基于有限體積法的潰壩洪水?dāng)?shù)學(xué)模型

基于有限體積法的潰壩洪水?dāng)?shù)學(xué)模型

水庫(kù)洪水具有突發(fā)性和易變性的特點(diǎn)。該壩對(duì)下游工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通和人民生命財(cái)產(chǎn)有重大影響。因此，對(duì)水庫(kù)洪水的研究具有重要意義。由于我國(guó)很多水庫(kù)都建在山區(qū),多為狹長(zhǎng)型水庫(kù),洪水傳播具有一維特征,因此最好采用一維非恒定流數(shù)學(xué)模型模擬洪水從大壩上游至壩址的傳播過(guò)程;而下游淹沒(méi)影響區(qū)多處于平原地區(qū),洪水傳播具有較強(qiáng)的平面二維特征,需采用平面二維非恒定流數(shù)學(xué)模型模擬潰壩洪水在下游淹沒(méi)影響區(qū)的演進(jìn)過(guò)程.國(guó)內(nèi)對(duì)一維潰壩數(shù)學(xué)模型的研究成果較多,平面二維潰壩洪水?dāng)?shù)學(xué)模型成果相對(duì)較少,且多為較理想的邊界情況.本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上,采用守恒性較好和能夠捕捉間斷波的有限體積法,建立了一個(gè)包括上游庫(kù)區(qū)洪水演進(jìn)、潰壩過(guò)程和下游淹沒(méi)影響區(qū)洪水演進(jìn)的一二維聯(lián)解潰壩洪水?dāng)?shù)學(xué)模型,其中下游淹沒(méi)影響區(qū)域下邊界設(shè)定為自由出流.模型結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1.1模型介紹1.1過(guò)水?dāng)嗔褞Я髁刻匦砸痪S潰壩洪水可用圣維南方程組描述,其連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程為式中:x為流程,m;Q為流量,m3/s;Z為水位,m;g為重力加速度;t為時(shí)間,s;ql為側(cè)向單位長(zhǎng)度入?yún)R流量,m2/s;A為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e,m2;R為斷面水力半徑;β為動(dòng)能修正系數(shù);n為糙率系數(shù).采用有限體積法求解一維模型,并采用迎風(fēng)格式處理其中的對(duì)流項(xiàng).模型的離散詳見(jiàn)文獻(xiàn).1.2思想上的流速n平面二維水流基本方程包括水流連續(xù)方程和水流運(yùn)動(dòng)方程其中:h為水深;u、v分別為x、y方向的流速;M=uh,N=vh;zb為河床高程;n為Manning糙率系數(shù);γt為紊動(dòng)粘性系數(shù).方程離散時(shí)空間采用有限體積法,運(yùn)用守恒格式對(duì)水流連續(xù)方程進(jìn)行離散,保證計(jì)算域內(nèi)水量守恒,時(shí)間采用蛙跳法,計(jì)算物理量使用交錯(cuò)網(wǎng)格,采用凍結(jié)法處理干河床.模型離散詳見(jiàn)文獻(xiàn).1.3堰流流量計(jì)算用一維非恒定流數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大壩潰決水流模擬計(jì)算時(shí),由于壩址斷面的水流存在間斷,潰口處的流量不能通過(guò)模型本身算出,需引用水力學(xué)中的堰流流量公式.本文中,潰口流量計(jì)算采用寬頂堰溢流的流量計(jì)算公式,并考慮淹沒(méi)對(duì)溢流能力的影響:式中:σs為淹沒(méi)系數(shù),由hs/H0的比值確定,hs是從堰頂起算的下游水深;H0包括行近流速水頭的堰前水頭,即H0=H+v02/(2g)(其中v0為行進(jìn)流速);σc為側(cè)收縮系數(shù);b為每孔凈寬;m為流量系數(shù),它與堰型、堰高等邊界條件有關(guān).σs、σc、m等參數(shù)由水力學(xué)中相應(yīng)表格和公式確定.1.4模型的連接條件初始條件:非恒定流計(jì)算時(shí)須給出初始時(shí)刻(t=0)各大壩上游庫(kù)區(qū)各斷面的水位和流量,下游淹沒(méi)影響區(qū)初始為干河床.邊界條件:上游邊界條件為水庫(kù)入庫(kù)流量過(guò)程,下游淹沒(méi)影響區(qū)邊界設(shè)為自由出流邊界,洪水若傳播到下邊界則自由流出.一二維模型連接條件:在連接處,一維模型將流量傳遞給二維模型,二維模型將水位傳遞給一維模型.2潰壩洪水演進(jìn)模擬受實(shí)際條件的限制,雖然歷史上潰壩實(shí)例不少,但相關(guān)的原型資料并未得到良好的收集和保存,現(xiàn)有潰壩資料非常匱乏,因此潰壩洪水演進(jìn)缺乏實(shí)測(cè)資料的驗(yàn)證.本文分別采用經(jīng)驗(yàn)公式和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)潰口流量和二維潰壩洪水傳播進(jìn)行驗(yàn)證,模型驗(yàn)證計(jì)算情景為大壩瞬間全潰.2.1高次重質(zhì)設(shè)計(jì)結(jié)果為驗(yàn)證寬頂堰流流量計(jì)算公式用于潰口流量計(jì)算的合理性,采用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了驗(yàn)證計(jì)算.大壩全潰情況下壩址斷面洪水最大流量的計(jì)算方法較多,目前常用的方法有:1)圣維南公式:2)肖克利契公式:表1列出了下游無(wú)水情況下的單寬流量、壩址峰值流量的模型計(jì)算結(jié)果與圣維南公式、肖克利契公式計(jì)算值,由表中的結(jié)果可見(jiàn)模型計(jì)算結(jié)果與圣維南公式結(jié)果十分接近,與肖克利契公式結(jié)果稍有偏差,偏差在5%以?xún)?nèi).可見(jiàn),模型計(jì)算的壩址峰值流量與經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果比較接近.說(shuō)明一維數(shù)學(xué)模型模擬潰壩時(shí),潰口斷面處的流量采用一般寬頂堰流量計(jì)算公式是可行的,精度滿(mǎn)足實(shí)用要求.2.2中小型筑堤率防洪堤率內(nèi)的水流試驗(yàn)由于問(wèn)題的復(fù)雜性,二維潰壩水流方面未見(jiàn)到有關(guān)解析解的文獻(xiàn).現(xiàn)利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.該實(shí)驗(yàn)由日本學(xué)者完成,他們?cè)趯?shí)驗(yàn)室內(nèi)制作了一觀測(cè)堤防決口后水流在堤后地面上流動(dòng)的小型裝置,平地邊長(zhǎng)1.84m,為水平,平地的一側(cè)為水箱,中間用堤防隔開(kāi),堤防決口處的口門(mén)寬為0.2m,位于堤防的中間,決口后水流的前端位置通過(guò)攝像機(jī)記錄,同時(shí)在與口門(mén)垂直的中心線(xiàn)上設(shè)置若干臺(tái)水位儀記錄水深.水流前端位置的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示,可見(jiàn)二者基本吻合.3滿(mǎn)足本工程的洪水演進(jìn)某水庫(kù)集水面積5.95km2,正常蓄水位20.42m,興利庫(kù)容1013萬(wàn)m3,死水位9.17m.水庫(kù)大壩為均質(zhì)土壩,壩頂高程23.7m,壩頂長(zhǎng)302m.下游為城區(qū),涉及到許多重要的建筑物、黨政事業(yè)單位、水電、通訊等設(shè)施以及超過(guò)15萬(wàn)人的生命安全.本文采用前文所建模型對(duì)該水庫(kù)潰壩洪水演進(jìn)進(jìn)行了模擬.計(jì)算假定水庫(kù)上游來(lái)流為0,潰壩水位為20.42m,潰決方式為逐漸潰決,潰壩歷時(shí)1h,潰口底寬從20m擴(kuò)大至302m,潰口最終底部高程為9.17m,壩下城區(qū)初始均為干地面.1噬壩后潰口流量模型計(jì)算得到大壩潰口流量過(guò)程線(xiàn)如圖3所示,根據(jù)計(jì)算結(jié)果來(lái)看,潰口流量過(guò)程線(xiàn)呈拋物線(xiàn)形狀,隨著潰口的不斷擴(kuò)大,潰口流量逐漸增加,在潰壩約0.83h時(shí)達(dá)到峰值,最大潰口流量為5874m3/s.由于潰壩后庫(kù)水位不斷下降,潰口流量在達(dá)到峰值之后迅速下降,潰壩2.5h后潰口流量約為200m3/s.2．東南角流量壩址處水位變化過(guò)程如圖4所示,從水位變化過(guò)程來(lái)看,壩址處水位變化與潰口流量變化完全吻合,潰口流量大,則壩址水位下降較快;潰口流量小,則壩址水位下降較慢.由于潰口流量在潰壩0.83h之前不斷增加,因此庫(kù)水位下降的速率也隨之不斷增加,在潰壩約0.83h處庫(kù)水位下降最快.潰壩0.83h后庫(kù)水位下降速率變緩,潰壩2.5h后庫(kù)水位約為10.2m,之后庫(kù)水位基本保持不變.3壩下淤?zèng)]區(qū)槽蓄量過(guò)程為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算是否滿(mǎn)足水量守恒,分別統(tǒng)計(jì)壩址下泄水量與壩下淹沒(méi)區(qū)槽蓄量過(guò)程,見(jiàn)圖5所示,從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看,壩址下泄水量與壩下淹沒(méi)區(qū)槽蓄量過(guò)程基本一致,水量誤差在0.02%以?xún)?nèi),說(shuō)明模型計(jì)算結(jié)果完全滿(mǎn)足水量守恒.4采樣點(diǎn)流速特征為了直觀表現(xiàn)壩下游某位置的水深和流速隨時(shí)間變化的情況,在壩下游淹沒(méi)區(qū)布置了A、B、C、D四個(gè)采樣點(diǎn),采樣點(diǎn)距離壩址下游距離分別為400、800、1300、1700m.計(jì)算得到各采樣點(diǎn)的水深和流速變化過(guò)程線(xiàn)分別如圖6、7所示,由圖可知,潰壩洪水到達(dá)A、B、C、D的時(shí)間分別為0.1、0.33、0.5、0.83h,最大淹沒(méi)水深分別為6.69、2.79、2.47、1.18m,最大流速分別為3.94、4.73、1.25、0.62m/s.可見(jiàn),下游距離大壩越近,洪水到達(dá)時(shí)間越短,淹沒(méi)水深越大,洪水最大流速也較大.5社會(huì)洪水沒(méi)收?qǐng)D8—11為各個(gè)時(shí)刻潰壩洪水淹沒(méi)水深及流態(tài)圖,圖12為各個(gè)時(shí)刻潰壩洪水淹沒(méi)面積統(tǒng)計(jì).從洪水淹沒(méi)圖和淹沒(méi)面積變化統(tǒng)計(jì)來(lái)看,在潰壩0.5~1.5h,洪水淹沒(méi)范圍擴(kuò)大較快,潰壩1.5h后洪水淹沒(méi)面積基本不再擴(kuò)大,其中潰壩1.5h后,潰壩洪水淹沒(méi)面積為675.48萬(wàn)m2.4壩洪水?dāng)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用在前人研究成果的基礎(chǔ)上,采用有限體積法建立了一個(gè)包括上游庫(kù)區(qū)洪水演進(jìn)、潰壩過(guò)程和下游淹沒(méi)影響區(qū)洪水演進(jìn)的一二維聯(lián)解潰壩洪水?dāng)?shù)學(xué)模型.通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式和利