江蘇省南通市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

期末考試試題(高中)PAGEPAGE1江蘇省南通市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖解析〗由，得，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．〖答案〗C2．某種彩票中獎的概率為，這是指A．買10000張彩票一定能中獎 B．買10000張彩票只能中獎1次 C．若買9999張彩票未中獎，則第10000張必中獎 D．買一張彩票中獎的可能性是〖解析〗如果某種彩票的中獎概率為，則買10000張這種彩票仍然是隨機(jī)事件，即買10000張彩票，可能有多張中獎，也可能不能中獎，排除A，B；若買9999張彩票未中獎，則第10000張也是隨機(jī)事件，且發(fā)生概率仍然是，故A錯誤，這里的中獎的概率為，是指買一張彩票中獎的可能性是，故D正確．〖答案〗D3．已知，則A． B． C． D．〖解析〗，．〖答案〗A4．已知兩個單位向量，的夾角為，若，則A．3 B． C． D．1〖解析〗因?yàn)椋?，所以．〖答案〗C5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為，則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐側(cè)面積之比為A．1 B． C． D．〖解析〗如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，為的中點(diǎn)，則由題意得：，則設(shè)以該四棱錐的高為邊長的正方形面積為，設(shè)該四棱錐側(cè)面積為，所以．〖答案〗D6．已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是A．若，，，則B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則〖解答〗對于A，若，，，可將，平移至相交直線，由公理3推論2，確定一個平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，的交線垂直于平面，進(jìn)而得到垂直于和，的交線，且和，的交線與，或其平行線能圍成矩形，由面面垂直的定義，可得，則A正確；對于B，若，，，當(dāng)，都平行于，的交線，則條件滿足，則，相交成立，則B錯；對于C，若，，，則，可能平行、可能異面、可能相交，所以C錯；對于D，若，，，則，可能平行、可能異面、可能相交，所以D錯．〖答案〗A7．已知為銳角三角形，，，則的取值范圍為A． B． C． D．〖解析〗由于為銳角三角形，故，整理得；故由正弦定理得：，整理得，由于，所以．〖答案〗C8．一個質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字．記事件為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則A．與互斥 B．與對立 C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立〖解析〗連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，．其中事件包括：，，，，，，，．事件包括：，，，，，，，，，，事件包括：，，，，，，，，事件包括：，，，，，，，，對于A：因?yàn)槭录c有相同的基本事件，，，，，故與互斥不成立，故A錯誤；對于B：因?yàn)槭录c有相同的基本事件，，，，，故與對立不成立，故B錯誤；對于C：因?yàn)椋ˋ），（B），，因?yàn)椋ˋ）（B），所以與不是相互獨(dú)立，故C錯誤；對于D：因?yàn)椋ˋ），（C），而，因?yàn)閮蓚€事件的發(fā)生與否互不影響且（A）（C），所以與相互獨(dú)立，故D正確．〖答案〗D二、選擇題.本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．對于一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6，6，8，8，則A．極差為8 B．平均數(shù)為5 C．方差為 D．40百分位數(shù)是4〖解析〗數(shù)據(jù)2，3，3，4，6，6，8，8，極差是，故A錯誤，平均數(shù)是，故B正確，方差，故C正確，由，是第四個數(shù)，得40百分位數(shù)是4，故D正確．〖答案〗BCD10．已知正六邊形的中心為，則A． B． C．存在， D．〖解析〗對A：因?yàn)榱呅?，所以，，，所以，故A正確；對，故B不正確；對C：以為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則設(shè)正六邊形的邊長為，則，，，，，，，，則，，，，所以存在，使得，所以C正確；對D：設(shè)正六邊形邊長為，，，故D正確．〖答案〗ACD11．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，三條中線相交于點(diǎn)．已知，，的平分線與相交于點(diǎn)，則A．邊上的中線長為 B．內(nèi)切圓的面積為 C．與面積之比為 D．到的距離為〖解析〗如下圖，取，，邊上的中點(diǎn)，，，則邊上的中線為，則，，又因?yàn)?，則，則．故A不正確；因?yàn)?，設(shè)內(nèi)切圓的為，，則，則，內(nèi)切圓的面積為：，故B正確．對于C，由角平分線定理知：，所以C正確；對于D，因?yàn)?，在三角形和三角形中，，則，解得：，所以，所以，所以，所以到的距離為：，故D不正確．〖答案〗BC12．已知函數(shù)，則A．的最小正周期為 B．函數(shù)在，上單調(diào)遞減 C．當(dāng)時，， D．當(dāng)函數(shù)在，上有4個零點(diǎn)時，〖解析〗依題意，，，函數(shù)部分圖像如圖：函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，故A正確；若函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則在，上單調(diào)遞減，從圖中可知，B不正確．因且，則當(dāng)時，且，則，，，，因此，，，故C正確；函數(shù)在，上有4個零點(diǎn)時，即，則與的圖像在，上有四個交點(diǎn)，所以，或，所以，或，故D不正確．〖答案〗AC三、填空題.本題共4小題，每小題5分，共20分.13．．〖解析〗原式．〖答案〗14．已知向量，，則在的投影向量的坐標(biāo)為．〖解析〗向量，，所以在的投影向量為，．〖答案〗15．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的復(fù)數(shù)．①的實(shí)部小于0；②．〖解析〗設(shè)，，的實(shí)部小于0，，取，則．．．〖答案〗（〖答案〗不唯一）16．已知菱形的邊長為2，．將沿折起，使得點(diǎn)至點(diǎn)的位置，得到四面體．當(dāng)二面角的大小為時，四面體的體積為；當(dāng)四面體的體積為1時，以為球心，的長為半徑的球面被平面所截得的曲線在內(nèi)部的長為．〖解析〗如圖1，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則，因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2，，所以，，故四面體的體積為；當(dāng)四面體的體積為1時，此時，解得：，，即，兩點(diǎn)重合，即底面，如圖2，以為球心，的長為半徑的球面被平面所截得的曲線為以為圓心，半徑為的圓，落在內(nèi)部的長為圓周長的一半，所以長度為．〖答案〗，四、解答題.本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知，，，．（1）若，求；（2）若，求．解：（1）因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，；?）因?yàn)椋?，所以，，所以?8．（12分）立德中學(xué)高一年級800名學(xué)生參加某項(xiàng)測試，測試成績均在65分到145分之間，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生的測試成績，分8組：第1組，，第2組，，，第8組，，統(tǒng)計(jì)得到頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)學(xué)生測試成績的平均數(shù)；（3）估計(jì)學(xué)生測試成績的中位數(shù)．解：（1）由頻率分布直方圖中各個小矩形面積之和為1可得：，解得．（2）平均數(shù)為：．（3），，中位數(shù)落在區(qū)間，，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，即中位數(shù)的估計(jì)值為100.29．19．（12分）已知向量，．（1）若，求；（2）若，函數(shù)，求的值域．解：（1）因?yàn)?，所以，即，則，所以；（2）因?yàn)?，所以，，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，，設(shè)，，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得：，，故的值域?yàn)?，?0．（12分）甲、乙兩人分別對，兩個目標(biāo)各射擊一次，若目標(biāo)被擊中兩次則被擊毀，每次射擊互不影響．已知甲擊中，的概率均為，乙擊中，的概率分別為，．（1）求被擊毀的概率；（2）求恰有1個目標(biāo)被擊毀的概率．解：（1）被擊毀則甲、乙兩人均要擊中目標(biāo)，故概率為．（2）被擊毀的概率為，則被擊毀，不被擊毀的概率為，被擊毀，不被擊毀的概率為，則恰有1個目標(biāo)被擊毀的概率為．21．（12分）在四邊形中，．（1）若，，，求四邊形面積的最小值；（2）若四邊形的外接圓半徑為1，，求的最大值．解：（1）延長，相交于點(diǎn)，，是邊長為2的正三角形，的面積為，在中，，由余弦定理得，，即，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）的面積，的面積的最大值為，四邊形面積的最小值為．（2）四邊形存在外接圓，，，，，四邊形為等腰梯形．連接，設(shè)，，，的外接圓半徑為1，在中，由正弦定理得，，，．同理可得，在中，由正弦定理可得，，，設(shè)，得，，，時，等號成立），，時，等號成立），當(dāng)時，取得最大值．22．（12分）如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的大小為．①畫出平面與平面的交線，并寫出畫圖步驟；②求的最大值．（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樗睦庵鶠橹彼睦庵?，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面；?）解：