第二章梁的彈塑性彎曲及

第二章

梁的彈塑性彎曲及梁和剛架的塑性極限分析§2.1矩形載面梁的彈塑性純彎曲§2.2橫向載荷作用下梁的彈塑性分析§2.3強化材料矩形載面梁彈塑性純彎曲§2.4超靜定梁的塑性極限載荷§2.5用靜力法和機(jī)動法求剛架的塑性極限載荷§2.6極限分析中的上下限定理§2.7最輕結(jié)構(gòu)的極限設(shè)計§2.8彎矩和軸向力同時作用的情形§2.1矩形截面梁的彈塑性純彎曲

關(guān)于梁的兩個假定（材料力學(xué)）：①

平截面假定：梁的橫截面在變形之后仍然保持平面。②

截面上正應(yīng)力對變形的影響是主要的，其它應(yīng)力分量的影響可以忽略。故應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可簡化為正應(yīng)力σ和正應(yīng)變ε之間的關(guān)系。一、基本關(guān)系在圖示的矩形截面梁中，如取x軸為中心線，y軸指向梁的撓度方向，梁的受力狀態(tài)對稱與x-y平面時。由平面假設(shè)，截面上的正應(yīng)變?yōu)槠渲袨榍剩投际堑暮瘮?shù)。小變形情形下——式中撓度以指向軸的方向為正。截面上的軸力和彎矩為——式中b和h分別為矩形截面的寬度和高度考慮梁的純彎曲問題，故（3）式中軸向力為零，N=0，而（4）式的彎矩M與x無關(guān)。二、彈性階段由得將代入（3）、（4）——截面的慣性矩說明彎矩和曲率之間有線性關(guān)系代入式（5）說明應(yīng)力分布與y成比例在梁的最上層和最下層，應(yīng)力的絕對值最大，故開始屈服所對應(yīng)的彎矩和曲率為——彈性極限彎矩——彈性極限曲率則（6）式的無量綱形式可寫為三、彈塑性階段考慮的情形設(shè)彈塑性區(qū)交界處的值為有截面上的彎矩：或（10）式中，對應(yīng)于y=y0的應(yīng)力為σ=σs，故考慮的情形（11）式也可寫為對比彈性解1、表明雖然梁截面的外層纖維已進(jìn)入塑性屈服階段，但由于其中間部分仍處于彈性階段，“平截面”的變形特性限制了外層纖維塑性變形的大小，因而它們是處于約束塑性變形狀態(tài)，梁的曲率完全由中間彈性部分控制。，，塑性極限載荷，在y=±0處上下纖維的正應(yīng)力從+σs跳到-σs，出現(xiàn)了正應(yīng)力的強間斷。2、3、當(dāng)變形限制在彈性變形的量級時，材料的塑性變形可以使梁的抗彎能力得到提高。矩形截面梁圓形截面薄圓管工字梁三、卸載時的殘余曲率和殘余應(yīng)力

1、卸載規(guī)律——在卸載時M~K之間應(yīng)服從彈性規(guī)律彎矩的改變量和曲率的改變量之間的關(guān)系：應(yīng)力的改變量：2、殘余曲率若彎矩完全卸到零，即殘余曲率的表達(dá)式卸載后的殘余曲率與未卸載時的曲率之比：或：適用：或：當(dāng)時，顯然有3、殘余應(yīng)力其中與之間的關(guān)系有式（13）和（14）給出說明：1.在彈性區(qū)的殘余應(yīng)力仍保留原來的符號。2.卸載時，應(yīng)力變化最大的部位在梁的最外層由和3.當(dāng)再次施加的正向彎矩值不超過M*時，梁將呈彈性響應(yīng)。得外層的正應(yīng)力改變了符號但未出現(xiàn)反向屈服4.如卸載到零以后再施加反向彎矩，則開始時的響應(yīng)仍是彈性的，當(dāng)△M滿足外層纖維開始反向屈服,即彎矩的變化范圍不大于2Me時，結(jié)構(gòu)將是安定的?！?.2橫向載荷作用下梁的彈塑性分析

一、梁的彈性極限載荷研究矩形截面的理想彈塑性懸臂梁，在端點受集中力作用梁的彎矩：當(dāng)P增至根部的彎矩X=0截面的最外層纖維開始屈服稱為彈性極限載荷二、塑性狀態(tài)時，梁的彎矩分布仍服從（19）式。設(shè)開始進(jìn)入塑性狀態(tài)的截面在處，則有位于的各截面上均有部分區(qū)域進(jìn)入屈服狀態(tài)，其彈塑性交界位置1、塑性極限載荷在處，當(dāng)時，即梁根部的整個截面都進(jìn)入塑性流動階段稱為塑性極限載荷與相應(yīng)的值可由2、塑性鉸塑性鉸：彎矩達(dá)到了塑性極限彎矩，則相應(yīng)的曲率可任意地增長，就好像一個鉸那樣。與通常的鉸有兩點區(qū)別：1.通常的鉸不承受彎矩；2.通常較兩側(cè)的梁段可在兩個方向作相對轉(zhuǎn)動，而塑性鉸作反方向相對轉(zhuǎn)動對應(yīng)于卸載。三、梁的撓度1、梁處于彈性狀態(tài)以及端條件可得特別地1、梁處于彈塑性狀態(tài)彈塑性梁段彈性梁段當(dāng)區(qū)間中的曲率可由下式給出：利用端條件，得區(qū)間中的曲率可由下式給出：利用x=3/L處的連接條件，得其中自由端的撓度為：可見，彈塑性變形與彈性變形是同數(shù)量級的。？當(dāng)載荷P先加到P，然后又卸載到零時，自由端的殘余撓度？§2.3強化材料矩形截面梁的彈塑性純彎曲一般強化材料:在純彎曲條件下，單調(diào)加載時，彎矩表達(dá)式為：作變量替換后，上式可寫為：可得到M～K

關(guān)系。僅當(dāng)時，上式中的才不為零如已知K＞0，則由（9）和（12）式：可直接求得M值。如已知M＞0，則需用疊代法求出相應(yīng)的K值和應(yīng)力分布。為此，可利用將（24）式改寫為：上式右端的第一項為純彈性部分，第二項是由于梁的塑性變形而對曲率的修正。注意到，有在令：則對任意兩個曲率和，由中值定理可得--現(xiàn)定義算子T：而將（27）式寫成采用迭代法：先令則第一次迭代為：由于可見T是一個壓縮映象，以上迭代過程是收斂的。--則第次迭代為：§2.4超靜定梁的塑性極限載荷以圖示的一次超靜定梁為例設(shè)其

MK

曲線可由圖7中的理想彈塑性模型表示，即～當(dāng)時設(shè)載荷P從零開始增長。AB段和BC段彎矩是線性分布的其中在根部A截面當(dāng)時，對應(yīng)的載荷為：當(dāng)時（1）梁的根部形成一個塑性鉸，可以產(chǎn)生任意大的曲率。但由于其它部位仍處于彈性階段，故根部曲率的大小要受到這些部位的約束。（2）A點成為塑性鉸后，該處的彎矩已知，結(jié)構(gòu)成為靜定的。由平衡條件得當(dāng)時，B點的彎矩為梁成為一個機(jī)構(gòu)而不能進(jìn)一步承載。稱為塑性極限載荷分析：1.塑性極限載荷并不依賴于彈模E，其值僅與結(jié)構(gòu)本身和載荷有關(guān)，而與結(jié)構(gòu)的殘余應(yīng)力狀態(tài)和加載歷史無關(guān)。彈塑性結(jié)構(gòu)的極限載荷與剛塑性結(jié)構(gòu)的極限載荷是相同的2.若僅計算極限載荷，無須分析彈塑性變形過程，可采用剛塑性模型，用更為簡單的方法進(jìn)行計算。常用的方法：靜力法：以應(yīng)力作為基本未知量機(jī)動法：以位移作為基本未知量靜力法：是通過與外載荷相平衡且在結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件的廣義應(yīng)力場來尋求所對應(yīng)外載荷的最大值的一種方法。以圖6所示的梁為例彎矩（絕對值）的最大值只可能在A點和B點。以C點的支座反力為參數(shù)梁內(nèi)處處不違反屈服條件就要求兩個不等式同時成立，所對應(yīng)的最大外載荷為：——塑性極限載荷機(jī)動法：是當(dāng)結(jié)構(gòu)的變形可能成為一個塑性流動（或破損）機(jī)構(gòu)時，通過外載荷所做的功與內(nèi)部耗散功的關(guān)系來尋求所對應(yīng)外載荷的最小值的一種方法。對于圖6所示的梁，可能的破損機(jī)構(gòu)只有一種，即根部A和中點B都成為塑性鉸。令B點向下移動的距離為δ，A點處梁的轉(zhuǎn)角為B點兩側(cè)梁段的相對轉(zhuǎn)角為則力P所作的功為：塑性鉸上所作的耗散功為：由外力功和內(nèi)部耗散功相等的條件——塑性極限載荷或注：對于較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，可能的破損機(jī)構(gòu)一般有好幾種。對應(yīng)于每一種機(jī)構(gòu)，都可求得一個載荷值。真實的極限載荷是所有這些載荷中的最小值?！?.5用靜力法和機(jī)動法求剛架的塑性極限載荷

一、幾個概念靜力場

：處處滿足平衡條件的內(nèi)力分布現(xiàn)考慮一個n次超靜定剛架，它有n個多余反力設(shè)剛架中可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點個數(shù)為m。m個節(jié)點處的彎矩外力多余反力消去得到的m-n個方程反映了結(jié)構(gòu)的平衡條件即構(gòu)成一個平衡體系——稱為靜力場靜力許可場：結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件的靜力場結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件——稱為靜力許可場靜力法：就是要在一切可能的靜力許可場中尋求取值最大的外載荷。

二、例子①⑤②③④圖8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設(shè)各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作用下，求出結(jié)構(gòu)最大可能承受的載荷P。

解：該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)n=2

節(jié)點①，②，③，④處可能出現(xiàn)塑性鉸,故m=4取節(jié)點⑤處的支座反力R和N為多余反力，并規(guī)定彎矩的符號以剛架內(nèi)側(cè)拉為正，則相應(yīng)的平衡方程為[靜力法]消去R、N，得到m-n=2個獨立的平衡方程即如果mj還滿足屈服條件則就構(gòu)成一個靜力許可場(29)利用（30）式，條件（31）式可等價地寫為

或消去消去(32)(33)(34)而（負(fù)號對應(yīng)于反向加載）對應(yīng)于最大載荷值：當(dāng)(34)式中的各式才可能成立?！獮榇嬖陟o力許可場的條件(36)1.對應(yīng)于的彎矩分布可通過回代過程來確定：——塑性極限載荷說明：2.二次超靜定結(jié)構(gòu)中有三個節(jié)點①，②，④成為塑性鉸，結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)而開始塑性流動。這說明（36）式的的確是一個極限載荷。[機(jī)動法]說明：1.對于n次超靜定剛架，當(dāng)出現(xiàn)（n+1)個塑性鉸時，結(jié)構(gòu)就會變成機(jī)構(gòu)而產(chǎn)生塑性流動。設(shè)可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點數(shù)為m，則可能的破損機(jī)構(gòu)的總數(shù)不少于m2.對于n次超靜定剛架，可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點數(shù)為m，可列出的獨立的平衡方程個數(shù)為m-n。這m-n個方程可利用虛功原理與結(jié)構(gòu)的m-n個破損機(jī)構(gòu)相對應(yīng)，稱這樣的破損機(jī)構(gòu)為基本機(jī)構(gòu)其它的破損機(jī)構(gòu)可通過基本機(jī)構(gòu)組合而得到3.每一個破損機(jī)構(gòu)都是一個機(jī)動場。設(shè)在塑性鉸點兩側(cè)梁段的相對轉(zhuǎn)角為與外載荷相對應(yīng)的廣義位移為可表示為許可機(jī)動場——使外載荷在上所作的總功取正值的機(jī)動場對于每一個運動機(jī)動場，當(dāng)令外載荷作的總功與塑性鉸的總耗散功相等時，便得到一個載荷值。機(jī)動法就是要在一切可能的運動許可場中尋求取值最小的外載荷①⑤②③④圖8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設(shè)各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作用下，求出結(jié)構(gòu)最大可能承受的載荷P。

解：可能的破損機(jī)構(gòu)總數(shù)為基本機(jī)構(gòu)的個數(shù)為例如，取圖9中的（a)和（b）為基本機(jī)構(gòu)。則（a)和（b）這兩種基本機(jī)構(gòu)疊加：消去處的鉸，得到機(jī)構(gòu)（c）。②消去處的鉸，得到機(jī)構(gòu)（d）。④(d)成鉸③①②(c)成鉸①③④(b)成鉸③④①(a)成鉸②③④用機(jī)動法計算對應(yīng)于每個破損機(jī)構(gòu)的載荷值(a)成鉸②③④(b)成鉸③④①(c)成鉸①③④(d)成鉸③①②以上四種載荷值中的最小者對應(yīng)于機(jī)構(gòu)(b),最先形成塑性鉸的節(jié)點為①,②,④?！Y(jié)構(gòu)的塑性極限載荷討論一種簡便的方法：在以上這些塑性流動機(jī)構(gòu)中事先選取其中的某幾個，并分別計算出這幾個機(jī)構(gòu)所對應(yīng)的“上限載荷”。進(jìn)而考察這些“上限載荷”中取最小值的塑性流動機(jī)構(gòu)，并將其鉸點上的彎矩值取為極限彎矩，然后在根據(jù)平衡條件求出其它各節(jié)點處的彎矩值。如果所有截面上彎矩的絕對值都沒有超過極限彎矩，那么我們就找到了一個靜力許可場，因為它同時對應(yīng)于某個運動機(jī)動場，所以以上所求得的載荷值就是真實的極限載荷，否則以上的載荷只能是真實極限載荷的上限，而需要對其它的塑性流動機(jī)構(gòu)再重新進(jìn)行計算。(a)成鉸②③④我們來考慮圖8所示的平面剛架。先選取使節(jié)點成鉸的機(jī)構(gòu)為塑性流動機(jī)構(gòu)。②③④(29)由由柱45的平衡條件，可知節(jié)點處的水平力⑤可知節(jié)點處的水平力①由柱12的平衡條件，可知節(jié)點處