圓錐曲線專題復(fù)習(xí)第十九講：阿基米德三角形（原卷版）

第十九講：阿基米德三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，切線問題形成的阿基米德三角形的形成過程；應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的切線方程，對應(yīng)的阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)及其證明；拓展目標(biāo)：能夠熟練阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)，解決實際應(yīng)用問題等問題.素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識】如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．3、若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．6、點的坐標(biāo)為；7、底邊所在的直線方程為8、的面積為．9、若點的坐標(biāo)為，則底邊的直線方程為．10、如圖，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則.11、若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則．12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．【考點剖析】考點一：定點問題例1、已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．變式訓(xùn)練1：在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，，為的中點．（1）證明：軸；（2）直線是否恒過定點？若是，求出這個定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．變式訓(xùn)練2：在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，，為的中點．（1）證明：軸；（2）直線是否恒過一定點？若是，求出這個定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．變式訓(xùn)練3：已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．（1）證明：直線過定點．（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程．考點二：交點的軌跡例1．已知拋物線的頂點為原點，其焦點，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；（Ⅲ）過（Ⅱ）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．變式訓(xùn)練1：已知動點在軸上方，且到定點的距離比到軸的距離大1，（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，且，交于點，求證：在定直線上．變式訓(xùn)練2：已知拋物線．的焦點為，直線與軸相交于點，與曲線相交于點，且．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，過，分別作拋物線的切線，兩切線交于點，求證點的縱坐標(biāo)為定值．變式訓(xùn)練3：已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點．（Ⅰ）若以，為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過，分別作拋物線的切線，，證明：，的交點在定直線上．考點三：阿基米德三角形綜合應(yīng)用例題1、已知曲線，D為直線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A、B.（1）證明：直線AB過定點；（2）若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形的面積.變式訓(xùn)練1：已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點的縱坐標(biāo)為8，且。（1）求拋物線的方程；（2）若點是拋物線準(zhǔn)線上的任意一點，過點作直線與拋物線相切于點，證明：．變式訓(xùn)練2：已知拋物線的焦點為F，點P是直線上的動點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別為A和B.（1）當(dāng)點P為直線l與y軸交點時，求；（2）證明：直線AB過定點，并求出定點的坐標(biāo).變式訓(xùn)練3：已知拋物線的焦點為F，且F與圓上的點的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點P在M上，PA、PB是拋物線C的兩條切線，A、B是切點，求面積的最大值.【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線基本性質(zhì)；（2）圓錐曲線的相關(guān)切線方程的求解；（3）阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用；2、易錯點：阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)；3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.【過關(guān)檢測】1、拋物線的焦點為，拋物線過點．（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）過點作直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點在拋物線的準(zhǔn)線上．2、已知拋物線的方程為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，．（1）若點坐標(biāo)為，求切線，的方程；（2）若點是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點，求證：切線和互相垂直．3、拋物線的焦點到直線的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，，，兩點，分別過，兩點作拋物線的兩條切線，兩切線的交點為，求證：．4、已知拋物線的方程為，點是拋物線上的一點，且到拋物線焦點的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，求面積的最小值．5、已知點，動點到點的距離比動點到直線的距離大1，動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）為直線上的動點，過做曲線的切線，切點分別為、，求的面積的最小值6、已知拋物線的焦點，且與圓上的點的最短距離為.（1）求；（2）若點在上，為的切線，切點為，求面積的最大值.7、已知拋物線C的頂點為原點，其焦點到直線的距離為.設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點.（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點為直線l上的定點時，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點P