專題10數(shù)列不等式證明-原卷版

專題10數(shù)列不等式證明不等式證明是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個心病,數(shù)列不等式證明更是心病中最痛的一個,卡殼點非常多,而且不容易消除.眾所周知,不等式證明需要技巧,然而技巧也是知識,面對數(shù)列不等式證明,準(zhǔn)確的審題和正確的解題思路并不意味著題目的解決,還必須正確和專業(yè)地完成一些技術(shù)性的具體操作,這些工作沒有創(chuàng)新性,但需要你的專業(yè)性和專注力.現(xiàn)實情況是,對大多數(shù)學(xué)生而言,這兩方面都存在著障礙與思維痛點.一、數(shù)列信息結(jié)構(gòu)識別之技數(shù)列不等式問題條件與結(jié)論中都有豐富的信息,比如項與項之間的代數(shù)結(jié)構(gòu)、項與前n項和的代數(shù)結(jié)構(gòu)等,這些代數(shù)結(jié)構(gòu)特點的識別或轉(zhuǎn)化直接制約著問題的求解.問題1:已知數(shù)列an滿足a1=12,a(I)證明:an(II)證明:Sn二、放縮結(jié)構(gòu)變形思維鏈接數(shù)列條件中項與項之間的代數(shù)結(jié)構(gòu)、項與前n項和的代數(shù)結(jié)構(gòu)本質(zhì)隱藏得比較深,需要若干次代數(shù)變形才能挖掘出來,許多學(xué)生推理思維鏈接不順暢,導(dǎo)致解題失敗.問題2:已知數(shù)列an滿足an>0,(I)證明:an(II)證明:a2三、數(shù)列單調(diào)性的判斷之技問題3:已知數(shù)列an滿足a1=(I)證明:1?a(II)設(shè)數(shù)列an2的前n項和為Sn四、數(shù)列變形中倒裂項之技問題4:數(shù)列an滿足a1=五、數(shù)列主干條件多次變形之技要善于積累數(shù)列不等式證明的各種分析方法,對于數(shù)列遞推關(guān)系式能多角度變形,以挖掘其性質(zhì),特別對有各類可能情形的進行全面考慮.對于數(shù)列不等式綜合性問題,要學(xué)會分解到基礎(chǔ)知識與基本方法層面,然后逐一解決,這也是培養(yǎng)面對復(fù)雜問題時,認識問題本質(zhì)、化整為零、各個擊破的素養(yǎng).問題5:已知數(shù)列an滿足a(I)an(II)0<S六、數(shù)列主干條件結(jié)構(gòu)變形之技在復(fù)雜數(shù)列中,項與項之間的數(shù)量關(guān)系的分析包括:解方程與代數(shù)式變形、不等式放縮、前n項和與第n項之間的聯(lián)系.問題6:已知數(shù)列an的首項a1=a,其前n項和為(I)用a表示a2(II)當(dāng)a=32時,證明:對任意n七、數(shù)列無理式的放縮之技問題7:設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a3=4,a(I)求數(shù)列an(II)記cn=a強化練習(xí)1.已知數(shù)列an滿足a1=12,a2=1,an+1=an+a2.已知等比數(shù)列an的公比q∈R且q≠1,其前n項和為Sn,若4a3,a4,a6成等差數(shù)列,則（）

3.若S=1+12+14.設(shè)數(shù)列an的前n項和為S(I)求an(II)若f(x)=5.在數(shù)列an中,已知an+1(I)求證:數(shù)列1a(II)設(shè)bn=an2-an,且6.設(shè)an=3n-7.已知數(shù)列an滿足a1=3,當(dāng)n(I)當(dāng)λ=0時,求數(shù)列an