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近世代數(shù)第二章群論§5變換群
9/28/2023近世代數(shù)第二章群論§5變換群8/3/2023研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系的下面三個(gè)問(wèn)題:存在問(wèn)題;數(shù)量問(wèn)題以及結(jié)構(gòu)問(wèn)題。關(guān)于數(shù)量問(wèn)題,指的是彼此不同構(gòu)的代數(shù)體系的數(shù)量,因?yàn)橥瑯?gòu)的代數(shù)體系抽象地看可以認(rèn)為是相同的代數(shù)體系。本講的凱萊定理將告訴我們,如果將所有變換群都研究清楚了,也就等于把所有群都研究清楚了,無(wú)論是否如此簡(jiǎn)單,但至少?gòu)睦碚撋现绖P萊定理的重要性。
9/28/2023研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系本講的凱萊定理將告訴我一、集合的變換和變換乘法
1變換:設(shè)是一個(gè)非空集合,若是就稱是的一個(gè)變換.到上的映射2變換集合:由的全體變換做成的集合,由的全體一一變換做成.記為的集合記為
9/28/2023一、集合的變換和變換乘法1變換:設(shè)是一個(gè)非空集合,若是4變換乘法是的代數(shù)運(yùn)算,也是的代數(shù)運(yùn)算.5恒等變換:,
3變換乘法:,規(guī)定,稱為的乘法.
9/28/20234變換乘法是的代數(shù)運(yùn)算,也是的代數(shù)運(yùn)算.5恒等變換:二、變換群的概念例1設(shè).的全部變換如下問(wèn):(1)關(guān)于變換乘法是否做成群?關(guān)于變換乘法是否做成群?(2)
9/28/2023二、變換群的概念例1設(shè).的全部變換如下問(wèn):(1)關(guān)于變換解:(1)非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足,事實(shí)上,就沒有逆元.因?yàn)槿绻心嬖?那么必有且.但是而導(dǎo)致矛盾,故沒有逆元.不能成為群.有單位元.那么“逆元”問(wèn)題能解決嗎?因此
9/28/2023解:(1)非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足,事實(shí)上,就沒有逆元.(2)非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足,,的逆元是的逆元是自身.因此例2設(shè),并取定,則易知是的一個(gè)非一一變換,,從而關(guān)于變換乘法做成群.有單位元成為群..
9/28/2023(2)非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足,,的逆元是的逆元是自身.定義1設(shè)的若干一一變換關(guān)于變換的乘法做成的一個(gè)一一變換群;的若干非一一變換關(guān)于變換的乘法做的一個(gè)非一一變換群.是一個(gè)非空集合,則的若干變換關(guān)于變換的乘法做成的群,的一個(gè)變換群;由稱為由的群,稱為由成的群,稱為
9/28/2023定義1設(shè)的若干一一變換關(guān)于變換的乘法做成的一個(gè)一一變換群;的定理1設(shè)為非空集合,構(gòu)成的一個(gè)變換群.關(guān)于變換的乘法證明:乘法封閉性、結(jié)合律都滿足,單位元為恒等變換,每個(gè)一一映射都有個(gè)與之對(duì)應(yīng)的互逆的一一映射.
9/28/2023定理1設(shè)為非空集合,構(gòu)成的一個(gè)變換群.關(guān)于變換的乘法證明:乘定義2稱集合上的一一變換群為上的對(duì)稱群;時(shí),其上的對(duì)稱群用表示,稱為n
次對(duì)稱群.當(dāng)顯然:(1)上任何一一變換群都是上的對(duì)稱群的一個(gè)子群,即上的對(duì)稱群的最大的一一變換群;是(2)n次對(duì)稱群是一個(gè)階為的有限群.
9/28/2023定義2稱集合上的一一變換群為上的對(duì)稱群;時(shí),其上的對(duì)稱群用表定理2設(shè)是非空集合的一個(gè)變換群.則證:必要性顯然;下證充分性:設(shè)有的單射變換,于是,由是單射變換,,因此是的恒等變換;,若,則,所以是單射變換;,所以是滿射變換.是的一個(gè)一一變換群中含有的單(滿)射變換.,因?yàn)槭侨海视袉挝辉?/p>
9/28/2023定理2設(shè)是非空集合的一個(gè)變換群.則證:必要性顯然;下證充分性推論1:是非空集合的一個(gè)變換群,則或者是一一變換群(單位元是恒等變換),,則不能成為群.或者是非一一變換群,即任何一個(gè)變換群都不可能既含有一一變換又含有非一一變換.注意:如果
9/28/2023推論1:是非空集合的一個(gè)變換群,則或者是一一變換群(單位元是例例3.令,,則做成的一個(gè),規(guī)定,則做成的一個(gè)上的對(duì)稱群.非一一變換群.例4.令一一變換群,但不是(單位元)(單位元)
9/28/2023例例3.令,,則做成的一個(gè),規(guī)定,則做成的一個(gè)上的對(duì)稱群.定理3(凱萊定理)任何群都能同一個(gè)一一變換群同構(gòu).證:設(shè)是任意一個(gè)群,,規(guī)定的一個(gè)變換,易知是一個(gè)一個(gè)一一變換.令,則,,,所以是同構(gòu)映射.所以.
9/28/2023定理3(凱萊定理)任何群都能同一個(gè)一一變換群同構(gòu).證:設(shè)推論2任何n階有限群
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