數(shù)學(xué)物理方法第7章2011

第二篇數(shù)學(xué)物理方程1MathematicalEquationsforPhysics想要探索自然界的奧秘就得解微分方程——牛頓重點1、從實際問題中建立數(shù)學(xué)物理方程的基本方法；2、系統(tǒng)的邊界條件和初始條件的寫法；3、行波法研究一維波動方程的解、及解的物理意義。第七章數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．?dāng)?shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.聲振動是研究聲源與聲波場之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關(guān)系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系．多數(shù)為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導(dǎo)問題和擴散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程一、數(shù)學(xué)物理方程---泛定方程:物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示

物理規(guī)律物理量u

在空間和時間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個地點和各個時刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語言翻譯泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關(guān)。三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程擴散方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程6二、邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件三、歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件→不同的運動狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。定解問題的完整提法：

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。7具體的問題的求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須用的3、求解方法——行波法、分離變量法、等分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法7.1數(shù)學(xué)模型的建立8建模步驟：1、明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。2、研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？3、按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。（一）均勻弦橫振動方程弦的橫振動

設(shè)：均勻柔軟的細弦沿x軸繃緊，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動u(x,t):

坐標(biāo)為x

的點在t時刻沿垂線方向的位移求：細弦上各點的振動規(guī)律9波動方程的導(dǎo)出

選取不包括端點的一微元(x,x+dx),弦長dx

，研究對象:(4)設(shè)單位長度上弦受力，力密度為：簡化假設(shè)：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角

1和

2

很小，僅考慮

1和

2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略。質(zhì)量線密度

，u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xF弦的原長：振動拉伸后：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF弦長dx

，質(zhì)量線密度

，B段的質(zhì)量為m=

dx沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向受力分析和牛頓運動定律：12在微小振動近似下：由（1）式，弦中各點的張力相等u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF（1）（2）波動方程：波速a受迫振動方程13單位質(zhì)量所受外力，力密度令牛頓運動定律：………一維波動方程14………一維波動方程------非齊次方程------齊次方程忽略重力和外力作用：如考慮弦的重量：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向（1）（2）類似討論（二）均勻薄膜的微小橫振動

設(shè)：均勻柔軟的薄膜繃緊，膜平面為xy平面，研究膜在垂直于xy平面的微小橫振動u(x,y,t):

坐標(biāo)點為(x,y)的橫向位移為張力在xy平面上的投影方向薄膜

Tuxy平面的張力T的橫向分量15在x和x+dx兩邊所受的橫向作用力xyx+dxy+dyxyn(即y)n(即x)類似地：在y和y+dy兩邊所受的橫向作用力：

Tuyydxdy

為單位面積的薄膜質(zhì)量薄膜的受迫振動方程單位面積上的橫向外力單位質(zhì)量上的橫向外力16擴散方程

擴散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度

u(x,y,z,t)

不均勻時，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴散。擴散（實驗）定律：濃度不均勻（濃度梯度）：擴散流強弱（強度）：單位時間通過單位面積的物質(zhì)的量沿x-方向擴散流：單位時間沿x-方向凈流入量單位時間凈流入量等于密度增加的量物質(zhì)的總量守恒如果僅x方向，則有一維擴散方程均勻代入擴散定律三維擴散方程18如果研究空間存在源，源強度與u(x,y,z,t)無關(guān)，且為F(x,y,z),這時擴散方程修改為如果研究空間存在源，源強度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=bu(x,y,z)這時擴散方程修改為泊松方程或拉普拉斯方程靜電場的電勢方程

直角坐標(biāo)系中泊松方程為

若空間無電荷，即電荷密度，上式成為稱這個方程為拉普拉斯方程.電勢V(x,y,z)確定所要研究的物理量：根據(jù)由物理規(guī)律電場、電勢和電荷密度間有如下規(guī)律：建立泛定方程：泊松方程7.2定解條件常微分方程定解問題回顧

常微分方程求解就是積分。積分過程會出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。

利用在自變量取一個特定值時的值，如初值u(t=0)確定積分常數(shù)。積分一次，出現(xiàn)一個積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。數(shù)學(xué)物理方程的定解問題要求給定：初始條件和邊界條件20初始時刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件A、波動方程的初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度（一）初始條件和

是空間坐標(biāo)的函數(shù)例：22注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是一點處的情況。一根長為l的弦，兩端固定于0和l。在中點位置將弦沿著橫向拉開距離h

，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

l

x

l/2h解：初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移（二）邊界條件定義：系統(tǒng)的物理量始終在邊界上具有的情況。A.第一類邊界條件直接給出系統(tǒng)邊界上物理量的函數(shù)形式。如：兩端固定的弦振動和位置確定23常見的線性邊界條件分為三類：細桿熱傳導(dǎo)或隨時間變化的溫度恒溫B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：速度確定細桿的縱振動：當(dāng)端點“自由”，即無應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對伸長也為零：細桿熱傳導(dǎo)：端點絕熱，熱流強度為零，由熱傳導(dǎo)定律：24C.第三類邊界條件位移和速度的組合細桿熱傳導(dǎo)：端點“自由”冷卻(熱流正比于溫差)。牛頓冷卻定律：T

為環(huán)境溫度。根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，在

x=l

處：負x方向正x方向在x=0處25細桿縱振動：端點與固定點彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點一般表達式：這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。（三）銜接條件

系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(躍變點)。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細桿在

x=0

處連接，這一點就是躍變點。躍變點兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。26例橫向力作用于點。弦在的左右斜率不同，但位移的極限值相同。這兩個等式就是銜接條件。又，橫向力應(yīng)與張力平衡：即

1

2277.3數(shù)學(xué)物理方程的分類（一）線性二階偏微分方程把所有自變量依次記作x1,x2,

xn，線性二階偏微分方程可表為其中

aij,bi,c,f只是

x1,x2,

xn的函數(shù)（二）兩個自變數(shù)的方程分類28雙曲型拋物型橢圓型作變量替換297.4達朗貝爾公式定解問題行波法用行波法求解波動方程的基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。評述：這一思想與常微分方程的解法是一樣的。關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。（一）波動方程的達朗貝爾公式30將和看作如同數(shù)一樣的算子，可以進行加減乘除：當(dāng)a=1，相當(dāng)于沿

x

和t

求導(dǎo)，變成沿對角線求導(dǎo)。當(dāng)a

不為1，則求導(dǎo)的線進行相應(yīng)的角度變化。變換：和顯然，坐標(biāo)變換31(1)通解對積分：積分常