電磁場的相對論變換

-.z.電磁場的相對論變換摘要：該文章我們從實驗事實出發(fā)導出洛倫茲變換，接著討論相對論的時空性質(zhì)，然后研究物理規(guī)律協(xié)變性的數(shù)學形式。在此基礎(chǔ)上根據(jù)相對性原理，我們把描述電磁規(guī)律的麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式寫成協(xié)變形式，并導出電磁場的變換關(guān)系。最后介紹運動帶電粒子激發(fā)的電磁場。關(guān)鍵詞：洛倫茲變換、協(xié)變性、相對性原理-.z.目錄引言...............................................................11愛因斯坦的基本假設(shè)...............................................21.1伽利略變換....................................................21.2伽利略相對性原理..............................................31.3愛因斯坦的選擇................................................32相對論力學的若干結(jié)論.............................................32.1洛倫茲變換...................................................42.2四維速度.....................................................42.3四維動量.....................................................53電磁規(guī)律的協(xié)變性和電荷不變性.....................................54電磁場的變換.....................................................74.1電磁場的變換公式.............................................74.2運動點電荷的電場.............................................94.3運動點電荷的磁場............................................12結(jié)束語............................................................15參考文獻..........................................................16致謝..............................................................18-.z.引言現(xiàn)代科學技術(shù)發(fā)展迅速，經(jīng)典電磁場理論的應用已深入到許多領(lǐng)域中去，要了解在這些領(lǐng)域中如何應用電磁場的基本原理來解決各種實際問題還需要進一步學習進一步有關(guān)的知識。本文就幾個關(guān)系比較密切的發(fā)面作以簡單的初步介紹，目的在于對電磁場理論的發(fā)展和應用有所了解，同時也有助于對已學過的知識加深認識，并為進一步學習創(chuàng)造條件。麥克斯韋的電磁場理論和相對論的發(fā)展有密切關(guān)系，麥克斯韋提出的電磁理論和當時經(jīng)典力學的時空概念不適合。這是19世紀后期物理學者討論和研究的重要問題之一。愛因斯坦提出狹義相對論后問題才得到澄清。麥克斯韋的電磁理論和狹義相對論基本原理是一致的，學習相對論有助于深化對電磁場理論的了解。借助相對論可是我們知道，磁現(xiàn)象的出現(xiàn)是電荷的相對運動的結(jié)果，從而獲得對電和磁的統(tǒng)一性的進一步認識。1愛因斯坦的基本假設(shè)1.1伽利略變換在兩個慣性參考系和上各取一個固定的坐標系和。為了方便，假設(shè)兩個坐標系的對應坐標軸互相平行，同時設(shè)和以速度v沿*軸的正方向運動，并且在t=時兩坐標系的原點o和重合。如果我們不把坐標系取成這樣的特殊形式，則得到的數(shù)學形式將要復雜一些，但最后其物理結(jié)果是相同的。在經(jīng)典力學中，聯(lián)系兩慣性系的時空坐標關(guān)系式，即伽利略變換式為（）這個變換式集中反映了經(jīng)典力學的時空觀。例如，有兩個物理事件，在系中的時空坐標分別為（）和（）。由上式有上式表明兩物理事件的時間間隔不因慣性參考系的變換而改變，即是絕對的，且若兩事件在系中同時發(fā)生，則在系也是同時發(fā)生的，即與參考系的選擇無關(guān)。也就是說，在不同的慣性參考系中時間間隔和同時性是絕對的。兩個同時發(fā)生的事件之間的距離為：上式表明空間距離與參考系的選擇無關(guān)，即是絕對的。根據(jù)伽利略變換，可以得到粒子在兩慣性系和之間的速度變換公式。（）在經(jīng)典力學中，粒子的質(zhì)量與速度無關(guān)，因而在不同的參考系中，同一粒子的質(zhì)量是相同的。同時，牛頓力學的運動規(guī)律不論在那個坐標系下的結(jié)果都是一樣的。則這就是說，在經(jīng)典時空觀念下，力學的運動規(guī)律并不會因為慣性參考系的不同而發(fā)生變化，所以在經(jīng)典力學中，所有慣性參考系都可以被看作是一樣地等價的，這就是伽利略相對性原理的簡單概括。1.2伽利略性對象原理的困難我們知道，從麥克斯韋方程組，可得電磁波在真空中傳播的速度等于光速，但按式，如果電磁波在*一慣性系中的傳播速度是，則在相對于該慣性系以速度v運功的另一慣性參考系內(nèi)，該電磁波的傳播速度不在是，而是。如果事實就是這樣，則麥克斯韋方程組就只是對*一個特別的參考系成立（在這個特別的參考系里電磁波的傳播速度才能保持為，不會改變），顯然這個參考系要比其他參考系更高一級，更加特別。這樣，麥克斯韋方程組在所以慣性系中將不是平等的，換句話說，電磁規(guī)律不滿足伽利略相對性原理。最初一些科學家的設(shè)想是，電磁波或光是在*種“以太”媒質(zhì)中發(fā)生震動的傳播，如同聲波是在空氣媒質(zhì)中震動的傳播一樣，并賦予它很多特殊的性質(zhì)，認為它就是那個特殊的參考系，即“以太”參考系。因此尋找這個“以太”參考系以及研究地球相對于這個參考系的運動情況就是上世紀末物理學家們一直所研究的內(nèi)容。但許多實驗（其中包括著名的邁克爾遜-莫雷實驗）都表明，地球相對于“以太”參考系的運動，事實上式找不到的，這樣就否定了“以太”參考系的存在，因此，人們不得不另找途徑。相對性原理是大家普遍接受的基本假設(shè)。在這個前提下，人們能夠選擇的途徑只有兩條：（1）相對性原理既適應于經(jīng)典力學，也適應于電磁學，但麥克斯韋方程并不準確，這才出現(xiàn)了相對性原理對于麥克斯韋方程組不成立的問題。要是這種想法是正確的，我們應該修改電磁學方程組。對于修改后的電磁學方程，伽利略變換式也是正確的。但這種假設(shè)很快就被否定了，因為由于赫茲，洛倫茲和其他人的不斷進行假設(shè)與論證，麥克斯韋理論最終被證明是正確的，因此電磁學方程不成立的這一說法是沒有依據(jù)的。（2）相對性原理對經(jīng)典力學和電磁學都是正確的，但牛頓定律就出現(xiàn)了錯誤。要是這種想法是正確的，我們應該修改力學定律。如果這樣，正確的變換將不是伽利略變換式（因為它與牛頓力學定律的不變性一致，而與麥克斯韋方程組的不變性有抵觸），因而應當是另外一種既適用于電磁學，也適應于修改后的力學定律的一種新的變換式。1.3愛因斯坦的選擇面對上述困難，愛因斯坦選擇了第二條途徑，提出了下列兩條基本假設(shè)作為狹義相對理論的基本出發(fā)點：（1）相對性原理：所有慣性系都是等價的，物理規(guī)律（包括力學和電磁學）對所有的慣性參考系都可以表示為相同的數(shù)學形式，不存在一個優(yōu)于其他慣性系的絕對慣性參考系。（2）光速不變原理：在任何慣性參考系內(nèi)，光在真空中的傳播速度恒為，并且與光源的運動情況無關(guān)。2相對論的若干結(jié)論2.1洛倫茲變換假設(shè)和是兩個慣性系，取直角坐標系和,且對應各坐標軸互相平行。系相對于系以速度沿方向作勻速運動。在時刻原點、重合。如果把時間寫成虛變量（），以為閔可夫斯基空間中的四維矢量，洛倫茲變換為式中，。洛倫茲變換是復四維閔可夫斯基空間里的正交變換，它刻畫了閔可夫斯基空間的一種轉(zhuǎn)動。如果（）與()一樣地服從洛倫茲變換：則它是個四維矢量?；蛘哒f，要定義一個閔可夫斯基空間里的四維矢量，它必須與(,,,)一樣地服從洛倫茲變換。2.2四維速度相對于粒子靜止的時鐘所顯示的時間間隔稱為它的固有時，固有時是洛倫茲變換中的不變量。四維速度（）定義為四維速度是個四維矢量，它服從洛倫茲變換2.3四維動量四維動量是由三維動量和能量組成的四維矢量：（為靜質(zhì)量）四維動量是個四維矢量，它服從洛倫茲變換：3電磁規(guī)律的協(xié)變性與電荷的不變性相對論以前的物理學家認為不同慣性系之間的時空坐標變換是伽利略變換，力學基本規(guī)律遵從相對性原理，即不同慣性系中力學基本規(guī)律的形式是相同的，從而不可能通過力學實驗確定慣性系本身的運動狀態(tài)。那是認為電磁學的基本規(guī)律不遵從相對性原理，電磁學的基本規(guī)律僅對于*個特殊的慣性系才嚴格成立，對于其他參考系會出現(xiàn)一定的偏離，這個特殊的參考系稱為絕對參考系或“以太系”。他們相信通過電磁學實驗能夠確定這個絕對參考系。于是通過電磁學實驗或光學實驗尋找絕對參考系成為當時一些物理學家熱衷的課題。在19世紀末20世紀初，這樣的實驗有幾個，其中一個是1902—1903年間特魯頓和諾伯的實驗。考慮一對正負電荷相對于地球參考系靜止由于地球的自轉(zhuǎn)和繞太陽的公轉(zhuǎn)以及太陽的運動，地球肯定不可能是絕對參考系，設(shè)其相對于絕對參考系以速度v平行*軸運動。在絕對參考系中，這對電荷是運動的，他們之間除了電力作用之外，還有磁力作用。磁力會對這個電荷系統(tǒng)產(chǎn)生力偶的作用，系統(tǒng)在力偶的作用下會繞著與v軸垂直的方向旋轉(zhuǎn)。對這一磁力偶的測定，可以確定地球相對絕對參考系的速度，從而找出絕對參考系來。特魯頓和諾伯采用一個的平行伴電容器來代替這一對電荷，用細磷銅懸絲將充了電的電容器懸掛起來，精心地觀察懸掛電容器的轉(zhuǎn)動效應。然而在這個實驗中并沒有觀察到電容器會轉(zhuǎn)動，則這個實驗就說明了并不存在絕對的參考系。在地球參考系中同樣可以運用電磁規(guī)律，在地球參考系中不存在使兩個靜止的電荷轉(zhuǎn)動的“力偶”。這表明，相對性原理對電磁現(xiàn)象同樣成立，即電磁學基本規(guī)律的數(shù)學形式在一切慣性系中均相同。按照狹義相對論的要求，不同慣性系之間的時空坐標變換是洛倫茲變換，當在不同慣性參考系下觀察*一物理規(guī)律時，根據(jù)相對性原理，要求物理規(guī)律的形式保持不變，即基本物理規(guī)律的洛倫茲協(xié)變性。這里所說的電磁學的基本規(guī)律是指麥克斯韋方程組和洛倫茲公式。以前的洛倫茲公式中只有磁場，不可能具有協(xié)變性，普遍的洛倫茲公式應該是這里的既包括庫倫場，也包括渦旋場。在不同參考系下同一物理規(guī)律的物理量是不同的，但它們之間的變換是協(xié)同變換，這就保證了規(guī)律的形式保持不變。在電磁學中的一個基本問題是，當參考系變換時物體所帶的電量是否會變化？這個問題只能有實驗來回答。有大量的事實表明，一個系統(tǒng)中的總電量是保持恒定不變的。例如，實驗測定速度為v的帶點粒子的核質(zhì)比符合下述公式而質(zhì)量隨速度變化的相對論公式比較著兩個公式，暗示著帶電體的電量不隨運動速度改變。物體所帶電量不受運動影響的事實表明，對于不同參考系的觀察者來說，物體所帶電量都是一樣的，也就是說，電量對于從一個參考系到另一個參考系的變換來說是個不變量，即電荷對洛倫茲變換來說是標量。4電磁場的變換4.1電磁場的變換公式電磁場的變換公式可以有多種方法導出，我們現(xiàn)在根據(jù)洛倫茲公式的協(xié)變性以及電荷的不變性導出不同慣性系之間的電磁場變換公式。在力學里四維動量是四維矢量，即服從洛倫茲變換，但它對時間的導數(shù)即由力的三個分量（）和功率的組合并構(gòu)成四維矢量。如果把換成固有時間隔，或者說，在上述四個矢量上：就變成四維是矢量，它應服從洛倫茲變換：在電磁學里電荷q受洛倫茲力和功率的公式為乘以，得洛倫茲力公式的洛倫茲協(xié)變性要求，從慣性系變到慣性系，上式具有的形式應為注意，由于，上式里不去區(qū)分它們。相對論力學要求：在不同慣性系之間轉(zhuǎn)換時，上式中（）（）和（）（）服從洛倫茲變換。以此為出發(fā)點，我們看電場強度（）和磁感應強度（）服從怎樣的變換關(guān)系。利用系到的洛倫茲變換，把上式中的，，，，作洛倫茲變換，得，=由于以上各式對任意速度成立，令上述幾式中含、、各項的系數(shù)分別相等，我們得到，，將上述推導運用到，等其他分量，可以得到電磁場其余分量的變換式?？傻檬街校?，是系相對于系的速度。上式的逆變換為4.2運動點電荷的電場下面，我們根據(jù)電磁場的變換公式導出作勻速運動的點電荷產(chǎn)生的電場，考察它與靜電場有什么不同。將一個電量為q點電荷靜止地置于參考系的坐標原點。它所產(chǎn)生的電場是靜電場，遵從庫倫規(guī)律，其分量為，式中。靜止點電荷在空間任意點產(chǎn)生的電場方向沿徑失，且場強的大小呈球?qū)ΨQ分布。如下圖所示圖1且系中不存在磁場，即場：現(xiàn)在設(shè)參考系相對于系沿在方向一速度運動。在系看來，點電荷以速度沿的正向運動。在K系中的電場E就是待求的運動電荷的電根據(jù)電磁場變換公式得，，，代入庫倫定律公式，并用洛倫茲公式就可把場分量用系中的時空坐標表示出來，可以看出，在系看來，隨著電荷的運動，空間的電場是隨著時間變化的?？紤]時刻，電荷的位置恰好在系的坐標原點，空間的電場為可以看出這就告訴我們，電場強度與坐標軸之間的夾角等于徑矢與坐標軸之間的夾角，即電場強度的方向沿著以點電荷的瞬時位置為起點的徑矢方向。為了確定場強大小分布，我們先計算：=所以式中，，為徑矢與速度v之間的夾角。由此結(jié)果表明，場強的大小除了與r的平方成反比，還依賴于徑矢與運動之間的夾角以及電荷的運動速率v。場強的大小不是各向均勻的，而是在平面電場線附近電磁線較為密集。下圖畫出了在平面內(nèi)的電場線分布。運動電荷的電場線分布（圖2）不同速度下，電場強度的大小隨變化的情形如下圖所示圖3隨著電荷的運動，電場的這種分布也隨之以相同的速度向前運動。當電荷的速度較小，而可忽略時，電場近似庫倫場，即它對于點電荷呈近似球?qū)ΨQ分布，電場緩慢地以速度v沿*方向移動。電荷的速度愈大，電場線在平面附近密集的程度愈高。在，的極端相對論情形下，極強的電場局限在平面內(nèi)，運動電荷攜帶著這樣的電場高速運動。4.3運動電荷的磁場根據(jù)電磁場變換公式，可得點電荷勻速運動情形下空間的磁感應強度寫成矢量式，為上式告訴我們，早點電荷勻速運動情形下，空間的磁場也是隨時間變化的，它總垂直于與所決定的平面。磁感應線是一些以點電荷運動軌跡為軸的同心圓，如下圖所示：運動電荷的磁感應線（圖4）當時刻點電荷恰處于K系的坐標原點時，磁感應強度的大小為：電場與磁場是相互聯(lián)系的，真空介電常數(shù)與真空磁導率有一定關(guān)系?？梢宰C明，二者存在如下關(guān)系。于是與電場線的分布相對應，磁感應線的分布也在平面附近較密集。電荷的運動速度愈大，磁感應線在平面附近較密集的程度愈高。不同速度下，磁感應強度隨變化的關(guān)系如下圖所示。隨著電荷的運動，磁場的這種分布也以同一速度向前運動。運動電荷的磁感應強度與、的關(guān)系（圖5）當電荷運動的速度較小，而可忽略時，上式可化為寫成矢量式為這就是底速情形下勻速運動的點電荷產(chǎn)生的磁場公式。作的代換，它就過渡到電流元產(chǎn)生的公式。因此，畢奧—薩伐爾公式是低速下的近似公式。當電荷運動的速度很大時，，，屬于極端相對論情形，極強的磁場局限在平面內(nèi)，運動電荷攜帶著這樣的磁場高速運動。結(jié)束語：本文通過伽利略的相對變換以及電磁規(guī)律的協(xié)變性，于電荷的不變性導出不同慣性系之間的電磁場變換公式。根據(jù)電磁場的變換公式導出做勻速運動的點電荷產(chǎn)生的電場，考察它與靜電場的異同。同時導出點電荷勻速運動情況下空間的磁感應強度與畢奧—薩伐爾公式的關(guān)系。參考文獻：［1］全澤松，《電磁場理論》[M],電子科技大學，1997年。［2］趙凱華、陳熙謀，《電磁學》[M]，高等教育，2011年。［3］黃禮鎮(zhèn)，《電磁學原理》[M]，人民教育，1982年。［4］余恒清、楊顯清，《電磁場教學指導書》[M]，理工大學1995年。［5］龔中麟、徐承和，《近代電磁理論》[M]，大學，1990年。[6]孫志銘，《物理中的*量》，大學，1985.[7]郭碩鴻，《電動力學》，，高等教育，2008.6[8]徐輔新、王明智，《電動力學》，**教育，221-222[9]D.R.Frankl,ElectromagneticTh