近世代數(shù)課件(全)-2-5變換群

近世代數(shù)第二章群論§5變換群

9/28/2023近世代數(shù)第二章群論§5變換群8/3/2023研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系的下面三個(gè)問(wèn)題：存在問(wèn)題；數(shù)量問(wèn)題以及結(jié)構(gòu)問(wèn)題。關(guān)于數(shù)量問(wèn)題，指的是彼此不同構(gòu)的代數(shù)體系的數(shù)量，因?yàn)橥瑯?gòu)的代數(shù)體系抽象地看可以認(rèn)為是相同的代數(shù)體系。本講的凱萊定理將告訴我們，如果將所有變換群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，無(wú)論是否如此簡(jiǎn)單，但至少?gòu)睦碚撋现绖P萊定理的重要性。

9/28/2023研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系本講的凱萊定理將告訴我一、集合的變換和變換乘法

1變換：設(shè)是一個(gè)非空集合，若是就稱(chēng)是的一個(gè)變換.到上的映射2變換集合：由的全體變換做成的集合，由的全體一一變換做成.記為的集合記為

9/28/2023一、集合的變換和變換乘法1變換：設(shè)是一個(gè)非空集合，若是4變換乘法是的代數(shù)運(yùn)算，也是的代數(shù)運(yùn)算.5恒等變換：，

3變換乘法：，規(guī)定，稱(chēng)為的乘法.

9/28/20234變換乘法是的代數(shù)運(yùn)算，也是的代數(shù)運(yùn)算.5恒等變換：二、變換群的概念例1設(shè)．的全部變換如下問(wèn)：（1）關(guān)于變換乘法是否做成群？關(guān)于變換乘法是否做成群？（2）

9/28/2023二、變換群的概念例1設(shè)．的全部變換如下問(wèn)：（1）關(guān)于變換解：（1）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿(mǎn)足，事實(shí)上，就沒(méi)有逆元.因?yàn)槿绻心嬖?那么必有且.但是而導(dǎo)致矛盾，故沒(méi)有逆元.不能成為群.有單位元.那么“逆元”問(wèn)題能解決嗎？因此

9/28/2023解：（1）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿(mǎn)足，事實(shí)上，就沒(méi)有逆元.（2）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿(mǎn)足，，的逆元是的逆元是自身.因此例2設(shè)，并取定，則易知是的一個(gè)非一一變換，，從而關(guān)于變換乘法做成群.有單位元成為群..

9/28/2023（2）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿(mǎn)足，，的逆元是的逆元是自身.定義1設(shè)的若干一一變換關(guān)于變換的乘法做成的一個(gè)一一變換群；的若干非一一變換關(guān)于變換的乘法做的一個(gè)非一一變換群.是一個(gè)非空集合，則的若干變換關(guān)于變換的乘法做成的群，的一個(gè)變換群；由稱(chēng)為由的群，稱(chēng)為由成的群，稱(chēng)為

9/28/2023定義1設(shè)的若干一一變換關(guān)于變換的乘法做成的一個(gè)一一變換群；的定理1設(shè)為非空集合，構(gòu)成的一個(gè)變換群.關(guān)于變換的乘法證明：乘法封閉性、結(jié)合律都滿(mǎn)足，單位元為恒等變換，每個(gè)一一映射都有個(gè)與之對(duì)應(yīng)的互逆的一一映射.

9/28/2023定理1設(shè)為非空集合，構(gòu)成的一個(gè)變換群.關(guān)于變換的乘法證明：乘定義2稱(chēng)集合上的一一變換群為上的對(duì)稱(chēng)群；時(shí)，其上的對(duì)稱(chēng)群用表示，稱(chēng)為n

次對(duì)稱(chēng)群.當(dāng)顯然：（1）上任何一一變換群都是上的對(duì)稱(chēng)群的一個(gè)子群，即上的對(duì)稱(chēng)群的最大的一一變換群；是（2）n次對(duì)稱(chēng)群是一個(gè)階為的有限群.

9/28/2023定義2稱(chēng)集合上的一一變換群為上的對(duì)稱(chēng)群；時(shí)，其上的對(duì)稱(chēng)群用表定理2設(shè)是非空集合的一個(gè)變換群.則證：必要性顯然；下證充分性：設(shè)有的單射變換，于是，由是單射變換，，因此是的恒等變換；，若，則，所以是單射變換；，所以是滿(mǎn)射變換.是的一個(gè)一一變換群中含有的單（滿(mǎn)）射變換.，因?yàn)槭侨海视袉挝辉?/p>

9/28/2023定理2設(shè)是非空集合的一個(gè)變換群.則證：必要性顯然；下證充分性推論1：是非空集合的一個(gè)變換群，則或者是一一變換群（單位元是恒等變換），，則不能成為群.或者是非一一變換群，即任何一個(gè)變換群都不可能既含有一一變換又含有非一一變換.注意：如果

9/28/2023推論1：是非空集合的一個(gè)變換群，則或者是一一變換群（單位元是例例3.令，，則做成的一個(gè)，規(guī)定，則做成的一個(gè)上的對(duì)稱(chēng)群.非一一變換群.例4.令一一變換群，但不是（單位元）（單位元）

9/28/2023例例3.令，，則做成的一個(gè)，規(guī)定，則做成的一個(gè)上的對(duì)稱(chēng)群.定理3(凱萊定理)任何群都能同一個(gè)一一變換群同構(gòu).證：設(shè)是任意一個(gè)群,，規(guī)定的一個(gè)變換,易知是一個(gè)一個(gè)一一變換.令，則，，，所以是同構(gòu)映射.所以.

9/28/2023定理3(凱萊定理)任何群都能同一個(gè)一一變換群同構(gòu).證：設(shè)推論2任何n階有限群