高中數(shù)學(xué)12《角的概念的推廣》ppt課件北師大版必修

§2角的概念的推廣1§2角的概念的推廣11.在初中角是如何定義的？定義1:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的幾何圖形叫作角.頂點(diǎn)邊邊21.在初中角是如何定義的？定義1:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的定義2:平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫作角.ABO頂點(diǎn)始邊

終邊3定義2:平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形2.角是如何度量的?角的單位是度.規(guī)定:周角的為1度的角.3.我們學(xué)過(guò)哪些角?它們的大小是多少?銳角:大于0度小于90度直角:等于90度鈍角:大于90度小于180度平角：等于180度周角：等于360度我們以前所學(xué)過(guò)的角都是大于0度,小于或等于360度的角.42.角是如何度量的?角的單位是度.規(guī)定:周角的為1度生活中很多實(shí)例不在0°～360°范圍內(nèi).像體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720o,跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o.本節(jié)課我們進(jìn)一步研究更廣泛的角.5生活中很多實(shí)例不在0°～360°范圍內(nèi).像體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體72地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn),角的范圍如何來(lái)表示？6地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn),角的范圍如何來(lái)表示？6角這就是這節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——角7角這就是這節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——角71.通過(guò)實(shí)例深刻理解推廣后角的概念.(重點(diǎn))2.理解正角、負(fù)角和零角的定義及任意角、象限角的概念.（重點(diǎn)）3.掌握所有與角α終邊相同的角的表示方法.（難點(diǎn)）81.通過(guò)實(shí)例深刻理解推廣后角的概念.(重點(diǎn))8探究點(diǎn)1任意角的概念思考1:下面的角度如何表示？（１）你的手表慢了５分鐘,想將它校準(zhǔn)，分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？（２）假如你的手表快了2.5小時(shí),想將它校準(zhǔn)，分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？注意:旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量確定了校準(zhǔn)手表的方式.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900度9探究點(diǎn)1任意角的概念思考1:下面的角度如何表示？（１）你的提示:類(lèi)比正負(fù)數(shù)可表示具有相反意義的量,對(duì)于旋轉(zhuǎn)方向不同的角，我們猜想：也可以用正負(fù)來(lái)表示.思考2:類(lèi)比數(shù)系的擴(kuò)充,思考角的概念是否也可以推廣?10提示:類(lèi)比正負(fù)數(shù)可表示具有相反意義的量,對(duì)于旋轉(zhuǎn)方向不同的角

逆時(shí)針

順時(shí)針任意角定義:正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

零角:一條射線從起始位置OA沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),終止位置OB與起始位置OA重合任意角記法：角或,可簡(jiǎn)記為

.

注意角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量.11逆時(shí)針順時(shí)針任意角定義:正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)說(shuō)明:1.角的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定.2.角可以任意大小,其數(shù)值的大小由旋轉(zhuǎn)次數(shù)及終邊位置決定.這樣,我們就把角的概念推廣到了任意角.12說(shuō)明:1.角的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定.2.角可以任意大小,其數(shù)值oyx思考1:為了進(jìn)一步研究角的需要,我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

提示：如圖，可以是坐標(biāo)軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限探究點(diǎn)2象限角13oyx思考1:為了進(jìn)一步研究角的需要,我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討象限角1.角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合;2.角的始邊重合于x軸的非負(fù)半軸;則角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限,就是第幾象限角.14象限角14xy

O始邊

終邊

Ⅰ終邊

Ⅱ終邊

Ⅲ終邊

Ⅳ提示:象限角只能反映角的終邊所在象限,不能反映角的大小.象限角的圖形表示ⅠⅡⅢⅣ15xyO始邊終邊Ⅰ終邊Ⅱ終邊思考2:如圖所示的角α、角β是第幾象限角？怎樣判斷一個(gè)角是第幾象限角？提示:角α是第一象限角,角β是第三象限角.判斷方法是將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說(shuō)該角是第幾象限角.16思考2:如圖所示的角α、角β是第幾象限角？怎樣判斷一個(gè)角是第坐標(biāo)軸上的角如果角的終邊落在了坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.例如:角的終邊落在x軸或y軸上.坐標(biāo)軸上的角第三象限角第四象限角第三象限角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角第一象限角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角象限角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角按終邊的位置分類(lèi)第二象限角17坐標(biāo)軸上的角如果角的終邊落在了坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任1.銳角是第幾象限的角？2.第一象限的角是否都是銳角？3.小于90°的角都是銳角嗎？答:銳角是第一象限的角.答:第一象限的角并不都是銳角.答:小于90°的角并不都是銳角,它也有可能是零角或負(fù)角.想一想181.銳角是第幾象限的角？2.第一象限的角是否都是銳角？3.小思考1:在坐標(biāo)軸上畫(huà)出30°,390°,-330°,它們有什么共同點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系？提示：終邊相同,且30°=30°+0×360°xyO30°390°-330°390°=30°+360°-330°=30°-360°=30°+1×360°

=30°-1×360°探究點(diǎn)3終邊相同的角390°,-330°兩個(gè)角都可以表示成30°角與k個(gè)周角的和,其中k為整數(shù).19思考1:在坐標(biāo)軸上畫(huà)出30°,390°,-330°,它們有提示:集合思考2:所有與30°角終邊相同的角,連同30°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

提醒:所有與30°角終邊相同的角,連同30°角在內(nèi)，都是集合S的元素;反過(guò)來(lái)，集合S的任一元素顯然都與30°角終邊相同.20提示:集合思考2:所有與30°角終邊相同的角,連同30°角在終邊相同的角的表示所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合:S=_________________________.即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和.{β|β=α+k×360°,k∈Z}21終邊相同的角的表示{β|β=α+k×360°,k∈Z}21注意:(1)k∈Z.(2)α是任意角.(3)k×360°與α之間是“+”號(hào),如k×360°-30°,應(yīng)看成k×360°+（-30°）.(4)k的兩層含義:①特殊性：每對(duì)k賦一個(gè)值可得一個(gè)具體角;②一般性：表示了所有與終邊α重合的角的集合.22注意:(1)k∈Z.(2)α是任意角.(3)k×360°與(5)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.23(5)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同，終邊相例1判定下列各角是第幾象限角:（1）-60°.（2）606°.（3）-950°12'.解:（1）因?yàn)?60°角的終邊在第四象限,所以它是第四象限角.

24例1判定下列各角是第幾象限角:（1）-60°.（2）6（2）因?yàn)?06°=360°+246°,所以606°與246°角的終邊重合,而246°的終邊在第三象限，所以606°是第三象限角.（3）因?yàn)?950°12'=（-2）×360°-230°12',而-230°12'的終邊在第二象限,所以-950°12

'是第二象限角.方法總結(jié):判斷一個(gè)角所在象限或不同角之間的終邊關(guān)系,只要把它們化為β+k·360°,k∈Z，（0°≤β

＜360°），然后只要考查β

的相關(guān)問(wèn)題即可.25（2）因?yàn)?06°=360°+246°,（3）因?yàn)?950°例2在直角坐標(biāo)系中,寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合（用0°～360°的角表示).解:

在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即90°與270°角（如圖）.因此，所有與90°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1=而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成集合S2=于是，終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2=={β|β=90°+k×180°,k∈Z}.{β|β=270°+k×360°,k∈Z}∪26例2在直角坐標(biāo)系中,寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合（用0°～解:S=｛β丨

β=k×360°+60°,k∈Z｝.S中適合-360°≤

β

＜720°的元素是:60°-1×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.例3寫(xiě)出與60°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤

β

＜720°

的元素β寫(xiě)出來(lái).27解:S=｛β丨β=k×360°+60°,k∈Z｝.例31.已知下列各角:①-120°;②-240°；③180°；④495°,其中是第二象限角的是()A.①②B.①③C.②③D.②④2.若β是第四象限角，則180°-β是第____象限角.D三281.已知下列各角:①-120°;②-240°；③180°；D3.與600°角終邊相同的角可表示為()A.k·360°＋220°(k∈Z)B.k·360°＋240°(k∈Z)C.k·360°＋60°(k∈Z)D.k·360°＋260°(k∈Z)B293.與600°角終邊相同的角可表示為()B294.在0°～360°范圍內(nèi),找出與-990°15′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.

解:

因?yàn)?990°15′=89°45′-3×360°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-990°15′角終邊相同的角是89°45′,它是第一象限角.304.在0°～360°范圍內(nèi),找出與-990°15′角終邊相同5.寫(xiě)出終邊落在x軸上的角的集合.解:在0°～360°范圍內(nèi),終邊在x軸上的角有兩個(gè)0°,180°.S1={β|

β=k×360°,k∈Z};與180°角終邊相同的角構(gòu)成的集合S2={β|

β=180°+k×360°,k∈Z}={β|

β=180°+2k×180°,k∈Z}.與0°角終邊相同的角構(gòu)成的集合S=S1∪S2={β|β