初中數(shù)學總復習三角函數(shù)

初中三角函數(shù)〖考試要求〗通過實例認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道300，450，600角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應的銳角.度數(shù)sinαcosαtanα30°45°160°1．1

正弦和余弦例1

已知0°≤α≤90°．（1）求證：sinα+cosα=1；（2）求證：sinα+cosα≥1，討論在什么情形下等號成立；（3）已知sinα+cosα=1，求sinα+cosα的值．證明（1）如圖6-1，當0°＜α＜90°時，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB，所以在這種情形下當α=0°時，sinα=0，cosα=1；當α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在這兩種情形下仍有sinα+cosα=1．（2）如圖6-1，當0°＜α＜90°時，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在這種情形下當α=0°時，sinα+cosα=0+1=1；當α=90°時，sinα+cosα=1+0=1．所以當0°≤α≤90°時，總有sinα+cosα≥1，當并且只當α=0°或α=90°時，等號成立．（3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以總有sinα+cosα=1．例2

求證：對于0°≤α≤90°，1．2

正切和余切證明（1）當0°＜α＜90°時，如圖6-2，當α=0°時，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα=（2）α必須滿足不等式：0°＜α＜90°．如圖6-2，所以tgα·ctgα=1．例2

已知銳角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一個根，求解：

x2-2x-3=0的兩根為3和-1．這里只能是tgα=3．如圖6-3，由于tgα=3．因此可設BC=3，AC=1，從而證明：如圖6-2，設BC=a，AC=b，AB=c，則所以原式成立．點評

這里α≠0°，90°．怎樣理解銳角三角函數(shù)的概念？答：現(xiàn)行初中幾何課本中給出銳角三角函數(shù)的定義，是依據(jù)這樣一個基本事實：在直角三角形中，當銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值是一個固定的值．關于這點，我們看圖1，圖中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一個相等的銳角A，即銳角A取一個固定值．如圖所示，許許多多直角三角形中相等的那個銳角疊合在一起，并使一條直角邊落在同一條直線上，那么斜邊必然都落在另一條直線上．不難看出，B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，因此，在這些直角三角形中，∠A的對邊與斜邊的比值是一個固定的值．根據(jù)同樣道理，由“相似形”知識可以知道，在這些直角三角形中，∠A的對邊與鄰邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值都分別是某個固定的值．這樣在△ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA；銳角A鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tgA；銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作ctgA，于是我們得到銳角A的四個銳角三角函數(shù)，即深刻理解銳角三角函數(shù)定義，要注意以下幾點：(1)角A的銳角三角函數(shù)值與三角形的大小，即邊的長短無關．只要角A一旦確定，四個比值就隨之而定；角A變化時．四個比值對應變化．這正體現(xiàn)了函數(shù)的特點，銳角三角函數(shù)也是一種函數(shù)，這里角A是自變量，對于每一個確定的角A，上面四個比值都有唯一確定的值與之對應，因此，銳角三角函數(shù)是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．(2)準確理解銳角三角函數(shù)定義，要熟記每個銳角三角函數(shù)是怎樣規(guī)定的，是角的哪條邊與哪條邊的比；在具體應用定義時，要注意分清圖形中，哪條邊是角的對邊，哪條邊是角的鄰邊，哪條邊是斜邊．[例]求出圖2中sinD，tgE的值．

(3)“sinA”等是一個完整的符號．整的符號，不能看成sin與A的乘積．離開角A的“sin”沒有什么意義，其他三個cosA、tgA、ctgA等也是這樣．所以寫時不能把“sin”與“A”分開．計算

解答題3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA是方程5x2-14x+8=0的一個根,求sinA,tgA.4.q為三角形的一個角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有兩個相等的實數(shù)根,求tgq.講解例題計算：（1）sin30°+cos45°；（2）；（3）；（4）填空：（1）已知∠A是銳角，且cosA=，則∠A=°，sinA=；（2）已知∠B是銳角，且2cosA=1，則∠B=°；（3）已知∠A是銳角，且3tanA=0，則∠A=°；一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m，當秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動角相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差。分析：本例是利用特殊角的三角函數(shù)值求解的具體應用。在Rt△ABC中，∠C=90°，，求，∠B、∠A?！伎键c復習〗1．銳角三角函數(shù)[例1]如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，則sin∠B＝（）A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)BCA[例2]如圖,△ABC中∠A=30o,tanB=,AC=BCA2．特殊角的三角函數(shù)值[例3]如圖，沿傾斜角為30的山坡植樹，要求相鄰倆棵樹的水平距離AC為2cm，那么相鄰兩棵樹的斜坡距離AB約為m。（精確到0.1m，可能用到的數(shù)據(jù)，）[例4]計算：-；3．簡單應用[例5]如圖是一口直徑AB為4米，深BC為2米的圓柱形養(yǎng)蛙池，小青蛙們晚上經常坐在池底中心O觀賞月亮，則它們看見月亮的最大視角∠COD=度，（不考慮青蛙的身高）；〖考題訓練〗1．Rt△ABC中，若∠C＝90o，AC＝3，AB＝5，則sinB的值為_______。2．如圖，在⊿ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則tanB的值是（）A、B、C、D、3．如果三角形的每條邊都擴大為原來的5倍，那么三角形的每個角（）A、都擴大為原來的5倍B、都擴大為原來的10倍C、都擴大為原來的25倍D、都與原來相等4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,c=4,則sinA的值是()A、B、C、D、5．在直角三角形ABC中，∠C=90o，已知sinA=,則cosB=_______.6．如圖，自動扶梯AB段的長度為20米，傾斜角A為α，高度BC為米(結果用含α的三角函數(shù)表示).7．如圖，等腰三角形ABC的頂角為1200，腰長為10，則底邊上的高AD=。8．計算：tan60°+|-2|+2-1.9．在△中，，，30o，則∠BAC的度數(shù)是.10．如圖，如果△APB繞點B按逆時針方向旋轉30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的長為____________.(不取近似值.以下數(shù)據(jù)供解題使用：sin15°=，cos15°=)①．如圖，tan等于（）A．EQ\f(1,2)B．2C．EQ\f(\r(5),5)D．EQ\R(5)②．在中，，AB=15，sinA=EQ\f(1,3)，則BC等于（）A、45B、5C、EQ\f(1,5)D、EQ\f(1,45)③．已知Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是（）A、sinB＝EQ\f(2,3)B、cosB＝EQ\f(2,3)C、tgB＝EQ\f(2,3)D、ctgB＝EQ\f(2,3)④．計算：sin30°＝.⑤．計算cos60o＋EQ\f(2,\r(2))－EQ\R(8)－2－1⑥如圖，在△ABC中，∠C=90o，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連結BD，若cos∠BDC=EQ\f(3,5)，則BC的長是（）A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm⑦．如圖，△ABC中，D為AC邊上一點，DE⊥BC于E，若AD=2DC，AB=4DE，則sinB的值為()A、EQ\f(1,2)B、EQ\f(\r(7),3)C、EQ\f(3\r(7),7)D、EQ\f(3,4)20.我市英山縣某茶廠種植“春蕊牌”綠茶,由歷年來市場銷售行情知道,從每年的3月25日起的180天內,綠茶市場銷售單價y(元)與上市時間t(天)的關系可以近似地用如圖1-3-6中的一條折線表示.綠茶的種植除了與氣候、種植技術有關外,其種植的成本單價z(元)與上市時間t(天)的關系可以近似地用如圖1-3-7的拋物線表示.圖1-3-6圖1-3-7(1)直接寫出圖1-3-6中表示的市場銷售單價y(元)與上市時間t(天)(t>0)的函數(shù)關系式;(2)求出圖1-3-7中表示的種植成本單價z(元)與上市時間t(天)(t>0)的函數(shù)關系式;(3)認定市場銷售單價減去種植成本單價為純收益單價,問何時上市的綠茶純收益單價最大?(說明:市場銷售單價和種植成本單價的單位:元/500克)解:(1)依題意,可建立的函數(shù)關系式為y=(2)由題目已知條件可設z=a(t-110)2+20.∵圖象過點(60,),∴=a(60-110)2+20.∴a=.∴z=(t-110)2+20(t>0).