隨機(jī)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)等效阻尼及等效剛度的非線性分析

隨機(jī)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)等效阻尼及等效剛度的非線性分析

隨著機(jī)制振動(dòng)，結(jié)構(gòu)有時(shí)超過了線性彈性區(qū)域。在這種情況下，線性模型無法滿足所需的量。為了正確的研究結(jié)構(gòu)，需要建立非線性模型。對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的辨識(shí)來說,通常有3個(gè)步驟:第1個(gè)步驟是識(shí)別非線性的存在;第2個(gè)步驟是判別非線性的性質(zhì);第3步是建立系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。目前判別非線性的存在已經(jīng)比較成熟,主要有幅值域、頻域、時(shí)域方法。定性研究包括系統(tǒng)非線性的定位、非線性類型、非線性方程幾種,本文集中研究非線性類型這部分。Feldmen研究了時(shí)域中應(yīng)用Hilbert變換判別隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)非線性類型的方法;Stasze應(yīng)用小波變換,Franco應(yīng)用Gabor變換研究了系統(tǒng)非線性定性方法;WordenK等研究了正弦激勵(lì)下非線性系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵(lì)量級(jí)變化而發(fā)生的變形,并根據(jù)系統(tǒng)分別存在非線性阻尼和非線性剛度時(shí)變形的規(guī)律不同而由此判斷系統(tǒng)中非線性的類別。FPK(福克-普朗克-可爾莫哥洛夫)方程是目前研究隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)方程最常用的近似方法,DunneJF研究了隨機(jī)激勵(lì)下立方剛度時(shí),阻尼分別是線性和非線性時(shí)FPK方程的解;Wang討論了非線性部分為多項(xiàng)式時(shí),高斯隨機(jī)激勵(lì)下FPK方程存在精確解的條件。Yang[7―8]結(jié)合FPK法和等效線性化法研究了考慮平方阻尼、線性阻尼、庫侖阻尼及非線性彈性元件的多介質(zhì)耦合模型,分析了非線性參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)特性的變化。文獻(xiàn)給出了正弦激勵(lì)下,根據(jù)系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵(lì)量級(jí)增大而產(chǎn)生圖形變形的不同規(guī)律進(jìn)行非線性定性分析的準(zhǔn)則。本文參考文獻(xiàn)的準(zhǔn)則,旨在給出隨機(jī)激勵(lì)下,通過系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵(lì)量級(jí)的變化進(jìn)行定性分析的方法。本文在文獻(xiàn)和文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上分別考慮了帶有平方阻尼、庫侖阻尼、軟彈簧、硬彈簧的單自由度非線性方程,結(jié)合FPK法和線性等效原理對(duì)幾種模型進(jìn)行了近似求解,并分別畫出了帶有這幾種非線性因素的系統(tǒng)的等效頻響函數(shù)及奈奎斯特圖。得到隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)頻響函數(shù)隨外激勵(lì)量級(jí)的變化規(guī)律,從而給出了適用于隨機(jī)激勵(lì)的通過等效頻響函數(shù)隨激勵(lì)量級(jí)變化的趨勢(shì)來判別單自由度系統(tǒng)非線性特性的方法。1非線性阻尼、非線性剛度對(duì)于單自由度系統(tǒng)非線性振動(dòng)方程,其一般形式如下式:故式(1)可寫成:式中、ψ(y)分別為非線性阻尼和非線性剛度。下面分別考慮含有平方阻尼、庫侖阻尼、立方剛度的單自由度非線性方程FPK法求解和其等效線性頻響函數(shù)隨外激勵(lì)變化規(guī)律。1.1等效阻尼分析選比較常見的非線性阻尼平方阻尼作為本文研究對(duì)象。設(shè)一單自由度系統(tǒng),x為輸入激勵(lì),a為質(zhì)量塊加速度。設(shè)相對(duì)位移y=a-x,令φ(y)為平方阻尼2cyy,則帶有平方阻尼的微分方程為:式中:m為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量;k為線性剛度系數(shù);c1為粘性阻尼系數(shù);c2為平方阻尼系數(shù);為輸入激勵(lì);為相對(duì)速度;為相對(duì)加速度。整理式(2),得到:設(shè)外激勵(lì)為理想白噪聲,D為其強(qiáng)度,則可得FPK方程:在白噪聲激勵(lì)下,考慮到平穩(wěn)隨即過程有,所以式(4)變?yōu)?設(shè),其意義是認(rèn)為y與是互不相關(guān)的,或者相互關(guān)系很小。若要求式(5)為恒等式,則有:則式(6)變?yōu)?求解得:得:為求得上式近似解,將上式分母中第二項(xiàng)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開:則A分母變?yōu)?注意到,對(duì)形如的積分,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令:則將I對(duì)a求導(dǎo)可得n為偶數(shù)時(shí)的積分值。本文中,還將用到另一種形式,為:則將I對(duì)a求導(dǎo)可得n為奇數(shù)時(shí)的積分值。根據(jù)線性等效原理,令式(1)變?yōu)?其中:meq為等效質(zhì)量;ceq為等效阻尼系數(shù);keq為等效剛度;x(t)為輸入力。隨機(jī)激勵(lì)下等效阻尼及剛度為:將平方阻尼代入式(16)則可得到等效阻尼系數(shù)ceq:應(yīng)用式(12)、式(13)及其推導(dǎo)出來的結(jié)果可得:1.2克隆衰減令,與解平方阻尼的步驟相似,可得到等效阻尼系數(shù):1.3等效剛度方程令ψ(y)為k3y3,解其FPK方程。則得到等效剛度:其中:以上推出的表達(dá)式中系數(shù)與文獻(xiàn)給出的同時(shí)含有多種介質(zhì)模型的等效阻尼剛度表達(dá)式中相同相系數(shù)相同,表明本文得到的結(jié)果是可信的。1.4外激勵(lì)不同頻次時(shí)系統(tǒng)的頻響函數(shù)變化根據(jù)線性等效原理,等效頻響函數(shù)為:將幾種情況下的近似解分別代入式(21)即可得到存在不同非線性特性系統(tǒng)的等效頻響函數(shù)。圖1―圖4列出了幾種情況下的等效頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖。由圖1(a)可見,當(dāng)系統(tǒng)存在非線性平方阻尼時(shí),頻響函數(shù)的幅值隨外加激勵(lì)的改變而改變,隨著激勵(lì)量級(jí)的增加,共振峰處放大倍數(shù)降低;在圖1(b)上可以看出,隨外激勵(lì)量級(jí)的增大頻響函數(shù)的模減小,奈奎斯特圖向內(nèi)收縮。由圖2可見,當(dāng)系統(tǒng)存在庫侖阻尼時(shí),共振峰處的放大倍數(shù)隨著外加激勵(lì)量級(jí)的增加而增加,隨著外加激勵(lì)的增大,奈奎斯特圖向外膨脹。由圖3、圖4可以看出,當(dāng)存在非線性剛度時(shí),系統(tǒng)頻響函數(shù)圖隨著激勵(lì)量級(jí)增大而發(fā)生改變,當(dāng)K3<0時(shí),系統(tǒng)固有頻率隨外加激勵(lì)量級(jí)增加而降低,發(fā)生向下移頻現(xiàn)象,奈奎斯特圖向外膨脹,呈現(xiàn)軟彈簧性質(zhì);當(dāng)K3>0時(shí),系統(tǒng)固有頻率隨激勵(lì)量級(jí)增加而增加,發(fā)生向上移頻現(xiàn)象,奈奎斯特圖向內(nèi)收縮,使系統(tǒng)呈現(xiàn)硬彈簧性質(zhì)。綜上所述,系統(tǒng)的非線性阻尼使系統(tǒng)頻響函數(shù)圖隨外激勵(lì)變化呈現(xiàn)共振峰處放大倍數(shù)的變化;非線性阻尼使得系統(tǒng)的頻響函數(shù)發(fā)生頻率漂移現(xiàn)象。這樣,在隨機(jī)激勵(lì)試驗(yàn)中,可應(yīng)用不同量級(jí)的頻響函數(shù)曲線與外激勵(lì)的變化規(guī)律定性的分析系統(tǒng)中存在的非線性類型,從而指導(dǎo)系統(tǒng)建模。2外激勵(lì)下的穩(wěn)定性試驗(yàn)將由鋁蜂窩板制成的梁用夾具一端固定在9t的振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面上。臺(tái)面控制信號(hào)與蜂窩板上輸出信號(hào)均由加速度計(jì)進(jìn)行采集。隨機(jī)激勵(lì)頻段為10Hz―2000Hz,輸入功率譜密度分別為0.0005g2/Hz、0.001g2/Hz、0.002g2/Hz、0.004g2/Hz、0.008g2/Hz、0.016g2/Hz,即均方根加速度在0.704g、0.996g、1.4g、1.98g、2.81g、3.98g的不同振動(dòng)量級(jí)進(jìn)行激振。試件尺寸及測(cè)點(diǎn)布置見圖5。由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的等效線性頻響函數(shù)圖及等效線性奈奎斯特圖,見圖6。由圖6(a)可見,本試驗(yàn)中鋁蜂窩夾層板的非線性頻響函數(shù)圖中,隨著外激勵(lì)量級(jí)的增加,固有頻率處共振峰的放大倍數(shù)明顯的減小,與前面圖1(a)相類似;同時(shí),等效奈奎斯特圖上顯示,隨著外激勵(lì)量級(jí)的增大,奈奎斯特圖向內(nèi)收縮,與前圖1(b)相似。由此可得到結(jié)論,本文試驗(yàn)中鋁蜂窩夾層結(jié)構(gòu)中存在非線性阻尼。在以往應(yīng)用線性方法對(duì)鋁蜂窩夾層板進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)時(shí),阻尼識(shí)別的結(jié)果往往很不理想,本文得到的結(jié)果也正符合這一規(guī)律,證實(shí)了本文結(jié)果的實(shí)用性。這一結(jié)果為鋁蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的建模提供了理論依據(jù)。3隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)非線性定性研究本文應(yīng)用PFK方程與等效線性化法分別對(duì)含有非線性阻尼和非線性剛度的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的等效剛度及等