二次曲線的相關(guān)問(wèn)題

二次曲線的性質(zhì)及應(yīng)用一一研究性學(xué)習(xí)報(bào)告山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008級(jí)23班劉謙益傅明睿陳霖

指導(dǎo)教師：王學(xué)紅摘要二次曲線與我們的生活密切相關(guān)，它們的性質(zhì)在生產(chǎn)、生活中被廣泛應(yīng)用。本小組成員在此次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中對(duì)二次曲線的性質(zhì)進(jìn)行了一系列探討，從二次曲線的定義入手，就二次曲線的方程、光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用等方面展開說(shuō)明。AbstractConicsarecloselyrelatedtoourliving.Theircharactershavebeenwidelyappliedintheproducingandourliving.Themembersofourteamcarriedoutaseriesofdiscussionswiththecharactersoftheconicsattheresearch-basedlearningactivities.Startingwiththedefinitionofconics,weilluminatedwiththeequation,theopticalpropertiesandtheapplicationareasoftheconics.二次曲線的性質(zhì)及應(yīng)用 研究性學(xué)習(xí)報(bào)告山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008級(jí)23班劉謙益傅明睿陳霖

指導(dǎo)教師：王學(xué)紅一、緒論在我們的生活中，二次曲線無(wú)處不在。車輪滾滾，留下一路紅塵；烈日炎炎，照亮亙古乾坤。這些都給我們留下圓的形象。構(gòu)筑了五彩世界的圓，就是最簡(jiǎn)單的二次曲線——x2+y2=r2從橢圓方程說(shuō)起當(dāng)我們?cè)诩埳厢攦蓚€(gè)圖釘，（它們的間距為2c），將一根長(zhǎng)為l的繩子分別各系在一個(gè)圖釘上，用筆繃緊繩子繞一圈，就畫出了一個(gè)橢圓一一因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和相等，而且不難得出這個(gè)橢圓長(zhǎng)軸 a=:,短軸b=-c2,我們把它放在直角坐標(biāo)系中，設(shè)F1（c,0），F(xiàn)2（-c,0），可知橢圓上任意一點(diǎn)p（x,y）滿足PF1+PF2=l=2a。因此：了》2+（了+c）2+、：y2+3_c）2=2ac2=a2—b2,x2b2+y2a2=a2b2—+—=1，當(dāng)a=b時(shí)方程為圓方程。a2 b2類似的，我們也有雙曲線——就是到間距為2c的兩交點(diǎn)距離之差為定值2a的點(diǎn)構(gòu)成的曲線方程為X2—y2=1，如圖a2b2這里b=\：CF是雙曲線的虛軸長(zhǎng)。我們不難發(fā)現(xiàn)，橢圓和雙曲線的方程都能寫成弘2+°2=i 的形式以、c至少有一個(gè)為正）。以前我們所熟悉的拋物線y=kx2,也是一種二次曲線，它們都是開口向上或開口向下的，這里我們把它踢倒，讓它歪90°，就得到開口向左或向右的拋物線一一y2=2px（如圖就是一個(gè)開口向右的拋物線，但它不是一個(gè)函數(shù)圖像）。二、二次曲線與二元二次方程2.1二次曲線與二元二次方程的關(guān)系二元一次方程表示一次曲線——直線，那么二元二次方程表示什么呢？有人會(huì)說(shuō)，一定表示二次曲線嘍！我們不妨試一試。我們把圓M：x2+J2=r2 經(jīng)過(guò)平移，得到3-m）2+3-n）2=r2把它展開后，與一般二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0進(jìn)行對(duì)照，會(huì)發(fā)現(xiàn)它的限制條件太多了：首先B必須為0，而且A和C必須相等，且不為0，因?yàn)樵匠陶归_后無(wú)xy項(xiàng)，且x2和以y2項(xiàng)系數(shù)都為1，無(wú)論乘以幾都相等，滿足這些還不行，D2+E2-4AF必須是正的，否則方程會(huì)無(wú)解或有唯一解，也就是說(shuō)方程不表示任何圖形，或只表示一個(gè)點(diǎn)（當(dāng)然“點(diǎn)圓”模型在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)也是有用的）因此，一般二元二次方程絕不可能只表示圓。我們把剛才得到的二次曲線表達(dá)式進(jìn)行平移改寫，橢圓、雙曲線變成Ax2+Cy2t；拋物線y2=2px變成 A（x-榆2+c（y-n）2=1 、y=kx2變成y-n=k（x-m）2，把它們展開得到一些方程，都是二元二次方程，但不是xy項(xiàng)系數(shù)B等于0，就是x2項(xiàng)系數(shù)A或y2項(xiàng)系數(shù)C為0，因此一般二

元二次方程也不是只表示上述二次曲線平移后所得的圖形。二元二次方程還有一個(gè)重要的東西——準(zhǔn)線。，我們作直線I”X2V2 X2y，我們作直線I”對(duì)于橢圓 一?+富=1 和雙曲線一?一77=1a2b2 a2b2X= 12：X=-§，不難發(fā)現(xiàn)橢圓和雙曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到所c作的與焦點(diǎn)同側(cè)的直線距離之比e都相等，且都等于a，這時(shí)1］和12就是橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線，e成為離心率。對(duì)于拋物線y2=2px也易證拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F（Po）的距離和準(zhǔn)線1：x=-P的距離相等，即e=1。2 2這樣就有了準(zhǔn)線和離心率的定義。這樣所有的二次曲線都能表示成為到定點(diǎn)F和定直線距離之比等于e的所有點(diǎn)構(gòu)成的曲線。對(duì)于橢圓，0<e<1,e越大橢圓就越扁；對(duì)于拋物線e=1；對(duì)于雙曲線e>1。焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和離心率都確定了，二次曲線就確定了（圓除外，規(guī)定圓e=0，無(wú)準(zhǔn)線，焦點(diǎn)位于圓心）。再去看討論過(guò)的二次曲線，不難發(fā)現(xiàn)它們的準(zhǔn)線都與坐標(biāo)軸垂直，這就限制了二次方程系數(shù)的取值。我們將二次曲線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)和離心率都取任意值，再試著去求二次曲線的方程：設(shè)二次曲線準(zhǔn)線1：px+qy+s=0，焦點(diǎn)F（m，^，離心率為e。對(duì)于二次曲線上的任意一點(diǎn)P（x，y），PF的長(zhǎng)與P到直線1的距離之比都是e。因此：(X一m)2+(y一n)2 =e2(px+qy+s)2p2+q2(p2+q2)(x一m)2+(p2+q2)(y一n)2=e2(pX+qy+s)2展開，整理得：[(e2—1)p2一q2]x2+2pqe2Xy+[(e2—1)q2一p2]y2+Dx+Ey+F=0它的A,B,C的值都不一定為0.因此它是一般二元二次方程的形式。因此：一般二元二次方程在有無(wú)數(shù)多組解時(shí)，表示二次曲線。以下需要說(shuō)明的是：試著計(jì)算一下B2-4AC，可以發(fā)現(xiàn)：B2-4AC=4{(pqe2)2-[(e2-1)p2-q2][(e2-1)2q2-p2]}=4(2e2p2q2-2p2q2+e2p4+e2q4-p4-q4)=4(p2+q2)2(e2-1)由于(p2+q2)2一定為正，因此B2-4AC>0時(shí)，e>1，方程表示雙曲線B2-4AC=0時(shí)，e=1，方程表示拋物線B2-4AC<0時(shí)，e<1，方程表示圓或橢圓2.2拋物線方程的部分性質(zhì)當(dāng)B2-4AC=0時(shí)，二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的是拋物線，由于拋物線頂點(diǎn)處切線與對(duì)稱軸(主光軸)垂直，設(shè)頂點(diǎn)處切線為nx-my+t2=0，對(duì)稱軸為mx+ny+t1=0。由于拋物線上的點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離的平方與到頂點(diǎn)處切線的距離成正比，因此：(mx+ny+1)2=k(nx-my+1)因此將方程配成(mx+ny+1)2-k(nx-my+七)=0的形式，即可得出拋物線的對(duì)稱軸mx+ny+11=0，頂點(diǎn)處的切線k為nx-my+匕=0，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為… 、4^(m2+n2)當(dāng)k=0時(shí)，曲線退化成兩條重合的直線mx+ny+1=0。還有一種情況，就是方程能配成(mx+ny+t)(mx+ny+?=°時(shí)，二次曲線退化成兩條平行的直線mx+ny+1=0和mx+ny+1=02.3雙曲線方程的部分性質(zhì)以任意雙曲線對(duì)稱中心為原點(diǎn)O?，開口方向?yàn)閤，軸建立坐標(biāo)系，易證雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線距離乘積為定值。因此，當(dāng)雙曲線漸近線分別為m1x+n1y+t1=0,m2x+n2y+t2=0時(shí)，雙曲線可表示成

(m(m1x+n1y+t1)(m2x+n2y+t2)=k。因此二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0中B2中B2-4AC>0時(shí)，將它配成(m1x+n1y+t1)(m2x+n2y+t2)=kTOC\o"1-5"\h\z的形式，則雙曲線漸近線為mx+ny+t=0,mx+ny+t=0。雙曲線上任意I I* Ih / 7— /k , 一點(diǎn)到兩漸近線距離乘積為丁(秫2+n2)(”2+n2)，當(dāng)k=0時(shí)，曲線退化成112 2兩條相父直線m1x+n1y+t1=0,m2x+n2y+t2=0。2.4橢圓方程的部分性質(zhì)我們作x軸的平行線，去截橢圓Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,那么直線和橢圓可能有兩個(gè)，一個(gè)或沒有公共點(diǎn)。將橢圓方程看做關(guān)于x的方程：Ax2+(By+D)x+(Cy2+Ey+F)=0△=(By+D)2-4A(Cy2+Ey+F)=(B2-4AC)y2+(2BD-4AE)y+(D2-4AF)由于B2-4AC<0因此△有最大值。當(dāng)△max為正時(shí)，方程才有無(wú)數(shù)多組解，方程表示橢圓。當(dāng)△max=0時(shí)，方程有唯一解，表示一個(gè)點(diǎn)。max的符號(hào)由△表達(dá)式的判別式△2決定。2=(BD-2AE)2-(B2-4AC)(D2-4AF)=4A2E2+4ACD2+4AFB2-4AEBD-16A2CF2>0時(shí)，方程表示橢圓2=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)。2<0時(shí)，方程無(wú)解，不表示任何圖形。由橢圓的對(duì)稱性還可得出：當(dāng)y的取值介于y的最大值和最小值之間時(shí)，該平行于x軸的直線過(guò)橢圓中心，即橢圓中心的橫縱坐標(biāo)使△的值最大。因此橢圓中心縱坐標(biāo)：2AE-BDy 七B2-4AC由于方程中x和y是齊次對(duì)稱，因此將x和y的系數(shù)對(duì)換，即可得橢

圓中心的橫坐標(biāo)：2CD-BE

x= MB2-4AC其實(shí)，雙曲線的中心也可以用這個(gè)公式求出。2.5小結(jié)至此，我們可以把二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的圖形做一個(gè)小結(jié)了：當(dāng)B2-4AC<0時(shí)：△2<0，方程無(wú)解，不表示任何圖形?！?=0，方程有唯一解，表示一個(gè)點(diǎn)?！?>0，方程有無(wú)數(shù)多組解，表示圓或橢圓。當(dāng)B2-4AC=0時(shí)：能配成(mx+ny+t1)(mx+ny+t2)=0時(shí)，表示兩平行直線mx+ny+t1=0和mx+ny+t2=0能配成(mx+ny+t)2=0時(shí)，表示兩重合直線mx+ny+t=0不能配成上述兩種形式時(shí)，將它配成(mx+ny+t)2-k(nx-my+p)=0,方程表示以mx+ny+t=0為對(duì)k\稱軸，頂點(diǎn)切線為nx-my+p=0,焦距為 . :4、.?(m2+n2)的拋物線。拋物線開口由k的符號(hào)確定。當(dāng)B2-4AC>0時(shí):將它配成(m1x+n1y+t1)(m2x+n2y+t2)=ka)k=0時(shí)，表示兩相交直線m1x+n1y+t1=0和m2x+n2y+t2=0b)k不等于0b)k不等于0時(shí)，表示以m1x+n1y+t1=0和m2x+n2y+t2=0為漸近線的雙曲線，雙曲線的位置分別由k的符號(hào)和大小決定。三、二次曲線的光學(xué)性質(zhì)我們把汽車的鏡前燈砸開，會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)拋物面。那么拋物線等二次曲線有什么光學(xué)性質(zhì)呢？3.1拋物線的光學(xué)性質(zhì)如圖，設(shè)拋物線焦距為f，焦點(diǎn)F（f，0）。那么易得拋物線方m2— f義片尸。由導(dǎo)數(shù)公式算出P處切線斜率f程為y2— f義片尸。由導(dǎo)數(shù)公式算出P處切線斜率f不妨設(shè)m>0，則yp：2f :"=1 ，,m2、m:官）根據(jù)光的反射定律，反射面切線平分入射光線與反射光線的夾角。當(dāng)PF斜率不存在時(shí)，P（f，2f），P處切線斜率為1，因此反射光線斜率為0，即反射光線平行于x軸。當(dāng)PF斜率存在時(shí)，（設(shè)為k1），則2m 2mfk= =1m2尸m2-f2-ff因?yàn)?ftan29廣=2mf21—m2因此tan20P=k1，即PF仰角為P處切線仰角的兩倍，因此反射光線PQ與x軸平行。因此二次曲線的一條重要光學(xué)性質(zhì)：從拋物線焦點(diǎn)處發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線主光軸。

由于光路可逆，因此：平行于拋物線的主光軸光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線所在的直線會(huì)聚于焦點(diǎn)。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以制作拋物線形狀的鏡子一一凹面鏡和凸面鏡。如圖，當(dāng)物體A、B位于主光軸附近時(shí)，可近似的認(rèn)為PO垂直于OA.而丑=po=竺=J，AL=u，因此 =uAB'AB'FAv-fAB'v v-fv因此面鏡成像與透鏡有相似的性質(zhì)：（v<0為虛像，凹面鏡f<0）。（u：物距，V：像距）。凸面鏡與凹透鏡相似，總能形成正立、縮小的虛像（因?yàn)閒<0）；凹面鏡成像與凸透鏡相似，當(dāng)u<f時(shí)呈正立、放大的虛像，當(dāng)u=f時(shí)不成像，f<u<2f時(shí)成倒立、放大的實(shí)像，u=2f時(shí)成倒立等大的實(shí)像,u>2f時(shí)成倒立、縮小的實(shí)像。拋物線的光學(xué)性質(zhì)非常有用，前面提到的汽車前燈，就是將燈泡裝在拋物面的焦點(diǎn)處，用平行光線照亮路面。太陽(yáng)能熱水灶的原理就是利用巨大的拋物面聚集日光來(lái)加熱水。將光線通過(guò)紅寶石激光器可得激光，這通常需要大量紅寶石，而如果用凹面鏡把光線聚集起來(lái)，則可大大減少紅寶石的用量。公元前215年，當(dāng)羅馬的戰(zhàn)船逼近敘拉古城的時(shí)候，阿基米德從容地指揮島上的居民用鏡子排成一個(gè)巨大的拋物線，把反射的陽(yáng)光聚在敵軍的船帆上，不一會(huì)兒敵人就全被燒成烤鴨了。科學(xué)，是最厲害的武器。3.2橢圓、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)拋物線，有奇特的光學(xué)性質(zhì)，同樣橢圓、雙曲線也有一些光學(xué)性質(zhì)：從橢圓或雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射的光線，經(jīng)反射后，反射光線所在的直線過(guò)

J2J2—x2=1，取它x軸以上的部分，則它是一個(gè)函b2a2如圖，設(shè)雙曲線方程為如圖，設(shè)雙曲線方程為TOC\o"1-5"\h\z數(shù)圖像 ■——一’ X2j=b'1+— ?- : . a2，焦點(diǎn)F(0,\：a2+b2),F(0,—a2+b2)

1 2取雙曲線上任意一點(diǎn)P(P不在y軸上)，設(shè)P(m,n)，則P點(diǎn)處切線斜率:[b 2m bmk= =——,Pa2\a2+m2a、a2+m2PF1斜率：k=y-j=b<a2+m2-aja2+b2TOC\o"1-5"\h\zx—x ampf2斜率：J fk=y-y=bga2+m2+aja2+b2x—x am因此可以求出PF1與PF2仰角之和(設(shè)為a)的正切值:2b、￡a2+m2tanak+k_ am _2abmpa2+mtana1一kk1b2(a2+m2)一a2(a2+b2)a2m2+a4一b2m212 1一 a2m2也可以求出P點(diǎn)處切線仰角0P的二倍角的正切值:

2bmc 2ktan20c 2ktan20= p-P1-k2pa'a2+m2 _2abm、.；a2+m2b2m2 a2m2+a4-b2m21— a2(a2+m2)因此tana=tan20 ，艮口a=20因此P點(diǎn)處切線平分PF1與PF2的夾角，即從一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射光線所在直線過(guò)另一焦點(diǎn)。同樣也能證明：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)。四、極坐標(biāo)系下的二次曲線4.1拋物線的極坐標(biāo)方程我們將拋物線的焦點(diǎn)作為原點(diǎn)O,以開口方向?yàn)閤軸，則解析式為y2=2p3+p)'即y2-2Px-p2=0①，取加號(hào)，化簡(jiǎn)得轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)下，y=Psin0，x=Pcos0，.則:P2sin20—2PPcos0—p2=0.?. _pcos0土p①，取加號(hào)，化簡(jiǎn)得1—cos20pP= 1—cos0pP= 1—cos0由①式還可推出拋物線過(guò)交點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式:l=P1—P2p2p21一cos20 sin204.2橢圓，雙曲線的極坐標(biāo)方程由X=Pcos0'y=Psin0，即可得，中心在極點(diǎn)、準(zhǔn)線與極軸垂直的橢圓方程為p2(cos29+sin29)_^TOC\o"1-5"\h\za2 b2雙曲線方程為 p2(cos29_sin29)=ia2 b2我們?cè)囍鴮E圓左焦點(diǎn)移至原點(diǎn)，則3-c)2+21T，由于b2=a2-c2,a2 b2尤=pcos9,y=psin9,因此：p2cos29+p2sin292cp9+c2]°a2 a2一c2 a2 a2化簡(jiǎn)得：p2(a2—c2cos9)—2c(a2—c2)pcos9+(a2—c2)2=0由于e=c，化簡(jiǎn)得 a2-c2a p= 1一ecos9epa2-c2表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p,因此：p=1_ecos9cep同理，也可推出雙曲線也能寫成p=1一ecos9的形式。因此，焦點(diǎn)在極點(diǎn)、準(zhǔn)線垂直于極軸且到極點(diǎn)距離為p的二次曲線極坐標(biāo)方程為p=ep。1一ecos9五、有關(guān)二次曲線的補(bǔ)充內(nèi)容以上就是我們主要研究的內(nèi)容，我把從資料上獲得的內(nèi)容寫在下面，作為補(bǔ)充。5.1二次曲線的參數(shù)方程x2y2一 x y橢圓參數(shù)方程：由云+b=1得：當(dāng)a=*0時(shí)：b=sin0，因此橢圓參

'x=acos0數(shù)方程為 y=b'x=acos0數(shù)方程為 y=bsin0，拋物線參數(shù)方程:{x=2pt2因此 y=2pt雙曲線參數(shù)方程:當(dāng)X=seco時(shí):a平移后有y=n+bsin0 (。為參數(shù))。由y2=2px得：y=2pt時(shí)：x=2pt2(t為參數(shù))為拋物線參數(shù)方程。X2 (t為參數(shù))為拋物線參數(shù)方程。中——_——=1得.由a2b2 得:V—=tan0bx=asecO因此雙曲線參數(shù)方程為：y=btanox=m+asec0平移后得： y=n+btan05.2常見二次曲線系同圓系一樣，具有某一共同性質(zhì)的二次曲線也能用二次曲線系表示，以下是常見的幾種二次曲線系(X，四表示參數(shù)，匕=A.X+"C)當(dāng)三角形三邊方程為f=0(i=1，2,3)時(shí)，過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的二次曲線系為f1f2心°。財(cái)=0當(dāng)四邊形四條邊方程順次為f=0(i=1，2,3,4)時(shí)，過(guò)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的二次曲線系為"勺=0切已知兩直線『0,f2=0,于已知點(diǎn)M，N的二次曲線系為ff+f0f3=0為過(guò)M，N的直線方程過(guò)兩直線『0,?2=0,與二次曲線F(x,y)=0的四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線系:F(x,y)+ff2=0過(guò)兩二次曲線F](x,y)=0,F2(x,y)=0的交點(diǎn)的二次曲線系(F2(x,y)=0除外)：F(x,y)+人F(x,y)=01 2共交點(diǎn)有心二次曲線（橢圓和雙曲線）系:X2 V2 + 。=1m2一人n2一人其中半焦距c=Jm2-n2共頂點(diǎn)二次曲線系：X2V2—+—=1a2人共離心率橢圓系：X2V2——=xa2b2共漸近線（共離心率）雙曲線系：X2V2——一——=人a2b2六、二次曲線性質(zhì)的應(yīng)用二次曲線的性質(zhì)，具有非常廣泛的應(yīng)用。b例如：我們非常熟悉的“對(duì)勾函數(shù)”V=ax+-稍微變形一下就成了：ax2-xy+b=0，是二元二次方程，B2-4AC=1＞。因此它的圖像為雙曲線。至于它的增減區(qū)間、值域等問(wèn)題，一求導(dǎo)數(shù)y，=a-b全部OK。X2二次曲線的性質(zhì)還可以用來(lái)解決一些看似與它本身毫不相關(guān)的問(wèn)題。例如：統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常要處理一些散點(diǎn)數(shù)據(jù)G,V,V）......（X,V）