高等數(shù)學考研大綱

高等數(shù)學考研大綱（一）、數(shù)一考試大綱第一章函數(shù)的極限與持續(xù)1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表達法，會建立應用問題的函數(shù)關系．2．理解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性．3．理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，理解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．4．掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，理解初等函數(shù)的概念．5．理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關系．6．掌握極限的性質及四則運算法則．7．掌握極限存在的兩個準則，并會運用它們求極限，掌握運用兩個重要極限求極限的措施．8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較措施，會用等價無窮小量求極限．9．理解函數(shù)持續(xù)性的概念（含左持續(xù)與右持續(xù)），會鑒別函數(shù)間斷點的類型．10．理解持續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的持續(xù)性，理解閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．第二章一元函數(shù)微分學1．理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述某些物理量，理解函數(shù)的可導性與持續(xù)性之間的關系．2．掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式．理解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分．3．理解高階導數(shù)的概念，會求簡樸函數(shù)的高階導數(shù)．4．會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)．5．理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，理解并會用柯西（Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必達法則求未定式極限的措施．7．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的措施，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用．8．會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設函數(shù)具有二階導數(shù)．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形．9．理解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．第三章一元函數(shù)積分學1．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念．2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．3．會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡樸無理函數(shù)的積分．4．理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式．5．理解反常積分的概念，會計算反常積分．6．掌握用定積分體現(xiàn)和計算某些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數(shù)的平均值．第四章向量代數(shù)和空間解析幾何1．理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表達．2．掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），理解兩個向量垂直、平行的條件．3．理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標體現(xiàn)式，掌握用坐標體現(xiàn)式進行向量運算的措施．4．掌握平面方程和直線方程及其求法．5．會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會運用平面、直線的互相關系（平行、垂直、相交等））處理有關問題．6．會求點到直線以及點到平面的距離．7．理解曲面方程和空間曲線方程的概念．8．理解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡樸的柱面和旋轉曲面的方程．9．理解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．理解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程．第五章多元函數(shù)微分學1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義．2．理解二元函數(shù)的極限與持續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上持續(xù)函數(shù)的性質．3．理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，理解全微分存在的必要條件和充足條件，理解全微分形式的不變性．4．理解方向導數(shù)與梯度的概念，并掌握其計算措施．5．掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法．6．理解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)．7．理解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程．8．理解二元函數(shù)的二階泰勒公式．9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，理解二元函數(shù)極值存在的充足條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡樸多元函數(shù)的最大值和最小值，并會處理某些簡樸的應用問題．

第六章多元函數(shù)積分學1．理解二重積分、三重積分的概念，理解重積分的性質，，理解二重積分的中值定理．2．掌握二重積分的計算措施（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）．3．理解兩類曲線積分的概念，理解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系．4．掌握計算兩類曲線積分的措施．5．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與途徑無關的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)．6．理解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的措施，掌握用高斯公式計算曲面積分的措施，并會用斯托克斯公式計算曲線積分．7．理解散度與旋度的概念，并會計算．8．會用重積分、曲線積分及曲面積分求某些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等）．第七章無窮級數(shù)1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件．2．掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件．3．掌握正項級數(shù)收斂性的比較鑒別法和比值鑒別法，會用根值鑒別法．4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨鑒別法．5．理解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系．6．理解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念．7．理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法．8．理解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質（和函數(shù)的持續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求某些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和．9．理解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充足必要條件．10．掌握及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將某些簡樸函數(shù)間接展開為冪級數(shù)．11．理解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的體現(xiàn)式．第八章常微分方程1．理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡樸的變量代換解某些微分方程．4．會用降階法解下列形式的微分方程：和．5．理解線性微分方程解的性質及解的構造．6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程．7．會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．8．會解歐拉方程．9．會用微分方程處理某些簡樸的應用問題．（二）數(shù)三大綱第一章函數(shù)的極限與持續(xù)1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表達法，會建立應用問題的函數(shù)關系．2．理解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性．3．理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，理解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．4．掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，理解初等函數(shù)的概念．5．理解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念．6．理解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握運用兩個重要極限求極限的措施．7．理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較措施．理解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系．8．理解函數(shù)持續(xù)性的概念（含左持續(xù)與右持續(xù)），會鑒別函數(shù)間斷點的類型．9．理解持續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的持續(xù)性，理解閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質．第二章一元函數(shù)微分學1．理解導數(shù)的概念及可導性與持續(xù)性之間的關系，理解導數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程．2．掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求反函數(shù)與隱函數(shù)的導數(shù)．3．理解高階導數(shù)的概念，會求簡樸函數(shù)的高階導數(shù)．4．理解微分的概念、導數(shù)與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分．5．理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，理解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握這四個定理的簡樸應用．6．會用洛必達法則求極限．7．掌握函數(shù)單調性的鑒別措施，理解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應用．8．會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設函數(shù)具有二階導數(shù)．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線．9．會描述簡樸函數(shù)的圖形．第三章一元函數(shù)積分學1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法．2．理解定積分的概念和基本性質，理解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法．3．會運用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數(shù)的平均值，會運用定積分求解簡樸的經(jīng)濟應用問題．4．理解反常積分的概念，會計算反常積分．第四章多元函數(shù)微積分學1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義．2．理解二元函數(shù)的極限與持續(xù)的概念，理解有界閉區(qū)域上二元持續(xù)函數(shù)的性質．3．理解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念,會求多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)，會求全微分,會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)．4．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，理解二元函數(shù)極值存在的充足條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡樸多元函數(shù)的最大值和最小值，并會處理簡樸的應用問題．5．理解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算措施（直角坐標、極坐標），理解無界區(qū)域上較簡樸的反常二重積分并會計算．第五章無窮級數(shù)1．理解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念．2．理解級數(shù)的基本性質及級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)收斂性的比較鑒別法和比值鑒別法．3．理解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，理解交錯級數(shù)的萊布尼茨鑒別法．4．會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域．5．理解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質（和函數(shù)的持續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求簡樸冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)．6．理解，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式．第六章常微分方程與差分方程1．理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．2．掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解措施．3．會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程．4．理解線性微分方程解的性質及解的構造定理，會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．5．理解差分與差分方程及其通解與特解等概念．6．理解一階常系數(shù)線性差分方程的求解措施．7．會用微分方程求解簡樸的經(jīng)濟應用問題．（三）、高等數(shù)學數(shù)二考試大綱第一章函數(shù)、極限、持續(xù)1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表達法，并會建立應用問題的函數(shù)關系．2．理解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性．3．理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，理解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．4．掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，理解初等函數(shù)的概念．5．理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關系．6．掌握極限的性質及四則運算法則．7．掌握極限存在的兩個準則，并會運用它們求極限，掌握運用兩個重要極限求極限的措施．8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較措施，會用等價無窮小量求極限．9．理解函數(shù)持續(xù)性的概念（含左持續(xù)與右持續(xù)），會鑒別函數(shù)間斷點的類型．10．理解持續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的持續(xù)性，理解閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．第二章一元函數(shù)微分學1．理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述某些物理量，理解函數(shù)的可導性與持續(xù)性之間的關系．2．掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式．理解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分．3．理解高階導數(shù)的概念，會求簡樸函數(shù)的高階導數(shù)．4．會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)．5．理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，理解并會用柯西(Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必達法則求未定式極限的措施．7．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的措施，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用．8．會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設函數(shù)具有二階導數(shù)．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形．9．理解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．第三章一元函數(shù)積分學1．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念．2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．3．會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡樸無理函數(shù)的積分．4．理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)