吉林省白山市高三第三次聯(lián)考（4月份）文科數(shù)學(xué)試卷

2021年吉林省白山市高考數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試卷（文科）（4月份）一、選擇題（每小題5分）.1．復(fù)數(shù)＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．已知集合P＝{x|x2﹣5x≤0}，Q＝{x|≥2}，則P∩Q＝（）A．{x|x≥0} B．{x|≤x≤5} C．{x|0≤x≤4} D．{x|4≤x≤5}3．某班60名同學(xué)中選出4人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60名同學(xué)按01，02，…，60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第4個(gè)同學(xué)的編號(hào)為（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的數(shù)據(jù)為隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）A．24 B．36 C．46 D．474．已知平面向量＝（m，2），＝（1，m），（+）?＝||2，則m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2m＝的近似值，黃金分割比還可以表示為2cos72°，則sin54°＝（）A． B． C． D．6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方，得二塹堵．邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．”“塹堵”其實(shí)就是底面為直角三角形的直棱柱．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)面積為（）A．8+8 B．8+6 C．6+8 D．167．將函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．函數(shù)g（x）的最小正周期為4π B．函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ﹣，4kπ+]（k∈Z） C．直線x＝是函數(shù)g（x）圖象的一條對(duì)稱軸 D．函數(shù)g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)（，0）8．函數(shù)f（x）＝e|x|ln的部分圖象可能是（）A． B． C． D．9．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M（，y0）在拋物線C上，|MF|＝，則△MAF的面積為（）A． B． C． D．10．光線通過(guò)一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%，那么若光線強(qiáng)度要減弱到原來(lái)的以下，要通過(guò)這樣的玻璃的塊數(shù)至少為（）（lg3≈0.477，lg2≈0.3）A．14 B．15 C．16 D．1811．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC和CA上（異于端點(diǎn)），且D為AB的中點(diǎn)．若∠EDF＝120°，則四邊形CFDE的面積為（）A． B． C． D．無(wú)法確定12．已知圓（x﹣2）2+y2＝9與x軸的交點(diǎn)分別為雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為C右支上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．（1，] B．（0，] C．[2，+∞） D．（1，2]二、填空題（每小題5分）.13．若變量x，y滿足約束條件，則z＝x+2y的最大值為．14．已知函數(shù)f（x）＝x4+ax的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（2，1），則a＝．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PC與平面ABCD所成角的正切值為，則該四棱錐外接球的表面積為．16．已知函數(shù)f（x）＝，則關(guān)于x的不等式f（x+3）+f（x）+15＞0的解集為．三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每道試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．打乒乓球是一項(xiàng)眾多中學(xué)生喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng)，某中學(xué)體育協(xié)會(huì)為了解這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了100名男生和100名女生，每位學(xué)生回答喜歡或不喜歡，得到下面的列聯(lián)表：男生女生喜歡打乒乓球5535不喜歡打乒乓球4565（1）分別估計(jì)該中學(xué)男、女生喜歡打乒乓球的概率；（2）能否有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜歡打乒乓球與性別有關(guān)？附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，△PAB為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面ADE⊥平面PBC；（2）平面ADE分此棱錐為兩部分，若AB＝2AD，求大的部分體積與小的部分體積之比．19．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且an+1an＝2n+1an﹣2nan+1．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的焦距為8，且點(diǎn)M（，﹣）在C上．（1）求C的方程；（2）若直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分，求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．21．已知函數(shù)f（x）＝xlnx+ex．（1）討論函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（e+1）x的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）≥+x﹣1恒成立．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+）＝．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)P（2，0），若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求||PA|﹣|PB||的值．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|﹣a|x+1|．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）＜x的解集；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）＞m+1恰有2個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．復(fù)數(shù)＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i解：復(fù)數(shù)＝＝＝＝＝﹣1﹣i．故選：C．2．已知集合P＝{x|x2﹣5x≤0}，Q＝{x|≥2}，則P∩Q＝（）A．{x|x≥0} B．{x|≤x≤5} C．{x|0≤x≤4} D．{x|4≤x≤5}解：∵P＝{x|0≤x≤5}，Q＝{x|x≥4}，∴P∩Q＝{x|4≤x≤5}．故選：D．3．某班60名同學(xué)中選出4人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60名同學(xué)按01，02，…，60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第4個(gè)同學(xué)的編號(hào)為（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的數(shù)據(jù)為隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）A．24 B．36 C．46 D．47解：由題知從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始，由表可知依次選取43，36，47，46，24．故選：C．4．已知平面向量＝（m，2），＝（1，m），（+）?＝||2，則m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2解：因?yàn)橄蛄浚剑╩，2），＝（1，m），所以+＝（m+1，2+m），因?yàn)椋?）?＝||2，所以m（m+1）+2（2+m）＝1+m2，整理得3m＝﹣3，解得m＝﹣1．故選：A．m＝的近似值，黃金分割比還可以表示為2cos72°，則sin54°＝（）A． B． C． D．解：由題意可得m＝2cos72°，可得cos72°＝，可得2cos236°﹣1＝，解得cos36°＝，所以sin54°＝cos36°＝．故選：B．6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方，得二塹堵．邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．”“塹堵”其實(shí)就是底面為直角三角形的直棱柱．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)面積為（）A．8+8 B．8+6 C．6+8 D．16解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱柱體；如圖所示：故．故選：A．7．將函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．函數(shù)g（x）的最小正周期為4π B．函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ﹣，4kπ+]（k∈Z） C．直線x＝是函數(shù)g（x）圖象的一條對(duì)稱軸 D．函數(shù)g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)（，0）解：函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin（x+），再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得g（x）＝sin（x+），對(duì)于A，函數(shù)g（x）的最小正周期為T＝＝4π，故正確；對(duì)于B，令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，可得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ﹣，4kπ+]（k∈Z），故正確；對(duì)于C，令x+＝2kπ+，k∈Z，解得x＝4kπ+，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，可得g（x）的一條對(duì)稱軸為x＝，故正確；對(duì)于D，g（）＝sin（×+）＝sin＝1≠0，故錯(cuò)誤．故選：D．8．函數(shù)f（x）＝e|x|ln的部分圖象可能是（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意，f（x）＝e|x|ln，其定義域?yàn)镽，有f（﹣x）＝e|﹣x|ln＝﹣e|x|ln＝﹣f（x），f（x）為奇函數(shù)，排除AB，在區(qū)間（0，）上，0＜＜1，則有l(wèi)n＜0，f（x）＝e|x|ln＜0，排除D，故選：C．9．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M（，y0）在拋物線C上，|MF|＝，則△MAF的面積為（）A． B． C． D．解：由拋物線的定義及其性質(zhì)可知，|MF|＝y(tǒng)0+＝，∴y0＝，∴，∴p＝，即x2＝3y，∴A（0，﹣），M（，1），F(xiàn)（0，），∴＝，故選：B．10．光線通過(guò)一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%，那么若光線強(qiáng)度要減弱到原來(lái)的以下，要通過(guò)這樣的玻璃的塊數(shù)至少為（）（lg3≈0.477，lg2≈0.3）A．14 B．15 C．16 D．18解：設(shè)要通過(guò)這樣的玻璃的塊數(shù)至少為x，則，∴x，∴x＞＝＝＝≈15.2，又∵x∈N*，∴x＝16，即要通過(guò)這樣的玻璃的塊數(shù)至少為16塊．故選：C．11．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC和CA上（異于端點(diǎn)），且D為AB的中點(diǎn)．若∠EDF＝120°，則四邊形CFDE的面積為（）A． B． C． D．無(wú)法確定解：設(shè)∠BDE＝θ，（0＜θ＜60°），在△BDE中，由正弦定理可得DE＝＝，則S△BDE＝DE?DB?sinθ＝，在△ADF中，∠FDA＝60°﹣θ，由正弦定理可得DF＝＝，S△ADF＝DF?AD?sin（60°﹣θ）＝，所以S△ADF+S△BDE＝+＝＝，又四邊形CFDE的面積為S△ABC﹣（S△ADF+S△BDE），所以四邊形CFDE的面積為4﹣＝3．故選：C．12．已知圓（x﹣2）2+y2＝9與x軸的交點(diǎn)分別為雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為C右支上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．（1，] B．（0，] C．[2，+∞） D．（1，2]解：令（x﹣2）2+y2＝9中的y＝0，解得x＝﹣1或5，則雙曲線的a＝1，c＝5，設(shè)|PF2|＝t，t≥c﹣a＝4，由雙曲線的定義可得|PF1|＝2a+t＝2+t，所以＝＝1+＝1+，由t≥4，t+遞增，可得t+≥5，則0＜≤，所以1＜1+≤，故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．若變量x，y滿足約束條件，則z＝x+2y的最大值為6．解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，A（2，2），由z＝x+2y，得y＝，由圖可知，當(dāng)直線y＝過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為6．故答案為：6．14．已知函數(shù)f（x）＝x4+ax的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（2，1），則a＝﹣2．解：函數(shù)f（x）＝x4+ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝4x3+a，可得圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為4+a，又切點(diǎn)為（1，1+a），可得4+a＝，解得a＝﹣2，故答案為：﹣2．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PC與平面ABCD所成角的正切值為，則該四棱錐外接球的表面積為12π．解：如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以PC與平面ABCD所成角為∠PCA，因?yàn)?，PC與平面ABCD所成角的正切值為，即tan∠PCA＝＝，所以PA＝ACtan∠PAC＝2×＝2，又2R＝PC＝＝，∴R＝所以四棱錐P﹣ABCD的外接球表面積為S球面＝4πR2＝4π（）2＝12π．故答案為：12π．16．已知函數(shù)f（x）＝，則關(guān)于x的不等式f（x+3）+f（x）+15＞0的解集為（﹣4，+∞）．解：當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx≥2﹣2cosx＝2（1﹣cosx）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝e﹣x，即x＝0時(shí)取等號(hào)，則f（x）在x≥0時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝1﹣x2單調(diào)遞增，又∵f（0）＝1，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，設(shè)g（x）＝f（x+3）+f（x）+15，則g（x）在R上單調(diào)遞增，又∵g（﹣4）＝f（﹣1）+f（﹣4）+15＝0，∴g（x）＞g（﹣4）的解集為（﹣4，+∞），故答案為：（﹣4，+∞）．三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每道試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．打乒乓球是一項(xiàng)眾多中學(xué)生喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng)，某中學(xué)體育協(xié)會(huì)為了解這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了100名男生和100名女生，每位學(xué)生回答喜歡或不喜歡，得到下面的列聯(lián)表：男生女生喜歡打乒乓球5535不喜歡打乒乓球4565（1）分別估計(jì)該中學(xué)男、女生喜歡打乒乓球的概率；（2）能否有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜歡打乒乓球與性別有關(guān)？附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k解：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，該中學(xué)男喜歡打乒乓球的頻率為：＝0.55；該中學(xué)男喜歡打乒乓球的頻率為：＝0.35；故該中學(xué)男、女生喜歡打乒乓球的概率分別為：0.55，0.35；（2）因?yàn)镵2＝＝＝＞7.879．所以有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜歡打乒乓球與性別有關(guān)．故答案為：有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜歡打乒乓球與性別有關(guān)．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，△PAB為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面ADE⊥平面PBC；（2）平面ADE分此棱錐為兩部分，若AB＝2AD，求大的部分體積與小的部分體積之比．【解答】（1）證明：∵△PAB為等邊三角形，E為PB的中點(diǎn)，∴AE⊥PB，∵平面ABCD⊥平面PAB，且平面ABCD∩平面PAB＝AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，則AD⊥PB，又AD∩AE＝A，∴PB⊥平面ADE，∵PB?平面PBC，∴平面ADE⊥平面PBC；（2）解：設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接DF，EF，∴EF∥DA，EF＝DA，令A(yù)D＝1，則AB＝2，AE＝，∴，＝，∴大的部分體積與小的部分體積之比為．19．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且an+1an＝2n+1an﹣2nan+1．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】（1）證明：∵an+1an＝2n+1an﹣2nan+1，兩邊同除以an+1an，得﹣＝1，＝＝2，∴數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．∴＝2+n﹣1＝n+1，解得：an＝．（2）解：bn＝＝＝﹣，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣+﹣+……+﹣＝﹣1．20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的焦距為8，且點(diǎn)M（，﹣）在C上．（1）求C的方程；（2）若直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分，求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．解：（1）由焦距為8，可知c＝4，將點(diǎn)M（，﹣）代入橢圓C，可得，解之得a2＝20，b2＝4，所以C的方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)為（x0，y0），則，相減化簡(jiǎn)可得，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，則△＝20（64﹣m2）＞0，即m2＜64．，點(diǎn)O到直線AB的距離為，，當(dāng)且僅當(dāng)m2＝32時(shí)取等號(hào)．即△AOB面積的最大值為2．21．已知函數(shù)f（x）＝xlnx+ex．（1）討論函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（e+1）x的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）≥+x﹣1恒成立．解：（1）g（x）＝xlnx+ex﹣（e+1）x，g′（x）＝lnx+1+ex﹣e﹣1＝lnx+ex﹣e，則g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（1）＝0，令g′（x）＞0得x＞1，令g′（x）＜0得0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．（2）證明：由（1）知g（x）min＝g（1）＝﹣