北師大數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第8章第2課時兩條直線的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練1．（2014·株洲模擬）點(1,－1)到直線x－y＋1＝0的距離是（）A。eq\f（1，2) B．eq\f（3,2)C。eq\f（3\r（2),2) D．eq\f（\r（2），2)解析：由點到直線的距離公式得距離為eq\f（｜1＋1＋1｜，\r(1＋－12））＝eq\f（3\r（2),2).答案:C2．若k，－1，b三個數(shù)成等差數(shù)列，則直線y＝kx＋b必經(jīng)過定點（）A．(1,－2） B．（1,2）C．(－1,2) D．（－1，－2)解析:因為k,－1,b三個數(shù)成等差數(shù)列,所以k＋b＝－2，即b＝－k－2，于是直線方程化為y＝kx－k－2,即y＋2＝k(x－1)，故直線必過定點(1，－2）．答案：A3．已知兩條直線y＝ax－2和y＝（a＋2）x＋1互相垂直，則a等于()A．2 B．1C．0 D．－1解析：由題意,知a（a＋2)＝－1，∴a＝－1，選D。答案：D4．（2014·黃石模擬)直線l1的斜率為2，l1∥l2,直線l2過點(－1，1）且與y軸交于點P,則P點坐標為(）A．(3，0) B．(－3，0）C．(0,－3） D．(0,3）解析:∵點P在y軸上，∴設(shè)P(0，y），又∵kl1＝2，l1∥l2，∴kl2＝eq\f(y－1,0－－1）＝y(tǒng)－1＝2,∴y＝3，∴P（0，3)．答案：D5．若點（1，1）到直線xcosα＋ysinα＝2的距離為d，則d的最大值是________．解析：d＝eq\f（|cosα＋sinα－2｜，\r(cos2α＋sin2α))＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（\r(2）sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，4)）)－2））,所以d的最大值等于2＋eq\r（2）.答案：2＋eq\r（2)6．(2014·武漢模擬）已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0,當l1與l2相交于點P(m，－1）時，m，n的值分別為________、________.解析:∵m2－8＋n＝0，2m－m－1＝0，∴m＝1，n答案:177．已知直線l1經(jīng)過點A（2，a)，B（a－1，3），直線l2經(jīng)過點C(1,2)，D(－3，a＋2)．(1）若l1∥l2,求a的值；(2）若l1⊥l2,求a的值．解：設(shè)直線l1、l2的斜率分別為k1、k2，若a＝3,則k1不存在，k2＝－eq\f（3,4），則l1與l2既不平行，也不垂直．因此a≠3，k1＝eq\f(a－3,3－a）＝－1，k2＝eq\f（a＋2－2,－3－1）＝－eq\f（a，4)。（1）∵l1∥l2,∴k1＝k2.∴－1＝－eq\f(a,4).∴a＝4.（2）∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1?！啵ǎ?）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（a，4))）＝－1.∴a＝－4.8．過點P（－1,2)引一直線，兩點A（2，3），B（－4，5）到該直線的距離相等，求這條直線的方程．解：方法一：當斜率不存在時，過點P(－1,2）的直線方程為：x＝－1，A(2，3)到x＝－1的距離等于3，且B（－4,5）到x＝－1的距離也等于3,符合題意；當直線的斜率存在時,設(shè)斜率為k，過點P（－1，2）的直線方程為：y－2＝k（x＋1）,即kx－y＋k＋2＝0，依題設(shè)知：eq\f(｜2k－3＋k＋2|,\r（k2＋1））＝eq\f(｜－4k－5＋k＋2|,\r（k2＋1）)，解上式得：k＝－eq\f（1,3)，所以，所求直線方程為:x＋3y－5＝0;綜上可知，所求直線方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.方法二：依題設(shè)知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點P（－1,2)與AB平行的直線，另一條是過點P及AB中點的直線．因為A(2，3),B（－4,5），所以kAB＝eq\f(3－5，2＋4)＝－eq\f(1,3）,因此,過點P與AB平行的直線的方程為：y－2＝－eq\f（1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0;又因為A（2,3)，B（－4，5）的中點坐標D（－1，4)，所以過點P及AB中點的直線方程為x＝－1；綜上可知，所求直線方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.【B級】能力提升1．曲線eq\f(|x｜，2）－eq\f(｜y|,2）＝1與直線y＝2x＋m有兩個交點，則m的取值范圍為()A．m＞4或m＜－4 B．－4＜m＜4C．m＞3或m＜－3 D．－3＜m＜3解析：曲線eq\f(｜x｜，2)－eq\f(｜y|，3)＝1的圖像如圖所示，與直線y＝2x＋m有兩個交點,則m＞4或m＜－4,應(yīng)選A.答案：A2．（2013·高考全國新課標卷)已知點A(－1，0），B(1，0)，C（0，1）,直線y＝ax＋b（a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是（)A．(0,1） B．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（\r(2),2)，\f(1,2)))C。eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（1－\f(\r（2），2)，\f（1,3）)) D．eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3），\f（1,2）))解析：根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)面積相等得出a，b的關(guān)系式，然后求出b的取值范圍．由題意畫出圖形,如圖（1）．由圖可知，直線BC的方程為x＋y＝1.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝ax＋b,))解得Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1－b,a＋1），\f(a＋b,a＋1）)).可求N（0，b)，Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(b，a)，0)）。∵直線y＝ax＋b將△ABC分割為面積相等的兩部分，∴S△BDM＝eq\f(1,2)S△ABC。又S△BOC＝eq\f(1,2)S△ABC,∴S△CMN＝S△ODN，即eq\f（1,2)×eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a）))×b＝eq\f（1,2)(1－b)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1－b，a＋1))）.整理得eq\f（b2,a)＝eq\f(1－b2，a＋1）?！鄀q\f（1－b2,b2)＝eq\f（1＋a，a），∴eq\f(1，b)－1＝eq\r(1＋\f(1，a)），∴eq\f(1，b)＝eq\r（1＋\f(1,a))＋1，即b＝eq\f（1，\r（1＋\f(1,a）)＋1）,可以看出，當a增大時，b也增大．當a→＋∞時，b→eq\f(1，2）,即b<eq\f(1，2）。當a→0時，直線y＝ax＋b接近于y＝b.當y＝b時,如圖(2)，eq\f（S△CDM,S△ABC）＝eq\f(CN2,CO2)＝eq\f（1－b2，12)＝eq\f(1,2）?！?－b＝eq\f(\r(2),2)，∴b＝1－eq\f（\r(2）,2)?！郻〉1－eq\f(\r(2）,2).由上分析可知1－eq\f（\r（2）,2)<b〈eq\f(1,2）,故選B.答案：B3．(2014·武漢模擬）若點A(3，5）關(guān)于直線l：y＝kx的對稱點在x軸上，則k是(）A。eq\f（－1±\r(5），2） B．±eq\r（3)C.eq\f(－1±\r(30),4) D．eq\f(－3±\r（34）,5)解析:由題設(shè)點A（3，5)關(guān)于直線l：y＝kx的對稱點為B（x0，0），依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5－0,3－x0）＝－\f(1，k）,，\f(5＋0，2)＝k×\f(3＋x0,2)，))解得k＝eq\f（－3±\r(34)，5）.答案：D4．直線x＋2y－3＝0與直線ax＋4y＋b＝0關(guān)于點A(1,0)對稱,則b＝________。解析：由題意，點A（1，0）不在直線x＋2y－3＝0上，則－eq\f(1，2)＝－eq\f(a,4），∴a＝2，又點A到兩直線的距離相等,∴｜b＋2｜＝4，∴b＝－6或b＝2，又∵點A不在直線上，兩直線不重合,∴b＝2.答案:25．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r（2)，則m的傾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號是________（寫出所有正確答案的序號)．解析:如圖，由兩平行線間距離可得d＝eq\f（｜1－3|,\r(2））＝eq\r（2），故m與兩平行線的夾角都是30°,而兩平行線的傾斜角為45°，則m的傾斜角為75°或15°，故選①⑤。答案：①⑤6．(2014·聊城模擬）若點P是曲線y＝x2上的任意點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為________．解析:在曲線y＝x2上任取一點P（x0，y0），則P到直線y＝x－2的距離為:eq\f(｜x0－y0－2|，\r（2）)＝eq\f(｜x0－x\o\al(2，0)－2｜,\r（2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x0－\f(1，2))）2－\f（7，4）)），\r(2)）＝eq\f(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x0－\f（1,2)))2＋\f（7，4)，\r（2))，因此，當x0＝eq\f(1，2)時其最小值為eq\f(7\r（2）,8)。答案:eq\f(7\r(2）,8）7．（創(chuàng)新題)如圖，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(\r（2),x)的定義域為（0，＋∞）．設(shè)點P是函數(shù)圖像上任一點，過點P分別作直線y＝x和y軸的垂線，垂足分別為M，N.(1）證明：｜PM|·｜PN|為定值;（2)O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．解:(1）證明：設(shè)Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x0，x0＋\f（\r(2）,x0）））(x0＞0)．則｜PN|＝x0,｜PM｜＝eq\f（\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2）,x0）)）,\r（2）)＝eq\f(1,x0)，因此｜PM|·|PN|＝1.(2）直線PM的方程為y－x0－eq\f（\r（2),x0)＝－（x－x0），即y＝－x＋2x0＋eq\f（\r（2），x0）.解方程組得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x,,y＝－x＋2x0＋\f(\r(2)，x0），）)x＝y(tǒng)＝x0＋eq\f（\r(2）,2x0）,S四邊形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝eq\f(1，2)|PN｜｜ON｜＋eq\f(1,2）｜PM|｜OM|＝eq\f（1,2)x0eq\b\lc\(\rc\）(\a