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第十章重積分（１）曲頂柱體的體積1.二重積分的概念求曲頂柱體的體積采用“分割、乘積、求和、取極限”的方法一.二重積分的概念、性質與計算步驟如下：用相應的小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積（2）二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素說明：二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為性質１當為常數(shù)時，性質２（二重積分與定積分有類似的性質）2.二重積分的性質性質３對區(qū)域具有可加性性質４若為D的面積，性質５若在D上特殊地則有性質６性質７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）解解解(1)如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).3.利用直角坐標系計算二重積分［X－型］應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得(2)如果積分區(qū)域為：［Y－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.注2：若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.注1：若D既是X-型區(qū)域又是Y-型區(qū)域，則上面兩個二次積分相等解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖解解解練習：練習題答案4、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的式（２）區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖解解解解練習題練習題答案二、三重積分1.三重積分的概念(1)直角坐

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