基于保角變換的節(jié)塊變換在幾何中的應(yīng)用

基于保角變換的節(jié)塊變換在幾何中的應(yīng)用

在過去的20年中，二維聲學(xué)計算方法得到了廣泛應(yīng)用，尤其是先進的分塊法的發(fā)展和應(yīng)用。Lawrence等［１－２］成功發(fā)展了矩形節(jié)塊格林函數(shù)方法(NGFM),并通過大量例題驗證了理論及程序的正確性和高效性。隨著采用六角形幾何的快堆的發(fā)展和俄羅斯VVER型壓水堆的應(yīng)用,六角形節(jié)塊法的研究也日益得到重視,將先進矩形節(jié)塊法推廣到六角形節(jié)塊有非常重要的意義。Chao等［３］研制的六角形節(jié)塊擴散程序ANC-H是目前公認的國際上精度最高的六角形節(jié)塊程序。程序采用保角變換思想將六角形幾何變換為矩形幾何。本文采用該保角變換將六角形節(jié)塊變換為矩形節(jié)塊,對變換后的矩形節(jié)塊擴散方程進行橫向積分。并應(yīng)用第二類邊界條件的格林函數(shù)法,建立六角形節(jié)塊各表面凈中子流為未知量的空間耦合方程,采用剩余權(quán)重源迭代方法進行求解。研制三維多群六角形格林函數(shù)堆芯程序NACK,采用大量基準題對其進行驗證,并與國際上相應(yīng)程序的計算結(jié)果進行比較。1角形節(jié)塊擴散方程保角變換是一種特殊映射,它保持任一點鄰域內(nèi)變換前后的伸縮性和旋轉(zhuǎn)角不變,并保持角的定向。存在六角形到矩形的保角變換因子f［３］。圖1示出變換前后對應(yīng)點的關(guān)系,其中a和b為矩形長和寬。拉普拉斯算子在保角變換下形式不變,即:其中:ue788為中子通量密度,cm－２·s－１;x、y和u、v分別為六角形、矩形節(jié)塊所在直角坐標系內(nèi)的橫、縱坐標。記。三維六角形節(jié)塊擴散方程(式(2))經(jīng)保角變換為矩形節(jié)塊擴散方程(式(3))。其中:g為能群數(shù),能群總數(shù)為G;фkg(x,y,z)、фkg(u,v,z)分別為六角形(x,y,z)點及保角變換對應(yīng)矩形(u,v,z)點的第g群中子通量密度,cm-2·s-1;Dkg為節(jié)塊k第g群的擴散系數(shù),cm;Σkg、Σkfg、Σkgg′分別為節(jié)塊k第g群的移出截面、裂變截面、第g′群到第g群的散射截面,cm-1;ν為每次裂變釋放的中子數(shù);χg為中子裂變譜;keff為有效增殖因數(shù)。六角形節(jié)塊面平均凈中子流密度J珚(簡稱面凈流,cm－２·s－１)和變換后矩形節(jié)塊面凈流有如下關(guān)系:式中:R為六角形邊長;J珚ｓ(s=1,2,…,6)為六角形節(jié)塊編號為s的面平均凈流(面的編號示于圖1);為矩形節(jié)塊u=±ａ/2的兩個面平均凈流,為矩形節(jié)塊v=0、b的兩個面平均凈流,cm－２·s－１。2節(jié)塊k第g群橫向泄漏項的剩余權(quán)重對式(3)沿v、z兩個方向積分,得到橫向積分方程:式中:фｋｇｕ(u)為節(jié)塊k第g群橫向積分后的偏中子通量密度;hｋ為節(jié)塊k在z方向的高度;b為六角形節(jié)塊變換到矩形節(jié)塊的寬度;Lｋｇｕ(u)為橫向泄漏項,表示節(jié)塊k第g群在與u方向垂直的另外兩個方向(v、z方向)上的中子泄漏。引入滿足第二類邊界條件的格林函數(shù)Gｋｇｕ(u,u０),按矩形格林函數(shù)方法,得到格林函數(shù)積分方程(式(11)),并由此得到凈中子流耦合方程(式(12))。其中,為六角形節(jié)塊k第g群u方向兩個面的面凈流和不連續(xù)因子。將式(3)在節(jié)塊k的體積Vｋ上積分,得到六角形節(jié)塊中子平衡方程(式(13)),ue788為六角形節(jié)塊k第g群的平均通量。采用剩余權(quán)重法求解上式,將偏中子通量密度和橫向泄漏項在節(jié)塊內(nèi)用二階Legendre正交多項式Pｎ－１(u)(n=1,2,3)展開,有:其中,фｋｇｕｎ、Lｋｇｕｎ(n=1,2,3)為節(jié)塊k第g群偏中子通量密度和橫向泄漏項的展開系數(shù)。對于三維問題,徑向橫向積分對應(yīng)的橫向泄漏分為徑向橫向泄漏LｇｕｋＲ(u)和軸向橫向泄漏Lｇｕｋｚ(u)兩部分,即:則中子源項為:將中子源項和泄漏項展開式代入式(12),得到[GQ±]ｋｇｕ的求解公式;將偏通量、源項和泄漏項展開式代入式(11),得到偏通量展開系數(shù)求解公式。式(11)、(12)以及式(13)構(gòu)成一組完備的求解公式,通過源迭代方法求解,得出節(jié)塊界面平均凈中子流、節(jié)塊內(nèi)中子通量展開系數(shù)、節(jié)塊平均通量等關(guān)于kｅｆｆ的物理量。3數(shù)值證明3.1基準測試函數(shù)和有效增殖因數(shù)分布不帶反射層的二維VVER-1000基準題［４］的堆芯有8圈燃料組件,全堆芯共插25束控制棒,堆芯1/6旋轉(zhuǎn)對稱,組件的對邊距為23.6cm,燃料組件外的反射層未參與計算。采用兩種反照率β=0.6和0模擬“真實邊界”和“真空邊界”。圖2分別示出在β=0.6和0兩種情況下,NACK程序計算所得的有效增殖因數(shù)和堆芯歸一化功率分布(參考值由細網(wǎng)差分程序DIF3D-FD［４］計算得到)。表1為各程序?qū)υ摶鶞暑}計算結(jié)果的比較。其中,AFEN程序由Cho等［５］研制,采用解析基函數(shù)節(jié)塊展開法;HEXNOD23程序由Grundmann［６］開發(fā),也采用解析節(jié)塊法,將中子通量密度展開成三角函數(shù)和貝塞爾函數(shù)乘積;SIXTUS-2程序是Arkuszewski［７］基于對稱性原理開發(fā)的六角形解析節(jié)塊程序。計算結(jié)果顯示,NACK計算結(jié)果良好,與ANC-H精度相當。3.2堆芯回收數(shù)對功率分布的影響三維VVER-440基準題［８］是二維VVER-440基準題的擴展。堆芯高度為250cm,在堆芯的頂部和底部分別加25cm厚的反射層。另外,堆芯內(nèi)的所有控制棒均上提到堆芯中部。堆芯外邊界全部為真空邊界。圖3為NACK程序計算所得的有效增殖因數(shù)和堆芯歸一化組件功率分布(參考值由細網(wǎng)差分程序DIF3D-FD［４］計算得到)。表2為針對該基準題各程序計算結(jié)果的比較,可看出,NACK程序與這些程序的計算精度相當。其中,GTDIF-H是張少泓［８］利用六角形幾何對稱性和群論方法研制的節(jié)塊法程序,GTDIF-H數(shù)據(jù)來自文獻,ANC-H和AFEN的數(shù)據(jù)來自文獻。3.3堆芯的布置及計算帶不連續(xù)因子的二維基準題［１０］有151個燃料組件,帶水反射層,組件對邊距22.4cm。燃料組件含有UO２和MOX燃料。該堆芯的布置為1/12反射對稱,采用零通量密度邊界條件。圖4為程序NACK計算所得的kｅｆｆ和堆芯功率分布(陰影部分為MOX燃料)。其中,參考值是細網(wǎng)差分程序VENTURE的計算結(jié)果,是將每個六角形節(jié)塊剖分成1352個子節(jié)塊計算得到的。表3列出各程序計算結(jié)果的比較(表中AFEN、HEXMED數(shù)據(jù)取自文獻)。HANDF［１０］為帶不連續(xù)因子的解析節(jié)塊法。4穩(wěn)態(tài)擴散程序nack本文根據(jù)保角變換思想和格林函數(shù)法