專題提升課二　空間直角坐標(biāo)系的建系問題

9專題提升課二空間直角坐標(biāo)系的建系問題運(yùn)用“坐標(biāo)法”解答空間幾何問題時(shí),往往需要建立空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,充分利用垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,是解決問題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱建系【典例1】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點(diǎn)E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點(diǎn),EF與B1D相交于點(diǎn)H.(1)求證:B1D⊥平面ABD;(2)求證:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.【解析】(1)如圖所示,以B1為原點(diǎn),分別以B1A1,B1C1,B1B所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),Ga2所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2),所以·=0+0+0=0,·=0+4-4=0,所以⊥,⊥,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.(2)由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),=-a2,0,0,=(0,1,-1),所以=2,=2,所以∥,∥.所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.(3)由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量.因?yàn)槠矫鍱GF∥平面ABD,所以點(diǎn)E到平面ABD的距離就是兩平面間的距離,設(shè)為d.因?yàn)?(0,0,3),=(0,2,2),所以d==622+2即兩平面間的距離為321.在長方體、正方體中,一般選擇共頂點(diǎn)的三條相互垂直的棱為坐標(biāo)軸建系;2.直棱柱的側(cè)棱垂直于底面,如果在底面上有相互垂直的鄰邊,也可構(gòu)造此類建系模型.(2022·撫州高二檢測)如圖,在棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1C的中點(diǎn).(1)證明:平面EA1C⊥平面DA1C;(2)求平面DEF與平面DBF所成二面角的大小.【解析】(1)據(jù)題意,建立如圖所示的坐標(biāo)系.于是D(0,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,0),F(1,1,1),所以=(-1,0,1),=(2,0,2),=(0,2,0),·=-1×2+0×0+1×2=0,所以⊥,即EF⊥DA1;·=-1×0+0×2+1×0=0,所以⊥,即EF⊥DC.又因?yàn)镈A1,DC?平面DCA1,且DA1∩DC=D,所以EF⊥平面A1CD.又因?yàn)镋F?平面EA1C,所以平面EA1C⊥平面DA1C.(2)由題知D(0,0,0),F(1,1,1),E(2,1,0),B(2,2,0),所以=(1,1,1),=(-1,0,1),=(2,2,0),設(shè)平面DEF的法向量為n1=(x1,y1,z1),則,不妨取n1=(1,-2,1),設(shè)平面DBF的法向量為n2=(x2,y2,z2),則,不妨取n2=(1,-1,0),則cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|二、利用正棱錐的中心與高所在直線建系【典例2】(2022·泰州高二檢測)如圖,在正四棱錐P-ABCD中,AC,BD交于點(diǎn)O,AB=2,OP=1.(1)求二面角C-AP-B的大小;(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)Q,使得PQ與平面APB所成角的正弦值為26?若存在,指出點(diǎn)Q的位置;若不存在,說明理由【解析】(1)由題意得PO⊥平面ABCD,且AC⊥BD,以O(shè)為原點(diǎn),分別以,,為x,y,z軸正方向建系,如圖所示,所以A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,1),所以=(-2,0,1),=(-2,2,0),=(0,-22,0),設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則,即-2x令x=1,可得y=1,z=2,所以n=(1,1,2),因?yàn)镻O⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PO⊥BD,又因?yàn)锳C⊥BD,AC∩PO=O,AC,PO?平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以為平面PAC的一個(gè)法向量,所以cos<n,>==-12,又<n,>∈[0,π],由圖可得二面角C-AP-B為銳二面角,所以二面角C-AP-B的大小為π3(2)假設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)Q滿足題意,設(shè)Q(m,n,0),因?yàn)?λ(λ∈[0,1]),所以(m-2,n,0)=λ(-2,-2,0),解得m=2-2λ,n=-2λ,所以Q(2-2λ,-2λ,0),則=(2-2λ,-2λ,-1),因?yàn)槠矫鍼AB的一個(gè)法向量為n=(1,1,2),設(shè)PQ與平面APB所成角為θ,所以sinθ=|cos<,n>|==|2-2λ-2λ-2(2-2λ)2+(-2λ)2+1·1+1+2|=26,解得λ=14或正棱錐底面中心與頂點(diǎn)的連線與底面垂直,建系時(shí)常作z軸.(2022·臺州高二檢測)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面是以O(shè)為中心的菱形,AB=4,∠BAD=60°,PO⊥底面ABCD,M為BC上一點(diǎn),且BM=1,MP⊥AP.(1)求PO的長;(2)求二面角A-PM-B的余弦值.【解析】(1)如圖,連接AC,BD,AC∩BD=O,連接PO,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD,又PO⊥底面ABCD,所以以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)椤螧AD=π3所以O(shè)A=AB·cosπ6=23OB=AB·sinπ6所以O(shè)(0,0,0),A(23,0,0),B(0,2,0),C(-23,0,0),=(0,2,0),=(-23,-2,0),由BM=1,BC=4,得=14=(-32,-12,0),所以=+=(-32,32,0),即M(-32,32設(shè)P(0,0,a),a>0,則=(-23,0,a),=(32,-32,a),因?yàn)镸P⊥AP,所以·=0,即-3+a2=0,解得a=3,a=-3(舍去),所以PO=3.(2)由(1)知=(-23,0,3),=(32,-32,3),=(0,-2,3),設(shè)平面APM的法向量為n=(x,y,z),則,取x=1,得n=(1,53設(shè)平面PMB的法向量為m=(a,b,c),則,取a=1,得m=(1,-3,-2),設(shè)二面角A-PM-B的平面角為θ,由圖得θ為銳角,則cosθ=|n·m||n||m|=88×三、利用線面、面面的垂直關(guān)系建系【典例3】如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=2.若點(diǎn)Q在棱BC上,且PC與平面PAQ所成角的正弦值為34,求二面角Q-AP-B的平面角的余弦值【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,3),A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),則=(0,1,-3),=(-1,1,0),=(0,-1,-3),=(1,1,0),令=λ=(-λ,λ,0),λ∈[0,1],則=+=(1-λ,1+λ,0),設(shè)平面PAQ的法向量為n=(x,y,z),則取n=(λ+1λ-1,1,-33),設(shè)直線PC與平面PAQ所成的角為θ,則sinθ=|cos<,n>|==2解得λ=13或λ故n=(λ+1λ-1,1,-設(shè)平面PAB的法向量為m=(x0,y0,z0),所以,取m=(3,-3,1),記二面角Q-AP-B的平面角為α,所以cosα=|m·n1.已知條件中的線面、面面垂直關(guān)系是建系的依據(jù);2.如果題目中沒有明顯的垂直關(guān)系,可先根據(jù)已知條件,設(shè)法證明線面、面面垂直,進(jìn)而為建系做準(zhǔn)備.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn).(1)求證:平面BAE⊥平面A1BD;(2)求平面DBA1和平面BAA1夾角的余弦值;(3)在線段B1B(含端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M到平面A1BD的距離為255【解析】取A1C1的中點(diǎn)O,連接B1O,OD,則OB1⊥A1C1,OD∥AA1,又AA1⊥平面ABC,所以O(shè)D⊥平面ABC,所以O(shè)A1,OD,OB1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OA1,OD,OB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,2,0),B(0,2,3),D(0,2,0),A1(1,0,0),E(-1,1,0).(1)=(-1,2,0),=(-1,2,3),=(1,0,-3),=(-1,-1,-3),=(0,2,0).設(shè)n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分別為平面A1BD和平面BAE的法向量,由·n1=0,·n1=0得-x1令y1=1,則x1=2,z1=0.所以n1=(2,1,0)是平面A1BD的一個(gè)法向量.由·n2=0,·n2=0得x令z2=1,則x2=3,y2=-23.所以n2=(3,-23,1)是平面BAE的一個(gè)法向量.所以n1·n2=2×3-23+0=0.所以平面BAE⊥平面A1BD.(2)設(shè)平面A1AB的法向量為m=(x,y,z).由·m=0,·m=0得2y=0令z=1,則x=3,y=0,所以m=(3,0,1)是平面A1AB的一個(gè)法向量.設(shè)平面DB