通信原理第7版第2章課件(樊昌信版)

確知信號

通信原理（第7版）樊昌信曹麗娜編著第2章確知信號通信原理（第7版）樊昌信曹麗娜編

本章內(nèi)容:

第2章確知信號

信號類型信號頻率性質(zhì)信號時域性質(zhì)

———周期~非周期型能量~功率型———頻譜頻譜密度能量譜密度功率譜密度———自相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)本章內(nèi)容:第2章確知信號信號類型———

確知信號de類型§2.1確知信號de類型§2.1每隔一定的時間間隔按相同規(guī)律重復(fù)且無始無終。周期信號：非周期信號：——在定義域內(nèi)的任意時刻都有確定和可預(yù)知的函數(shù)值。否則，為隨機信號或不確知信號。何謂確知信號？確知信號分類——根據(jù)信號的不同特征，可將信號進行不同的分類。滿足上式的最小T0（T0>0）

稱為信號的基波周期。1.按照是否具有周期重復(fù)性區(qū)分……矩形脈沖每隔一定的時間間隔按相同規(guī)律重復(fù)

周期信號：定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時間T

(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。連續(xù)周期信號f(t)滿足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號f(k)滿足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號的周期。周期信號：定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時間T(或整數(shù)2.按照信號能量是否有限區(qū)分能量功率能量信號：功率信號：例如，單個矩形脈沖。例如：直流信號、周期信號和隨機信號。

將信號s(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為|s(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為2.按照信號能量是否有限區(qū)分能量功率能量信號：功率信號

確知信號de頻域性質(zhì)§2.2確知信號de頻域性質(zhì)§2.21.狄拉克(Dirac)定義

函數(shù)值只在t=0時不為零；

積分面積為1；

t=0時，，為無界函數(shù)。

1.狄拉克(Dirac)定義函數(shù)值只在t=0時不為狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信號絕例1不滿足條件1的例子如下圖所示，這個信號的周期為8，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半。可見在一個周期內(nèi)它的面積不會超過8，但不連續(xù)點的數(shù)目是無窮多個。例1不滿足條件1的例子如下圖所示，這個信號的周期為8，它是這例2不滿足條件2的一個函數(shù)是對此函數(shù)，其周期為1，有例2不滿足條件2的一個函數(shù)是對此函數(shù)，其周期為1，有在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的(T1為周期)

說明與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都是有限值，因為在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的(T1為周期)說明與平方可積條例3周期信號，周期為1，不滿足此條件。例3周期信號，周期為1，不滿足歐拉公式復(fù)平面上的一個單位圓上的點，與實軸夾角為θ時，此點可表示為e是自然對數(shù)的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e可以用計算方法定義為歐拉公式復(fù)平面上的一個單位圓上的點，與實軸夾角為θ時，此點可歐拉公式與三角函數(shù)的關(guān)系

三角函數(shù)可表示為歐拉公式與三角函數(shù)的關(guān)系

歐拉(Euler)公式歐拉公式與三角函數(shù)的關(guān)系三角函數(shù)可表示為歐拉公式與三角函以正弦信號和復(fù)指數(shù)信號為基本函數(shù)，任意信號將分解為一系列不同頻率的正弦信號或復(fù)指數(shù)信號之和或積分?！蓵r域分析轉(zhuǎn)入變換域（頻域）分析傅里葉變換頻譜、帶寬、濾波、調(diào)制歐拉公式以正弦信號和復(fù)指數(shù)信號為基本函數(shù)，任意1.信號正交定義：

定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)

1(t)和

2(t)，若滿足(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：

若n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。1.信號正交定義：定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)3.完備正交函數(shù)集：

如果在正交函數(shù)集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在任何函數(shù)

(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上（周期內(nèi)）的

完備正交函數(shù)集。Ω為基波頻率(i=1，2，…，n)3.完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集{1(t)，信號的正交分解

設(shè)有n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n

問題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最??？信號的正交分解設(shè)有n個函數(shù)1(t)，2(信號的正交分解問題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。

通常兩個函數(shù)誤差最小，是指這兩個函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)的的方均值（均方誤差）最小。均方誤差為：f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n

信號的正交分解問題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之為使上式最?。ㄏ禂?shù)Cj變化時），有

展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為0，寫為：即：所以系數(shù)信號的能量為使上式最小（系數(shù)Cj變化時），有展開上式中的被積代入，得最小均方誤差

在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當n→∞時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有

上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾方程（能量公式），表明：在區(qū)間(t1,t2)，f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。

代入，得最小均方誤差在用正交函數(shù)去近似f(t)時由積分可知1、三角函數(shù)集傅里葉級數(shù)的三角形式在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集由積分可知1、三角函數(shù)集傅里葉級數(shù)的三角形式在一個周期內(nèi)是一級數(shù)形式

設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率

=2

/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級數(shù)。

系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)。

可見，

an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。級數(shù)形式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=式中，A0=a0

上式表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，

●

A0/2為直流分量；

●

A1cos(

t+

1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率（基頻）與原周期信號相同（）；

●

A2cos(2

t+

2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；

●一般而言，Ancos(n

t+

n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。

an

=Ancos

n，bn

=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為式中，A0=a0上式表明：周期信號可分解為直流和許多余例：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。例：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。例1：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。解：考慮到Ω=2π/T，可得：例1：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。解：考慮到Ω=信號的傅里葉級數(shù)展開式為：信號的傅里葉級數(shù)展開式為：通信原理第7版第2章課件(樊昌信版))通信原理第7版第2章課件(樊昌信版))通信原理第7版第2章課件(樊昌信版))通信原理第7版第2章課件(樊昌信版))傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。系數(shù)Fn

稱為復(fù)傅里葉系數(shù)

利用cosx=(ejx

+e–jx)/2可從三角形式推出：虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式cosx=(ejx

+e–jx)/2

上式中第三項的n用–n代換，傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式cosx=(ejx+e–jx)/2三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式An為偶函數(shù)，A–n=An，

n為奇函數(shù)，

–n=–

n，則上式寫為三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式An為偶函數(shù)，A–n=An，n有令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。有令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。Fn

是頻率為n

的分量的系數(shù)，F(xiàn)0=A0/2為直流分量。n=0,±1,±2，…

表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之傅里葉系數(shù)之間關(guān)系n的偶函數(shù)：an

，An

，|Fn|

n的奇函數(shù):

bn

，

n

傅里葉系數(shù)之間關(guān)系n的偶函數(shù)：an，An，|Fn|信號頻譜的概念

從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和

n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和

n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn

。信號頻譜的概念從廣義上說，信號的某種特征量隨周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖，稱幅度譜；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖，簡稱相位譜。周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。關(guān)系曲線稱為幅度1ww13wnc0c1c3cO1w13wwpnjO幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線單邊頻譜諧波上才有值1ww13wnc0c1c3cO1w13wwpnjO幅度頻譜相2.2.1

功率信號的頻譜周期性功率信號的頻譜對于周期（T0）功率信號s(t)，可展成指數(shù)型傅里葉級數(shù)：

其中，傅里葉級數(shù)的系數(shù)：|Cn|---

n

---相位譜隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號的幅度譜2.2.1功率信號的頻譜周期性功率信號的頻譜對于周期（T0當n＝0時，有它表示信號的時間平均值，即直流分量。當n＝0時，有它表示信號的時間平均值，即直流分量。n102345-2-1-3-4-5|Cn|(a)振幅譜102345-2-1-3-4-5n

n(b)相位譜對于物理可實現(xiàn)的實信號，有周期功率信號頻譜的性質(zhì)n102345-2-1-3-4-5|Cn|(a)振幅譜10將式:代入式：可得s(t)的三角形式的傅里葉級數(shù)：

式中將式:代入式：可得s(t)的三角形式的傅里葉級數(shù)：式中①實周期信號可分解為直流分量C0、基波(n=1時)和各次諧波(n=1,2,3,…)分量的線性疊加；稱為單邊譜上式表明：②

實信號s(t)的各次諧波的振幅等于③實信號s(t)的各次諧波的相位等于

④頻譜函數(shù)Cn又稱為雙邊譜，|Cn|的值是單邊譜的振幅之半。若s(t)是實偶信號，則Cn為實函數(shù)。若s(t)不是偶信號，則Cn為復(fù)函數(shù)。①實周期信號可分解為直流分量C0、基波(n=1時)和各

【2-1】試求下圖所示周期性方波的頻譜。0T-Tt

Vs(t)例解該周期性方波的周期T，脈寬

，脈福V?？杀硎緸椋浩漕l譜：【2-1】試求下圖所示周期性方波的頻譜。0T-Cn可見：因為s(t)是實偶信號，所以

Cn為實函數(shù)。Cn可見：因為s(t)是實偶信號，所以Cn為實函數(shù)。T-Tt0

Vs(t)

【2-2】試求下圖所示周期性方波的頻譜。例解可見：此信號不是偶函數(shù)，所以其頻譜Cn是復(fù)函數(shù)。該信號可表示為：其頻譜：T-Tt0Vs(t)【2-2】試求下圖所示周非周期信號的頻譜

傅里葉變換

常用函數(shù)的傅里葉變換回顧：周期信號的傅里葉級數(shù)非周期信號的頻譜傅里葉變換回顧：周期信號的傅里葉級數(shù)在滿足狄里赫利條件時，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)在滿足狄里赫利條件時，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的f(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)說明：f(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)說明：一．傅里葉變換：周期信號非周期信號連續(xù)譜，幅度無限?。浑x散譜1.引出0再用Fn表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。令0(單位頻率上的頻譜）稱為頻譜密度函數(shù)（非周期信號的頻譜）。一．傅里葉變換：周期信號非周期信號連續(xù)譜，幅度無限?。浑x散譜考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；

nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時，∑→∫于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。由傅里葉級數(shù)考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；同時，∑→∫于是，傅也可簡記為

f(t)←→F(jω)或F(ω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)

或F(jω)=F[f(t)]

f(t)=F

–1[F(jω)]也可簡記為f(t)←→F(jω)或F(ω)F(jω說明：

(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)

f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分說明：(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分周期信號非周期信號傅里葉級數(shù)傅里葉變換離散譜連續(xù)譜周期信號

——負頻譜和正頻譜的模偶對稱，相位奇對稱，即復(fù)數(shù)共軛。因為：2.2.2

能量信號的頻譜密度頻譜密度的定義：——能量信號s(t)的傅里葉變換：S(f)的逆傅里葉變換為原信號：S(f)和Cn的主要區(qū)別：S(f)是連續(xù)譜，Cn是離散譜；S(f)的單位是V/Hz，而Cn的單位是V。實能量信號頻譜密度和實功率信號頻譜的共同特性：——負頻譜和正頻譜的模偶對稱，相位奇對稱，即復(fù)數(shù)共軛。因

【2-3】試求單位門函數(shù):的頻譜密度。Ga(f)f1/

2/

-2/

-1/

0例其傅里葉變換為評注：矩形脈沖的帶寬等于其脈沖持續(xù)時間的倒數(shù)，即(1/

)Hz。解1t0ga(t)【2-3】試求單位門函數(shù):Ga(f)f1/2/-2

【2-4】試求單位沖激函數(shù)(

函數(shù))的頻譜密度。例一個高度為無窮大、寬度為無窮小、面積為1的脈沖。解

函數(shù)的定義：

函數(shù)的頻譜密度：

函數(shù)的物理意義：【2-4】試求單位沖激函數(shù)(函數(shù))的頻譜密度。

函數(shù)的性質(zhì)①

函數(shù)的性質(zhì)②

函數(shù)的性質(zhì)③函數(shù)的性質(zhì)①函數(shù)的性質(zhì)②函數(shù)的性質(zhì)③t(a)余弦波形

【2-5】試求無限長余弦波的頻譜密度。例解設(shè)余弦波的表示式為s(t)=cos2

f0t，則其頻譜密度S(f)為f0－f00(b)頻譜密度利用則有t(a)余弦波形【2-5】試求無限長余弦波的頻譜密2.2.3

能量信號的能量譜密度定義：G(f)=|S(f)|2——用來描述信號的能量在頻域上的分布情況。設(shè)能量信號s(t)的傅里葉變換（即頻譜密度）為S(f)，能量——Parseval定理則其能量譜密度G(f)為：2.2.3能量信號的能量譜密度定義：G(f)=|S(

【2-6】試求例【2-3】中矩形脈沖的能量譜密度。例解在例【2-3】中，已經(jīng)求出其頻譜密度：故其能量譜密度為:

【2-6】試求例【2-3】中矩形脈沖的能量譜密度。2.2.4

功率信號的功率譜密度定義：——用來描述信號的功率在頻域上的分布情況。信號s(t)的功率譜密度P(f)定義為：功率——Parseval定理（p441）式中，ST(f)為截斷信號sT(t)的傅里葉變換。Cn：傅里葉級數(shù)的系數(shù)第n次諧波的振幅第n次諧波的功率2.2.4功率信號的功率譜密度定義：——用來描述信號的功率連續(xù)的功率譜密度連續(xù)的功率譜密度

【2-7】試求例【2-1】中周期性信號的功率譜密度。例解在例【2-1】中，已經(jīng)求出該信號的頻譜：可得該信號的功率譜密度:

由式【2-7】試求例【2-1】中周期性信號的功率譜密度。

確知信號de時域性質(zhì)§2.3——可由自相關(guān)函數(shù)或互相關(guān)函數(shù)來描述確知信號de時域性質(zhì)§2.3——可由自相關(guān)函數(shù)或互相關(guān)

物理意義：隨機過程的n個樣本 函數(shù)曲線的擺動中心。

物理意義：隨機過程的n個樣本隨機過程的數(shù)學(xué)期望:

是時間函數(shù)，表示隨機過程所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均函數(shù)

隨機過程的方差:

稱為隨機過程的方差或均方差。時刻對于均值的偏離程度。它表示隨機過程在（2）.方差隨機過程的數(shù)學(xué)期望:是時間函數(shù)，表示隨機過程所有樣本函數(shù)的均值