，―1-FQp)ii卜斗expQp)于是，一階條件為:exp()i=1i=11K1+expYPi〔3〕由〔3〕式可知：Xyx=lLpxii ii〔4〕i=1ii=1由于x'=（1,x,x，…，元）中第一分量為常數(shù)1，所以根據(jù)〔4〕式可得到:TOC\o"1-5"\h\zi1i2 ip心=￡y\o"CurrentDocument"i ii=1 i=12〕、假定我們考慮的Tobit模型為:y*=x'P+8i=1,2,…,n以及8服從正態(tài)iNG,o2)分布，滿(mǎn)足y=y*,iiy=0,i則有：Eyi即：Eyiy*>0)=x蜀+EQ8>

i i ii-x乍)=x有+若y*<0。iO@Qp/o)) o@Qp/o)y*>0xp+ - \=xp+oii 1-①(-x，p/o) ii@Qp/o)①Q(mào)p/o)i中xrpi也就是僅僅考慮利用觀(guān)測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)y*來(lái)估計(jì)Tobit模型，所獲得的參數(shù)P的估計(jì)是

im (1)(?)有偏的，并且其數(shù)值大于,并且依賴(lài)于羔，這就是僅僅運(yùn)用正觀(guān)測(cè)值子樣本來(lái)估計(jì)Tobit模型的不合理性。3〕、我們知道，對(duì)于Tobit模型有這樣的結(jié)論：E{y\y>o}=xrp+—\，=毋+oQ=毋+o入 〔1〕ii i [XP|i①iim1這里，0=0T—, ①二①，入=—i-oikQ7iI°Ji①

i如果有關(guān)于人的估計(jì)，就可得到P的一致估計(jì)。iJamesHeckman設(shè)計(jì)出了一種相比照較簡(jiǎn)單的兩步估計(jì)法，但這個(gè)估計(jì)法能夠得到P的一致估計(jì)?！?〕在重復(fù)觀(guān)測(cè)不可得的條件下，具體的估計(jì)步驟如下：第f,我們通過(guò)Probit第f,我們通過(guò)Probit模型來(lái)區(qū)分“y*iP=l\x}=P>0|x}=P>-ai i i i i運(yùn)用極大似然估計(jì)方法有：L(B)=FI[p{z=l%斗[尸{z=0xi=l=口」①(評(píng)):「1一中(x0)]rL i」L j-i=l對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：/(p)-S^zIn①(vp)+i=la/(p)yF z—①G、) ./根據(jù)：ap ?①G;R)[i-①中)f6」Gp)樣就很容易獲得々=①)。ipb第二步，我們?cè)讷@得了花之后，考慮下述模型i〉?！钡挠^(guān)測(cè)和的觀(guān)測(cè)，可以得到：i0|x}=(D(x0),i i i加⑵(1-Z)lnG-O(xrp)) 〔3〕i i —rP)x=o,利用數(shù)值運(yùn)算方法可以求得B,這i i pb學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考y=x0+o九+u,ii—1,2,?…，N〕 〔4）ii ii其中，我們假定u滿(mǎn)足高斯一馬爾可夫條件。于是，運(yùn)用OLS方法可以得到Tobit模型的參數(shù)估i八計(jì)P。但是，需要注意的是，u完全可能不滿(mǎn)足高斯一馬爾可夫條件，出現(xiàn)序列相關(guān)或異方差的現(xiàn)i象，因此，需要運(yùn)用廣義最小二乘法（GLS）或可行的廣義最小二乘法（FGLS）。一般情況下，由OLS方法得到的t檢驗(yàn)是有偏的。另外，Heckman的二步估計(jì)法不如Fair的極大似然估計(jì)法那樣有效。因此，只要可能的話(huà)，最好采用極大似然估計(jì)法?！队?jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》博士研究生入學(xué)試題〔B〕解答一、簡(jiǎn)答題說(shuō)明隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程和單位根過(guò)程的聯(lián)系與差異？如何檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)經(jīng)濟(jì)變量具有單位根？答：隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程在形式上與單位根過(guò)程完全一樣，但它們之間的本質(zhì)性差異在￡上。當(dāng)￡是白噪tt聲時(shí)，我們就稱(chēng)該過(guò)程為隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程［randomwalk）；當(dāng)￡是平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，該過(guò)程就是單位根過(guò)t程。隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程是單位根過(guò)程的一種特殊情形，它是非平穩(wěn)過(guò)程。如果某個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)發(fā)生過(guò)程滿(mǎn)足y―Py+u，假定隨機(jī)干擾項(xiàng)u獨(dú)立同服從于均值t t-1t t二C￡jt-jj—0，在這種為0,二C￡jt-jj—0，在這種如果放寬對(duì)隨機(jī)干擾項(xiàng)的限制，允許隨機(jī)干擾項(xiàng)u服從一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，即utt的情況下，它是否具有單位根可以用增廣的迪基和富勒〔ADF）檢驗(yàn)。協(xié)積的概念是什么？如何檢驗(yàn)兩個(gè)序列是協(xié)積的？答：如果y和x都是非平穩(wěn)/G）過(guò)程變量，則我們自然會(huì)預(yù)期它們的差，或者諸如tte—y-a-ax一類(lèi)的任何線(xiàn)性組合也是/G）的。但是，有一種很重要的情形就是t t 1 2te—y-a-ax是一個(gè)平穩(wěn)的/6）過(guò)程。這一情形我們稱(chēng)y和x是協(xié)積的。協(xié)積意味著y和xt t 1 2t tt tt

擁有相似的隨機(jī)趨勢(shì)，于是它們的差e就是平穩(wěn)的，它們相互之間絕不會(huì)偏離太遠(yuǎn)。協(xié)積變量J和ttx之間表現(xiàn)出一種定義為J=a+ax的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，而e是均衡誤差，表示對(duì)長(zhǎng)期均衡關(guān)系t t1 2t t的一種短期偏離。通過(guò)檢驗(yàn)誤差e=j-a-ax是否平穩(wěn)，我們判斷J和x之間是否協(xié)積。因?yàn)槲覀儾荒苡^(guān)tt1 2t tt察e，所以就使用迪基一富勒〔DF〕檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)最小二乘估計(jì)的殘差e=j-a-ax的平t tt1 2t穩(wěn)性來(lái)替代。3、在二元離散選擇的模型中解釋變量x’k變化作用的符號(hào)與其系數(shù)P卜的符號(hào)有什么關(guān)系？為什么？至少寫(xiě)出二點(diǎn)關(guān)于Tobit模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別?答：在Probit模型、Logit模型中的參數(shù)是無(wú)法直接解釋的。我們可以通過(guò)如下微分來(lái)考察這些模型：。①Q(mào)p) i 。①Q(mào)p) i d.xikdG(fp)

i

d.xik[卷e"-236[exippl+exip)-exipex.p+exip「二技叫ik〔1〕〔2〕，i 。這些微分度量了晨變化的邊際作用。晨變化的邊際作用都依賴(lài)于x的數(shù)值。在〔1〕和〔2〕兩種情況下，x變化作用的符號(hào)與其系數(shù)P的符號(hào)是相一ik ik k致的。Tobit模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別：〔1〕概率單位模型和Tobit模型的區(qū)別是前者因變量使用的是啞變量，后者因變量使用的是刪尾的連續(xù)變量；〔2〕Tobit模型中J=0要比J*>0時(shí)iiJ=J*有更重的權(quán)數(shù)，因?yàn)橛蠵rg=0lx}=Pri*<01x1這是其它離散選擇模型所不具ii i i i i備的。4、海德拉斯〔Hildreth〕和盧〔Lu〕(1960)檢查分析了30個(gè)月度的時(shí)間序列觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)〔從1951年3月到1953年7月〕，定義了如下變量：cons=每人冰激凌的消費(fèi)量〔按品脫計(jì)〕income=每周平均的家庭收入〔按美元計(jì)〕price=每品脫冰激凌的價(jià)格〔按美元計(jì)〕temp=平均氣溫〔°F〕1〕、用cons對(duì)income，price，tem和常數(shù)作線(xiàn)性回歸模型，得到DW統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值為，請(qǐng)說(shuō)明模型存在什么病態(tài)?答：說(shuō)明模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)可能存在序列相關(guān)，因此，用cons對(duì)income，price，tem和常數(shù)作線(xiàn)性回歸模型所得到的參數(shù)估計(jì)可信度低。2〕、上述模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)tem(-1)，得至1」DW=1.5822，并且該項(xiàng)的系數(shù)估計(jì)為學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考負(fù)，請(qǐng)說(shuō)明加入該項(xiàng)的作用以及系數(shù)為負(fù)的經(jīng)濟(jì)含義。答：模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)tem(-1)后，有助于改善隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)所帶來(lái)的干擾和影響；該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)說(shuō)明，如果上月的平均氣溫很高，當(dāng)月趨于正常的話(huà)，當(dāng)月每人冰激凌的消費(fèi)量不會(huì)保持上個(gè)月的高水平，只會(huì)有所下降，并與當(dāng)月的平均氣溫呈正向因果關(guān)系;反之也一樣。3〕、請(qǐng)寫(xiě)出2〕中模型的另一種表達(dá)式，說(shuō)明該表達(dá)式中變量系數(shù)的符號(hào)，解釋符號(hào)的經(jīng)濟(jì)意義。答：假設(shè)cons=a+aprice+aincome+atemp+atemp+￡，且其參數(shù)滿(mǎn)足：TOC\o"1-5"\h\zt0 1 t2 t3t4 t-1 ta<0，a>0，a>0，a<0，且有a>-a，因?yàn)?，一般?dāng)月的平均氣溫對(duì)每1 2 3 4 3 4人當(dāng)月冰激凌的消費(fèi)量影響最大。我們可以把上述模型進(jìn)行變形，即：cons=a+aprice+aincome+(a+a)temp-a(temp-temp)十￡t0 1 t2 t3 4 t4 t t-1 t=a+aprice+aincome+ptemp+yAtemp+￡01 t2 t t tt其中，各個(gè)變量的系數(shù)滿(mǎn)足a<0，a>0，p>0，y>0。1 2這說(shuō)明每人月冰激凌的消費(fèi)量受價(jià)格的抑制影響，而收入與當(dāng)月的平均氣溫與每人冰激凌消費(fèi)量的走向一致，當(dāng)月平均氣溫的變化量與每人冰激凌消費(fèi)量的變化也是一致的。4、說(shuō)明R2和調(diào)整的R2之間的差異，為什么在多變量線(xiàn)性回歸模型的擬合評(píng)價(jià)中人們主要用R2,而不是一般的決定系數(shù)R2呢?答：由于R2=答：由于R2=1-1y、e e2N-(p+1))i ? i=1 =1—高工(L》i=1SSE/[N-(p+1)]—SST/(N—1)—'而Ne2R2=1-^=1-州Ey( _\ssty(y-砂i

i=1因此，當(dāng)模型中引入另外的回歸變量時(shí)，無(wú)論這個(gè)變量是否合理，R2值永遠(yuǎn)不會(huì)減小。R2是用于修正自由度的擬合優(yōu)度度量，即：1 ye -A^e2(N-(p+1))「R1 ye -A^e2(N-(p+1))「R2=1- i=1 3工97?

i=11- / \ -1- f \1—R2’SST/(N-1)N-p+1)

于是，當(dāng)模型中引入另外的回歸變量時(shí)，R2值也許就會(huì)減小。因此，R2并不依賴(lài)于模型中解釋變量的個(gè)數(shù)，這也就是在多變量線(xiàn)性回歸模型的擬合評(píng)價(jià)中人們主要用R2，而不是用一般的擬合優(yōu)度R2。5、對(duì)于一種簡(jiǎn)化的異方差模型，即假定：Var】/X}=o2h2，這里假定h可以被h估計(jì)ii i i i的。那么關(guān)于參數(shù)P的可行的廣義最小二乘估計(jì)〔FGLS〕量如何得到？它是否還具有廣義最小二乘估計(jì)的優(yōu)良性質(zhì)？答：假定Var^￡/x}=o2h2，h是已知的。于是，關(guān)于參數(shù)P的廣義最小二乘估計(jì)〔GLS〕量適ii ii用于下述轉(zhuǎn)換了的模型：很明顯，轉(zhuǎn)換了的模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)具有同方差。這樣，就產(chǎn)生了GLS估計(jì)量：人PGLS人PGLS￡h-2XXiii-i=1Zh-2xyiiii=1人由于h可以被h估計(jì)，則得到參數(shù)P可行的廣義最小二乘估計(jì)〔FGLS〕量，即ii人人PFGLSZh-2XX'iiii=1

-1ZAh-2Xy

iiii=1人顯然，p 不再具有無(wú)偏性的性質(zhì)，但一致性繼續(xù)保持。FGLS7、在美國(guó)有人對(duì)密歇根的AnnArbor的大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，認(rèn)為男生和女生對(duì)空間〔用ROOMPER度量〕和距學(xué)校的距離〔用DIST度量〕具有不同的觀(guān)點(diǎn)。試問(wèn)如何利用租金〔用RENT度量〕數(shù)據(jù)對(duì)下述模型：RENT=P+P(SEX)+P(ROOMPER)+P(DIST)+￡12 3 4用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)Var(￡)>Var(￡)？男女注：SEX為虛擬變量一一［1；如果是女生；0；如果是男生〕。答：假定被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)生人數(shù)分別為N1和N-N1,利用被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)生的數(shù)據(jù)分別對(duì)下述模型：RENT=a+a(ROOMPER)+a(DIST)+￡i12 i3 ii進(jìn)行。友估計(jì),得到進(jìn)行。友估計(jì),得到0男-N1b21i-i=1 -,N-31N-Nb21i ^=1 (N-N)-31于是，對(duì)原假設(shè)H：o2=。2和備擇假設(shè)H:o20男女 1男人o2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F人o2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F=丁男在原假設(shè)H:o2

女分布。假設(shè)F＞Fa,N—N—3）,1-a1 1則，就認(rèn)為VarQ）＞VarQ）不成立。男女O2=O2男女成立時(shí)服從F卬-3,N-N-3）11則拒絕原假設(shè)設(shè)H0，認(rèn)為加（,）＞Va（,）成立；否8、為了研究美國(guó)住房需求情況，我們利用對(duì)3120個(gè)家庭調(diào)查的截面資料資料，對(duì)以下回歸模型：logQ=0+0logP+0logY+￡12 3其中Q=3120個(gè)家庭中的任何一個(gè)家庭每年所需要的住房面積平方英尺數(shù);P二家庭所在地住房的價(jià)格;Y二家庭收入。假設(shè)我們認(rèn)為住房需求由兩個(gè)方程組成，一個(gè)描述黑人的住房需求，另一個(gè)描述白人的住房需求，這個(gè)模型可以寫(xiě)成：logQ=0+0logP+0logY+￡；白人家庭12 3logQ=￥+YlogP+YlogY+￡；黑人家庭12 3我們希望對(duì)黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。這個(gè)假設(shè)是聯(lián)合假設(shè)：0假設(shè)：01=￥1 0272 03=丫3為了對(duì)上述假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們首先對(duì)上述模型進(jìn)行估計(jì)，并將每個(gè)方程的誤差平方和相加，得到ESSu=13640。現(xiàn)在，假設(shè)原假設(shè)為真，則模型簡(jiǎn)化為10gQ=0i+0210gP+0310gY+￡ 所有家庭對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行估計(jì)，得到它的誤差平方和ESS=13838。我們能否認(rèn)為系數(shù)全相等是正確的？R答：對(duì)于黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們采用鄒檢驗(yàn)〔Chow~F（3,3114）,計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(~F（3,3114）,計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量test〕。在原假設(shè)成立時(shí)，F(xiàn)=—點(diǎn)一~~^~ESS3114UR學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考L(ESS—ESS)3 1983 …F= R UR= =15.1,ESS3114 136403114UR

遠(yuǎn)大于5%顯著性水平時(shí)F(3,3114)的臨界值，所以拒絕黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)，它們之間存在顯著差異。二、綜合題1、假定模型的矩陣形式y(tǒng)=XP+8，其中E。)=0，E(Xfe)=0；1〕、假定E(￡8')=O21，求在Rp=r條件下，參數(shù)P的最小二乘估計(jì)量。T2〕、假定E(￡8')=O21且8是正態(tài)向量NG,O21)，構(gòu)造檢驗(yàn)原假設(shè)H：RP=r[q=rank(R)]的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并說(shuō)明該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從F分布。3〕、如何判斷參數(shù)線(xiàn)性約束條件是否成立，請(qǐng)做說(shuō)明。3〕、如何判斷參數(shù)線(xiàn)性約束條件是否成立，請(qǐng)做說(shuō)明。R2k4)、證明：對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F=4_RJg_k_1)，請(qǐng)說(shuō)明原假設(shè)是什么？其中，R24)、是模型y=Xp+8在無(wú)約束條件下作OLS估計(jì)所得到的擬合優(yōu)度。解：1〕、要求在約束條件RP=r下，參數(shù)向量P的最小二乘估計(jì)量，目標(biāo)是求向量函數(shù)解：V(p)=(y—Xp)'(y-Xp)+2，(Rp-r)到達(dá)最小時(shí)的參數(shù)向量B。對(duì)上述函數(shù)求導(dǎo)可得:因?yàn)樗枣?2X'(y-Xp因?yàn)樗枣?2X'(y-Xp)+2d(RP-r)'九=-2Xy+2(XX)B+2rN=0R(3=(XX)1Xy-(XX)1R吹=(3 -(XXLR氏OLS-R(XX)1R嘆〔2〕元=R(XX)1R'iR4 -B)=R(XX)1R11RpOLSR〔3〕-r)OLSTOC\o"1-5"\h\zp=B-(XX)-1R，R(XX)-1R11RB-r)ROLS OLS2〕、〔6〕根據(jù)上式中帶約束參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)公式，我們有:、

p=B-(XX)-1R，R(XX)-1rJRp -r)〔6〕ROLS OLS

從而，可以得到帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差公式:、TOC\o"1-5"\h\ze-e -X（XX）1R，R（XX）1R」1R8 -r）ROLS OLS，八 Jee-eeRROLSOLSOLSp-r）IR（XX）1R11，八 Jee-eeRROLSOLSOLS-eeX（XfX）1R，R（XX）1R11RB -J+pOLS-r^Ir（XX）-1R，1R（XX）-XX（XX）-1R，R（XX）1R，1RpOLSOLS整理以后可得到：efe一efeRROLSOLS也就是說(shuō)，帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和相對(duì)于無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和會(huì)變大，即：ee>ee ⑻RRUOLSUOLS要檢驗(yàn)原假設(shè)H：Rp-r是否成立，需要構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)〔8〕式中所表達(dá)的性質(zhì)，0我們構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：（e'e-e'e）q、、F-,rr Unu（s+1），這里q-rank（R）。UOLSUOLS P⑼當(dāng)原假設(shè)H：RP-r成立并且誤差向量？不僅滿(mǎn)足高斯一馬爾柯夫條件，還滿(mǎn)足正態(tài)分布時(shí)，0可以得到：f-e,r）一飛e%+；）］服從自由度為（q，N-P-D的FUOLSUOLS分布，即F（q,N-p-1）o3〕、對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平a，假設(shè)F>F （q,N-p-1）時(shí)，說(shuō)明帶約束參數(shù)向量模型的最1-a小二乘估計(jì)殘差平方和e'e與無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和e'e之間差RR UOLSUOLS異顯著，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約束條件RP-r不成立，也就是說(shuō)在原始模型中并不存在參數(shù)之間的這種約束關(guān)系。因此，我們拒絕原假設(shè)H。假設(shè)F<F （,N-p-1）時(shí)，說(shuō)明帶約束參數(shù)0 1-a. 一…一.一一. ，八.一,…. 一…,…一.一一. 向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和ee與無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和RRe' e 之間在統(tǒng)計(jì)上沒(méi)有什么差異，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約束條件RP-r是合理的，也就UOLSUOLS是說(shuō)在原始模型的參數(shù)之間確實(shí)存在著這種關(guān)系。因此，我們接受原假設(shè)H。0學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考4〕、注意到無(wú)參數(shù)向量約束條件時(shí)模型的擬合優(yōu)度〔或稱(chēng)決定系數(shù)〕R2和參數(shù)向量帶約束條U件時(shí)模型的擬合優(yōu)度〔或稱(chēng)決定系數(shù)〕R2分別為：R…SSE1_1SSER2=1— u,R2=1- RuSSTrSSTUU從而有：SSE=G—R2%ST，SSE=G—R2%STU UU R RU可以推得：SSE—SSE=e'e—e'e =(R2—R2)SSTR URRUOLSUOLS URU這樣，殘差形式的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：_(e'e—e' e)qF=一■―R~R UOLS_UOLSe'e TN-TpmiUOLSUOLS又可以寫(xiě)成擬合優(yōu)度形式的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：「 (R2—R2)q-G—R2UN-(p+1)]U因此，當(dāng)對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F=因此，當(dāng)對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F=則原假設(shè)指的是所有解釋變量的系數(shù)都為零，即H：B=B=…二卜=0。也就是當(dāng)H成立時(shí)，有R2=0。這時(shí)，對(duì)模型顯著012 p 0 R性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F=2、對(duì)線(xiàn)性回歸模型：y=XP+8，其中隨機(jī)誤差向量￡滿(mǎn)足高斯-馬爾可夫條件。1)、定義最小二乘估計(jì)量b.2)、如果X的第一列每個(gè)元素都是1,證明最小二乘殘差和為零，即Ze=0。i3)、令B=(B',B')'￡RK1+k2,b=(b',b')',和X=(X,X),推導(dǎo)b和b的表12 12 12 1 2達(dá)式。人4)、如果E兜'=02。與單位矩陣不成比例，試推出b和0(GLS)方差形式。解：1〕、按照最小二乘的思想，我們定義該模型最小二乘估計(jì)量b=(xx)1xy注意，這時(shí)我們認(rèn)為(XX)是可逆的矩陣。2〕、令2〕、令X=G,X)，其中，1=1則根據(jù)殘差向量的矩陣形式e=e=y-Xb=If-X（XX）-X']，可以得到:X'e=0，于是可推得:X'e=UeX'e1X,e\J.*-V-13〕、令m=I-Xa，X）-X'e=UeX'e1X,e\J.*-V-13〕、令m=I-Xa，X）-1x'1 1 1 11 1根據(jù)y=XP+XP+￡11由〔1〕式左乘M1,注意到：M1X1=0即有：Ze=0IM=f-X（X'X）-1X]

2 2 2 2 2 2可得：My=MXp+MXp+M￡，可得：b=（X,MX）-1X'My2 212 21，可得：b=（X,MXI1X'My1 121 12〔4〕4〕、如果E鴕'=02Q與單位矩陣不成比例，則根據(jù)：Var(b)=VarIXX)-1XyL(XX)-1XVar(y)X(XXU可得：Var（b）=02（XX，（XQX）（XX）-1由于E兜'=02Q為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，所以存在非奇異矩陣P,滿(mǎn)足PQP'=I,也就是Q=(P)-1(P%。根據(jù)這一性質(zhì)，我們對(duì)模型進(jìn)行變換:Py=PXP+P￡，顯然，Var(P￡)=P02QP'=o21。因此，對(duì)變換了的模型運(yùn)用最小二乘估計(jì)，得到：B（GLS）=（XPPX）-1XP'Py=GQ-1X）】XQ-1y從而，VarQ-1X）】XQ-1（o2Q）Q-1X（XQ-1X）I=o2（XQ-1X）】3、假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資之間存在著恒定的差異，為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報(bào)是否相同以及方便起見(jiàn)，在模型中只包含受教育水平和性別二個(gè)定性的解釋變量。試設(shè)計(jì)模型既能表達(dá)存在恒定的工資差異，又能反映存在受教育回報(bào)上的差異，并對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)及其所蘊(yùn)涵的意義進(jìn)行討論。

解：假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資(wage)之間存在著恒定的差異，同時(shí)為方便起見(jiàn)，在模型中只包含受教育水平(edu)和性別(female)二個(gè)定性的解釋變量。為進(jìn)行模型分析，我們把定性的解釋變量轉(zhuǎn)換為可進(jìn)行定量分析的虛擬變量，即：female二female二i1,0V第i個(gè)被觀(guān)測(cè)者是年輕女性職員

否則’0,第i個(gè)被觀(guān)測(cè)者沒(méi)有受過(guò)初等教育/ 1, 第i個(gè)被觀(guān)測(cè)者受過(guò)初等教育edu=<i 2, 第i個(gè)被觀(guān)測(cè)者受過(guò)中等教育3, 第i個(gè)被觀(guān)測(cè)者受過(guò)高等教育由于本問(wèn)題涉及的解釋變量多于1個(gè)虛擬變量,因此,當(dāng)被解釋變量取為logQage)時(shí)，這些虛擬的解釋變量系數(shù)就具有一種百分比的解釋。為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報(bào)是否相同,考慮到加入解釋變量交互項(xiàng)能夠產(chǎn)生不同的斜率這一作用,我們?cè)O(shè)計(jì)如下模型：〔1〕log(wage)=Q+yfemale)+Q+yfemale)edu+￡〔1〕i00 i11 iii在〔1〕式中代入female=0,就會(huì)發(fā)現(xiàn)，年輕男性職員這一組的截距為a,而受過(guò)初等i0教育的斜率為a。對(duì)于年輕女性職員這一組，代入female=1；于是其截距為a+Y,而1 i 00受過(guò)初等教育的斜率為a門(mén)1。因此，丫°度量了年輕男性職員與年輕女性職員在截距上的差異，Y1度量了年輕男性職員與年輕女性職員在受過(guò)初等教育回報(bào)上的差異。要估計(jì)模型〔1〕,我們可以把它改寫(xiě)成：〔2〕logWage)=a+yfemale+aedu+yfemale?edu+￡〔2〕i00 i1i1 i ii對(duì)模型〔2〕中我們可以用OLS方法估計(jì)出參數(shù)a°，丫°，%丫1。對(duì)于丫,丫的取值可以分成如下四種情況：01〔