線性荷載作用下工字形截面深梁應(yīng)力的解析計(jì)算方法

線性荷載作用下工字形截面深梁應(yīng)力的解析計(jì)算方法

梁是工程結(jié)構(gòu)中最基本的部分?，F(xiàn)代節(jié)水和土木工程的規(guī)模不斷擴(kuò)大，荷載隨著壓力的增加而增加。因此，作為受彎曲結(jié)構(gòu)的主支撐和受彎曲構(gòu)件的高度不斷增加。當(dāng)梁的框架相對(duì)較小且高度較大時(shí)，這就是深梁結(jié)構(gòu)。由于其巨大的承載能力，深梁越來越受到重視。例如，在建筑工程、節(jié)水工程、港口工程、鐵路工程等領(lǐng)域，深梁被廣泛應(yīng)用。當(dāng)深梁上有橫向負(fù)荷時(shí)，它同時(shí)承受彎曲、切割和壓縮。換言之，梁截面不僅具有正截面，而且還具有剪切截面。在與中性層平行的垂直纖維中，也存在由橫向力引起的壓縮力。長(zhǎng)度梁的純曲線理論不適用于計(jì)算深梁的壓力。長(zhǎng)久以來,許多學(xué)者致力于深梁應(yīng)力計(jì)算的研究[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17],其中文獻(xiàn)[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]以矩形截面深梁為研究對(duì)象,推導(dǎo)出不同支座形式深梁的應(yīng)力計(jì)算公式;工字形截面梁因其截面復(fù)雜,因此其受力機(jī)理比矩形截面梁的更為復(fù)雜,文獻(xiàn)[12,13,14,15,16,17]通過建立工字形截面深梁橫力彎曲的力學(xué)模型,推導(dǎo)出均布荷載及集中力作用下各種支座形式深梁的應(yīng)力計(jì)算公式,揭示了薄壁深梁彎剪耦合變形機(jī)理,豐富了著名力學(xué)家鐵摩辛柯的深梁理論.由于問題的復(fù)雜性,以上研究成果無法直接應(yīng)用于線性荷載作用下工字形截面深梁的應(yīng)力計(jì)算,故在以往研究成果的基礎(chǔ)上,以單軸對(duì)稱工字形截面單跨超靜定深梁為例,擯棄材料力學(xué)中平截面及縱向纖維互不擠壓的假設(shè),考慮彎剪耦合效應(yīng),推導(dǎo)出該類梁在線性分布荷載作用下的應(yīng)力解析計(jì)算公式,并分析剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響規(guī)律,以期為線性荷載作用下的工字形截面深梁的應(yīng)力計(jì)算提供理論計(jì)算方法.1被壓迫系數(shù)s1單軸對(duì)稱工字形截面形狀如圖1所示.單軸對(duì)稱工字形截面幾何特征參數(shù)的計(jì)算公式如式(1)所示.{α1=1+2β22(1+β1+β2),α2=1+2β12(1+β1+β2)S1=(1+2β2)β12(1+β1+β2)h2,S2=(1+2β1)β22(1+β1+β2)h2Ι=h312+(1+2β2)2β14(1+β1+β2)2h3+(1+2β1)2β24(1+β1+β2)2h3(1)式中,α1=h1/h;α2=h2/h;β1=A1/Af;β2=A2/Af;A1、A2分別為上下翼緣的面積;h1、h2分別為上下翼緣距中性軸的距離;h為梁高;腹板厚度為單位厚度,即1,面積為Af;I為工字形截面對(duì)中性軸的慣性矩;S1、S2分別為上下翼緣對(duì)中性軸面積矩的絕對(duì)值.2應(yīng)力分量的估計(jì)工字形截面單跨超靜定深梁是工程中常見的超靜定結(jié)構(gòu)之一,其典型結(jié)構(gòu)形式如圖2所示,梁長(zhǎng)為l,右端固定,左端鉸支,上翼緣承受三角形線性分布荷載,最大荷載集度為q0,將腹板和上下翼緣隔離開,研究腹板的受力機(jī)理,計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示.圖3中τ1和τ2分別為上下翼緣施加給腹板的切應(yīng)力,線性荷載集度沿x軸的大小為xq0/l,左右支座的支反力分別為q0l/10和2q0l/5.梁內(nèi)任一橫截面上的剪力和彎矩分別為FS(x)=110q0l-q02lx2(2)Μ(x)=q010lx-q06lx3(3)則τ1=FS(x)S1Ι,τ2=FS(x)S2Ι(4)由式(2)可知,在x=0.447l處橫截上的剪力為零,此截面為τ1和τ2的方向變化面,如圖3所示.按照彈性力學(xué)中的記法,令σx表示彎應(yīng)力,τxy表示切應(yīng)力,σy表示擠壓應(yīng)力,由于梁的上翼緣承受線性分布荷載,即荷載集度隨x的變化而變化,故σy不僅是y的函數(shù)還是x的函數(shù).在y=-h1的邊界上,σy=-q0x/l,在y=h2的邊界上,σy=0,故可假設(shè)σy=xf(y),應(yīng)用彈性力學(xué)中的半逆解法來求解各應(yīng)力分量,算得各應(yīng)力的彈性力學(xué)解答為{σx=x3(Ay+B3)+x(-2Ay3-2By2+6Ey+2F)+6Ηy+2Κσy=x(Ay3+By2+Cy+D)τxy=-x22(3Ay2+2By+C)+(A2y4+2B3y3-3Ey2-2Fy-L)(5)根據(jù)邊界條件來確定式(5)中的待定常數(shù)A、B、C、D、E、F、H、K、L.考慮主要邊界及次要邊界的應(yīng)力邊界條件為{(σy)y=-h1=-xlq0,(τxy)y=-h1=τ1(σy)y=h2=0,(τxy)y=h2=τ2∫h2-h1(σx)x=0dy+(σx)x=0,y=h2?A2+(σx)x=0,y=-h1?A1=0∫h2-h1(σx)x=0ydy+(σx)x=0,y=h2?A2h2-(σx)x=0,y=-h1?A1h1=0∫h2-h1(τxy)x=0dy=110q0l(6)將式(5)中相應(yīng)的應(yīng)力分量代入到式(6)中,并令{L=5(α42+α41)-2(α52+α51),Μ=h(S2+S1)Ι-2Ν=(α2-α1)[5(α22+α21)-15(α42+α41)+6(α52+α51)]Ρ=hΙ(S1-S2)(2α2-α1)+3(S2hΙ-1)(α2-α1)Q=5α42(1-α2)+2α2α41(3α1-5)-3α22α1(α2-α1)(3-α2α1)(7)可得到式(6)的解為{A=q0Ιh3l[h(S2+S1)-2Ι]B=q02Ιh2l{h[(S2-S1)-3(α2-α1)(S2+S1)]+6Ι(α2-α1)}C=q0Ιhl{S2h-α2h[3α1(S2+S1)+(S2-S1)]+6Ια2α1}D=q02Ιl{α22h[(α2+3α1)(S2+S1)+(S2-S1)]-(2α32+6α22α1)Ι-2S2hα2}E=110Ah2L+13Bh(α2-α1)-q0l10h3ΜF(xiàn)=Ah320Ν+16Bh2(6α2α1-1)+q0l10h2ΡL=110Ah4Q+13Bh3α1(α21+3α2α1-1)+3q0lα2110hΜ+q0lα15hΡ-q0lS110ΙΗ=0,Κ=0(8)參照文獻(xiàn),考慮彎剪耦合效應(yīng)的附加翹曲正應(yīng)力σq為σq=2(1+μ)Ιq0lx∫y0S*dy(9)式中,μ為泊松比;S*為距中性軸的距離為y以外部分的橫截面面積對(duì)中性軸的面積矩.重新記由彈性力學(xué)中的半逆解法所求得的彎應(yīng)力為σe,則彎應(yīng)力的最終表達(dá)式為σx=σe+σq(10)3橫截面彎力公式由上面的分析可知,線性荷載作用下單軸對(duì)稱工字形截面深梁的應(yīng)力計(jì)算公式非常復(fù)雜,不便對(duì)其作進(jìn)一步的分析,為了掌握剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響沿梁高及跨度的分布規(guī)律,以雙軸對(duì)稱工字形截面單跨超靜定深梁為例進(jìn)行分析,易得{A=-2q0lh316β+1,B=0,C=3q02hl4β+16β+1D=-q02l,E=q06β+1(l5h3-110lh),F=0L=q06β+1(h80l-3l20h-3l5hβ),Η=0,Κ=0(11)式中β為翼緣與腹板面積比,則可得到各應(yīng)力分量的計(jì)算公式{σx=2q0lh31(6β+1)y(35l2x-x3)+q0xlyh16β+1(4y2h2-35)+12(1+μ)q0h3(6β+1)xl[h2βy+(h24y-13y3)]σy=-q02lx(1-3yh4β+16β+1+4y3h316β+1)τxy=q0(35l2-3x2)lh16β+1(4β+14-y2h2)+q0ly6β+1(-y3h3+310yh-h80y)(12)記沿橫截面高度方向且受拉部分的面積矩為S,受壓部分的面積矩僅將S變?yōu)槠湎喾磾?shù)即可,并算得S=4β+18h2-12y2(13)前面已經(jīng)算得剪力FS(x)和彎矩M(x)的值,則式(13)可寫為{σx=Μ(x)Ιy+q0xlyh16β+1(4y2h2-35)+12(1+μ)q0h3(6β+1)xl[h2βy+(h24y-13y3)]σy=-q02lx(1-3yh4β+16β+1+4y3h316β+1)τxy=FS(x)SΙ+q0ly6β+1(-y3h3+310yh-h80y)(14)在主要應(yīng)力彎應(yīng)力σx的表達(dá)式中,第1項(xiàng)是主要項(xiàng),是彎矩產(chǎn)生的應(yīng)力,和材料力學(xué)的解答相同;第2項(xiàng)則是應(yīng)用彈性力學(xué)提出橫截面翹曲引起的應(yīng)力修正項(xiàng);第3項(xiàng)是彎剪耦合修正項(xiàng).應(yīng)力分量σy是梁的各纖維間的擠壓應(yīng)力,材料力學(xué)中不考慮這一項(xiàng).在切應(yīng)力τxy的表達(dá)式中,第1項(xiàng)是主要項(xiàng),是剪力產(chǎn)生的應(yīng)力,和材料力學(xué)的解答相同;第2項(xiàng)則是彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng).4不同跨高比的分布及分析為了方便應(yīng)力分布規(guī)律分析,引入量綱為1位置參數(shù)如下:剪高比ξ=2y/h,剪跨比η=x/l,跨高比α=l/h,則彎應(yīng)力σx的表達(dá)式可寫為σx=q0α26β+1ξη35-η21+12α2ξ2-3535-η2+6(1+μ)α2(35-η2)-ξ212+β+14(15)引入量綱為1翹曲正應(yīng)力λ,有λ=12α2ξ2-3535-η2+6(1+μ)α2(35-η2)-ξ212+β+14(16)λ代表剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響程度,為了反映剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響沿梁高的分布規(guī)律,以距鉸支端0.447l處橫截面為例進(jìn)行分析,該處截面具有最大的正彎矩,可知η=0.447,-1≤ξ≤1,取β=0.5,μ=0.3,作出不同跨高比下λ-ξ關(guān)系曲線如圖4所示;為了反映剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響沿梁跨度的分布規(guī)律,以下翼緣外側(cè)部分為例進(jìn)行分析,可知ξ=1,-1≤η≤1,作出不同跨高比下λ-η的關(guān)系曲線如圖5所示;為了反映λ關(guān)于跨高比α及翼緣與腹板面積比β的變化規(guī)律,以距鉸支端0.447l處橫截面下翼緣外側(cè)的點(diǎn)為例進(jìn)行分析,則η=0.447,ξ=1,作出不同面積比下的λ-α的關(guān)系圖及不同跨高比下的λ-β關(guān)系圖如圖6、7所示.由圖4～7得出如下結(jié)論:1)沿梁高方向,以距鉸支座0.447l處橫截面為例(該處截面具有最大的正彎矩),量綱為1翹曲正應(yīng)力λ與剪高比ξ的關(guān)系曲線總體趨于平穩(wěn),說明剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響沿梁高方向幾乎處于同一水平,這和剪應(yīng)力分布規(guī)律一致;2)沿梁跨度方向,以下翼緣外側(cè)為例,量綱為1翹曲正應(yīng)力λ與跨高比η的關(guān)系曲線以η=0.77為分界點(diǎn),分為左右2個(gè)區(qū)域,在左邊區(qū)域,沿梁跨方向,λ逐漸增大,說明剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響逐漸增大,在η=0.77處,剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響達(dá)到最大,由彎矩的表達(dá)式可知,η=0.77處橫截面的彎矩為0,故由純彎矩產(chǎn)生的彎應(yīng)力為0,彎應(yīng)力的產(chǎn)生是由于非平截面及相鄰橫截面翹曲不同步造成的,故在此處剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響達(dá)到最大,當(dāng)η>0.77時(shí),λ的值為負(fù),這主要是受固端彎矩的影響,且離固定端越近,影響越小;3)剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響隨翼緣與腹板面積比的增大而增大,隨跨高比的減小而增大,這均和以往的認(rèn)識(shí)一致;4)通過與均布荷載作用下的工字形截面深梁的量綱為1翹曲正應(yīng)力比較,在均布荷載集度和線性分布最大荷載集度相同的情況下,線性分布荷載作用下的量綱為1翹曲正應(yīng)力大于均布荷載作用下的量綱為1翹曲正應(yīng)力,亦即線性分布荷載變化率越大,翹曲正應(yīng)力也越大.5工字形截面深梁應(yīng)力的計(jì)算模型本文推導(dǎo)出線性荷載作用下工字形截面單跨超靜定深梁的應(yīng)力計(jì)算公式,并對(duì)剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響作了進(jìn)一步的分析,獲得剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響沿梁高和跨度的分布規(guī)律以及