江蘇專版2023-2024學年新教材高中數(shù)學第3章圓錐曲線與方程測評蘇教版選擇性必修第一冊

第3章測評（時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若橢圓經(jīng)過點，且焦點分別為和，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，且，則等于()A.14 B.26 C.14或26 D.16或243.若方程表示橢圓，則的取值范圍是()A. B.C. D.4.阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為,，點為橢圓的上頂點，，則橢圓的短軸長為()A.2 B.4 C. D.5.已知動圓與直線相切，且與定圓外切，則動圓圓心的軌跡方程為()A. B. C. D.6.[2023蘇州期中]在拋物線上有三點，，，為其焦點，且為的重心，則()A.6 B.8 C.9 D.127.已知橢圓的左、右焦點分別為,，焦距為，若直線與橢圓的一個交點滿足，則該橢圓的離心率等于()A. B. C. D.8.[2023鹽城期末]已知,是雙曲線的兩條漸近線，直線經(jīng)過的右焦點，且，交于點，交于點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線過點，且其漸近線的方程為，則下列結論正確的是()A.雙曲線的方程為B.雙曲線的離心率為C.直線與雙曲線只有一個公共點D.直線與雙曲線有兩個公共點10.[2023湛江調研]已知橢圓的上、下焦點分別為,，左、右頂點分別為,，是該橢圓上的動點，則下列結論正確的是()A.該橢圓的長軸長為B.使為直角三角形的點共有6個C.若點的縱坐標為1，則的長度為D.若點是異于，的點，則直線與的斜率之積為11.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為.設與軸的交點為，為拋物線上異于的任意一點，點在上的射影為，的平分線交軸于點，過點作交于點，過點作，交線段的延長線于點，則()A. B. C. D.12.[2023萊蕪質檢]如圖，已知橢圓，過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，連接，并延長，分別交于，兩點，連接，與的面積分別記為，，則下列命題中正確的為()A.若記直線，的斜率分別為，，則的大小是定值B.的面積是定值2C.線段，長度的平方和是定值5D.設，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.[2023張家港質檢]寫一個的值，使曲線是焦點在軸上的雙曲線，你寫的是.14.已知橢圓，，是橢圓的左、右焦點，點，點為橢圓上一動點，則的最大值為，最小值為.15.根據(jù)拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對稱軸平行，一條平行于對稱軸的光線經(jīng)該拋物線反射后會經(jīng)過拋物線的焦點.如圖，從沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線兩次反射后，回到光源接收器，則該光線經(jīng)過的路程為.16.把半橢圓與圓弧合成的曲線稱作“曲圓”，其中為半橢圓的右焦點，是圓弧與軸的交點，過點的直線交“曲圓”于，兩點，則的周長的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點相同，且過點.（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）求拋物線的標準方程.18.（12分）已知雙曲線，第一象限內的點在上，雙曲線的左、右焦點分別記為，，且，，為坐標原點.（1）求雙曲線的離心率；（2）若的面積為2，求點的坐標.19.[2023無錫期中]（12分）已知拋物線的焦點為，直線與相交所得線段的長為.（1）求拋物線的方程.（2）若不過點的直線與拋物線相交于，兩點，請從中點的縱坐標為3；的重心在直線上；這三個條件中任選兩個作為已知條件，求直線的方程（若因條件選擇不當而無法求出，需分析具體原因）.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.20.（12分）已知拋物線的頂點在坐標原點，準線方程為，為拋物線的焦點，為直線上任意一點，以點為圓心，為半徑的圓與拋物線的準線交于，兩點，過點，分別作準線的垂線，交拋物線于點，.（1）求拋物線的方程；（2）證明：直線過定點，并求出定點的坐標.21.[2023長沙質檢]（12分）已知橢圓的焦距為2，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程.（2）點為橢圓上異于頂點的任意一點，點，分別與點關于原點、軸對稱.連接，與軸交于點，并延長交橢圓于點.試問：是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.22.（12分）在平面直角坐標系內，已知拋物線的焦點為，為平面直角坐標系內的點，若拋物線上存在點，使得，則稱為的一個“垂足點”.（1）若點有兩個“垂足點”為和，求點的坐標.（2）是否存在點，使得點有且僅有三個不同的“垂足點”，且點也是雙曲線上的點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.第3章測評一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.C2.C3.B4.B5.A[解析]設動圓圓心為，半徑為，由題意可得到的距離與到直線的距離相等.由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以為焦點，以為準線的一條拋物線，所以,，其方程為.故選.6.D[解析]因為為的重心，所以.設點，，的坐標分別為，，，因為拋物線，為其焦點，所以,所以,,.因為，所以，所以，所以.故選.7.A[解析]因為直線經(jīng)過左焦點，且斜率為，所以，所以，所以，所以.設，則.由橢圓的定義可知，即，解得，所以，.由勾股定理，得，故，解得，故橢圓的離心率為.故選.8.B[解析]不妨設的方程為，則的方程為，，因為，所以直線的方程為.由，即.由，即.因為，，所以，所以.故選.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.AC[解析]漸近線.設雙曲線的方程為，代入得，所以雙曲線的方程為，故選項正確；,,，離心率為，故選項錯誤；直線與雙曲線的漸近線平行，所以與雙曲線只有一個公共點，故選項正確；聯(lián)立消去并化簡，得，所以即直線與雙曲線只有一個公共點,故選項錯誤.故選.10.BCD[解析]由橢圓方程知,,，則橢圓的長軸長為，故選項錯誤.當軸時，滿足為直角三角形，此時點有2個；當軸時，滿足為直角三角形，此時點有2個；又因為，滿足為直角三角形，此時點可以為左、右頂點,，所以使為直角三角形的點共有6個，故選項正確.若點的縱坐標為1,則，，，故的長度為，故選項正確.設點，則，所以直線與的斜率之積，故選項正確.故選.11.ABD[解析]對于，由拋物線的定義可知，故正確.對于，因為是的平分線，所以.又，所以，所以，所以，故正確.對于，若，則有，從而有，所以，此時為定點，與為拋物線上異于的任意一點矛盾，故錯誤.對于，因為四邊形是矩形，所以.又，所以，故正確.故選.12.AC[解析]易得，設直線的方程為，，，聯(lián)立消去，得，所以，，所以，所以，故正確.設直線的方程為，則直線的方程為聯(lián)立解得.因為點在第三象限，所以，，用替換，可得，，所以點到的距離為.又,所以,故錯誤.，,所以,故正確.聯(lián)立可得，故，所以，用替換，可得，，所以點到直線的距離為,所以，當且僅當，即時取等號，所以，故錯誤.故選.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.5（答案不唯一）14.;[解析]橢圓，所以，，，所以，.如圖，點在橢圓內部，因為為橢圓上的點，所以，所以.因為，又，所以，即.15.12[解析]由，得.設，，由拋物線的性質，與軸的交點即為拋物線的焦點，，，，所以，所以該光線經(jīng)過的路程為12.16.（6,[解析]顯然直線的斜率不能為0，設直線的傾斜角為，，由半橢圓方程為可得，圓弧：的圓心為，半徑為2，且恰為橢圓的左焦點，，設“曲圓”與軸的兩個交點為，，當直線經(jīng)過點時，，即有；當直線經(jīng)過點時，，即有.①當,時，點，分別在圓弧、半橢圓上，為腰為2的等腰三角形，則，的周長；②當,時，點，分別在圓弧、半橢圓上，為腰為2的等腰三角形，且，的周長；③當,時，點，在半橢圓上，的周長.綜上，的周長的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）解因為雙曲線過點，所以，所以，得.又因為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為（2）由（1）得，所以，所以雙曲線的右焦點坐標是，所以拋物線的焦點坐標是，所以，所以，所以拋物線的標準方程為.18.（1）解因為，，所以，.因為，所以，化為，所以，則，即雙曲線的離心率為.（2）如圖，由題意得，.又，解得，，，所以，雙曲線的方程為.把代入雙曲線的方程，得.又，解得，所以,.19.（1）解因為直線與拋物線相交所得線段的長為，所以拋物線過點（由拋物線的對稱性得到），則，即，所以拋物線的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，與拋物線相交于，兩點，中點的縱坐標為0，選①②或①③或②③均不符合題意，故直線的斜率存在.設，，，由（1）知,.由得，所以.若選擇條件①③：因為中點的縱坐標為3，所以，則.因為，所以，則，即，所以.綜上，直線的方程為若選擇條件②③：因為的重心在直線上，所以，則，即.因為，所以，則，即，所以綜上，直線的方程為若選擇條件①②：因為中點的縱坐標為3，所以，則.因為的重心在直線上，所以，則，即.兩個條件，都只能得出斜率，無法計算出的值，故不能得到直線的方程.20.（1）解設拋物線的方程為，依題意，有，得，所以拋物線的方程為.（2）證明易得,.設，則，，所以圓的方程為.令，得.①顯然恒成立.設,,,，由①得,，②直線的斜率為，則直線的方程為，即，代入②，有，即，則直線恒過定點,.21.（1）解由已知得，，所以解得故橢圓的方程為.（2）是.設，，則，，所以，,所以直線的方程為，代入橢圓方程，得，顯然是此方程的一個解，另一解