第04講簡(jiǎn)單的三角恒等變換（原卷版）

第04講簡(jiǎn)單的三角恒等變換1．二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(2)公式變形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2．輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).（其中）＝eq\r(a2＋b2)cos(x—φ).（其中）一．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1．（1）計(jì)算的值為（）A． B． C． D．（2）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，且，則（

）A．2 B． C．3 D．（3）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．（4）若，則（

）A． B．C． D．（5）若，則（

）A．或 B． C．或 D．（6）若，且，則（

）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點(diǎn)．二．三角函數(shù)的求值命題點(diǎn)1給角求值例2．（1）的值是（）A． B． C． D．（2）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．（3）（多選）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．（4）（多選）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．（5）若，則___________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決給角求值問(wèn)題的方法(1)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式求值問(wèn)題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角函數(shù)公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形．(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要逆用或變用公式．(3)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．(4)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過(guò)程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．命題點(diǎn)2給值求值例3．（1）已知，，則（

）A． B． C． D．（2）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．（3）已知，且，，則（）A． B． C． D．（4）已知，，則（

）A． B． C． D．（5）已知，，那么的值為（）A． B． C． D．（6）已知，且，則________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決給值求值問(wèn)題的方法給值求值問(wèn)題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀察方向：(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn)，使關(guān)系明朗化；(2)尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見(jiàn)角的變換和角之間的二倍關(guān)系．(3)注意幾種公式的靈活應(yīng)用，如：①sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；②cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).命題點(diǎn)3給值求角例4．（1）已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案．（2）若，則角的值為（

）A． B． C． D．（3）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．（4）已知，，，，則（

）A．或B．C．D．（5）已知，則_____.（6）若，且，則的值為___________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：三角函數(shù)求值有三類(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．三．輔助角公式例5．（1）將下列各式化成的形式，其中，，.=1\*GB3①________________；=2\*GB3②________________；=3\*GB3③________________；=4\*GB3④________________；=5\*GB3⑤________________；=6\*GB3⑥________________；=7\*GB3⑦_(dá)_______________；=8\*GB3⑧________________；=9\*GB3⑨________________．（2）把化為的形式為______________．（3）若可化為，則___________.（4）已知函數(shù)的最小正周期為，則___．（5）已知函數(shù)，，則的最小值是________（6）若函數(shù)取最小值時(shí)，則___________.四．三角恒等變換的綜合應(yīng)用例6．（1）__________．（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知，則的取值范圍是_______.（3）已知，．=1\*GB3①求的值；=2\*GB3②若，且，求的值．（4）已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.=1\*GB3①求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；=2\*GB3②若α∈(0，π)，且f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值．（5）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).=1\*GB3①求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,2)))上的最值；=2\*GB3②若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))的值．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過(guò)恰當(dāng)?shù)娜亲儞Q，轉(zhuǎn)化為一種簡(jiǎn)單的三角函數(shù)，再研究轉(zhuǎn)化后函數(shù)的性質(zhì)．在這個(gè)過(guò)程中通常利用輔助角公式，將y＝asinx＋bcosx轉(zhuǎn)化為y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問(wèn)題．1．（

）．A． B． C． D．2．等于（

）A． B． C． D．3．設(shè)，，化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．4．已，且則等于（

）A． B． C． D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．化簡(jiǎn)（

）A． B． C．2 D．7．若，則（）A． B． C． D．8．若，則的值為（

）A． B． C． D．9．計(jì)算：（

）A． B． C． D．10．若，則（

）A． B． C． D．11．若，則（

）A． B． C． D．12．已知，且，則（

）A． B． C． D．13．已知，則（

）A． B． C． D．14．已知，函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．15．若，則=（

）A． B． C． D．16．已知，則（

）A． B． C． D．17．若則的值是（

）A． B． C． D．18．若且，則（

）A． B． C． D．719．若，，且，，則（

）A． B． C． D．20．已知，均為銳角，滿足，，則（

）A． B． C． D．21．已知為銳角，，，則的值為（

）A． B． C． D．22．若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．23．已知，則等于（

）A． B． C． D．24．設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．25．下列點(diǎn)中為函數(shù)的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．26．（多選）下列各式中值為1的是（

）A． B．C． D．27．（多選）已知，，且，則（

）A． B．C． D．28．（多選）已知，其中為銳角，則（

）A． B．C． D．29．___________.30．若，則___________.31．已知，，若，則______．32．，，則______．33．若實(shí)數(shù)，滿足方程組，則的一個(gè)值是_______.34．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓分別交于A，B兩點(diǎn)，x軸正半軸與單位圓交于點(diǎn)M，已知S△OAM＝，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是.則cos(α－β)＝________，2α－β＝________.35．設(shè)，函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為___________.36．若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則______．37．函數(shù)的最大值為______．38．把化成（其中的形式：____．39．函數(shù)的最大值是______.40．函數(shù)的值域是______．41．已知方程在上有解，則的取值范圍是_____________.42．對(duì)任意實(shí)