數(shù)學人教B版選修2-3本章整合第二章概率

本章整合知識網絡專題探究專題一：相互獨立事件的概率與條件概率【應用】某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題．競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分．假設這名同學答對第一、二、,,，且各題答對與否相互之間沒有影響．(1)求這名同學得300分的概率；(2)求這名同學至少得300分的概率．提示：本小題考查概率知識．(1)同學得300分必是第一、二題一對一錯，這樣得100分，而第三題一定答對，所以一共得分是300分．(2)至少300分，意思是得300分或多于300分，而本題包括兩種情況：一種是得300分，另一種是得400分，兩種概率相加即可．解：記“這名同學答對第i個問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)這名同學得300分的概率為P1＝P(A1eq\x\to(A2)A3)＋P(eq\x\to(A1)A2A3)＝P(A1)·P(eq\x\to(A2))·P(A3)＋P(eq\x\to(A1))·P(A2)·P(A3)××××0.6＝0.228.(2)這名同學至少得300分的概率為P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)·P(A2)·P(A專題二：離散型隨機變量的分布列求離散型隨機變量的分布列的關鍵是解決兩個問題：一是隨機變量的可能取值；二是隨機變量取每一個值時的概率．針對于不同的題目，應認真分析題意，明確隨機變量，正確計算隨機變量取每一個值時的概率．求概率主要有兩種類型：(1)古典概型，利用排列組合知識求解；(2)獨立重復試驗，即X～B(n，p)，由P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k計算．一般地，離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和，利用這一性質可以由概率的分布列求出隨機變量在所給區(qū)間的概率．【應用】如圖是一個從A→B的“闖關”游戲．規(guī)則規(guī)定：每過一關前都要拋擲一個在各面上分別標有1,2,3,4的均勻的正四面體．在過第n(n＝1,2,3)關時，需要拋擲n次正四面體，如果這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n，則闖關成功．(1)求闖第一關成功的概率；(2)記闖關成功的關數(shù)為隨機變量X，求X的分布列．解：(1)拋一次正四面體，面朝下的數(shù)字有1,2,3,4四種情況，大于2的有兩種情況，故闖第一關成功的概率為eq\f(1,2).(2)記事件“拋擲n次正四面體，這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n”為事件An，則P(A1)＝eq\f(1,2)，拋擲兩次正四面體面朝下的數(shù)字之和的情況如圖所示，易知P(A2)＝eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).設拋擲三次正四面體面朝下的數(shù)字依次記為：x，y，z，考慮x＋y＋z＞8的情況，當x＝1時，y＋z＞7有1種情況；當x＝2時，y＋z＞6有3種情況；當x＝3時，y＋z＞5有6種情況；當x＝4時，y＋z＞4有10種情況．故P(A3)＝eq\f(1＋3＋6＋10,43)＝eq\f(5,16).由題意知，X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝P(eq\x\to(A1))＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝P(A1eq\x\to(A2))＝eq\f(1,2)×eq\f(3,8)＝eq\f(3,16)，P(X＝2)＝P(A1A2eq\x\to(A3))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(11,16)＝eq\f(55,256)，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(5,16)＝eq\f(25,256).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,2)eq\f(3,16)eq\f(55,256)eq\f(25,256)專題三：離散型隨機變量的期望與方差期望和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在期望這一概念之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的期望的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產生活中應用廣泛．求離散型隨機變量X的期望與方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率或求出P(X＝k)；(3)寫出X的分布列；(4)由分布列和期望的定義求出E(X)；(5)由方差的定義求D(X)．若X～B(n，p)，則可直接利用公式求：E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【應用1】設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分．(1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.提示：(1)在分析取到兩球的顏色時，要注意是有放回地抽取，即同一個球可能兩次都能抽到；(2)根據(jù)計算數(shù)學期望與方差的公式計算，尋找a，b，c之間的關系．解：(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36)，所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9)，化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2【應用2】投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．，．(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．提示：本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨立事件、分布列及期望的相關知識．解：(1)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；C表示事件：稿件能通過復審專家的評審；D表示事件：稿件被錄用．則D＝A＋BC，P(A×0.5＝0.25，P(B)＝2××0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝P(A)＋P(B)P(C×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，所以P(X＝0)＝(1－0.4)46，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)××(1－0.4)36，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×2×(1－0.4)26，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×3×6，P(X46.因此X的分布列為X01234P66666期望E(X)＝4×0.4＝1.6.專題四：數(shù)學期望在風險與決策中的應用在日常生活中，人們經常要面臨“風險”．為了減少風險，我們決策時必須平衡極大化期望和極小化風險這樣矛盾的要求，還必須在一個多階段過程的每一階段作出決策．但是始終有一條指導性原則：盡你的最大努力去決定各種結果在每一階段出現(xiàn)的概率及這些結果的價值或效用，計算每一種行動方案的期望效應并斷定給出最大期望效應的策略．這也就是說利用隨機變量的概率分布計算期望值后，就可以選擇能給出最大期望值的行動．【應用】某突發(fā)事件，，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失，現(xiàn)有甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，、乙兩種預防措施單獨采用，聯(lián)合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少．(總費用＝采取預防措施的費用＋發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值)解：(1)不采取預防措施時，總費用損失期望為400×0.3＝120(萬元)；(2)若單獨采取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9＝0.1，損失期望值為400×0.1＝40(萬元)，所以總費用為45＋40＝85(萬元)；(3)若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85＝0.15，損失