小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率-2

1/1小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)校數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率

一、數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵

1.在試驗(yàn)稿《課標(biāo)》中“統(tǒng)計(jì)觀念”是核心概念，現(xiàn)在為什么改名為“數(shù)據(jù)分析觀念”呢？

在《不列顛百科全書》中關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)是這樣定義：統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。

的確，統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)討論對象是數(shù)據(jù)，它是通過收集數(shù)據(jù)，以及對數(shù)據(jù)的分析來幫我們解決問題的。在義務(wù)教育階段我們處理的數(shù)據(jù)都是有實(shí)際背景的，正如課表組組長史寧中教授所述：“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個(gè)載體包括數(shù)，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)就是通過這些載體來提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝術(shù)?！?/p>

可見，統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)核心是數(shù)據(jù)分析，試驗(yàn)稿中叫統(tǒng)計(jì)觀念，現(xiàn)在叫數(shù)據(jù)分析觀念，這兩點(diǎn)并沒有本質(zhì)性的不同，而是用這樣的語言更加點(diǎn)出了統(tǒng)計(jì)的核心就是數(shù)據(jù)分析讓人一目了然。

2.數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵

在課標(biāo)當(dāng)中，對于數(shù)據(jù)分析觀念，有這樣的描述：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查討論，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出推斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要依據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面說明只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)覺規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。

3.如何進(jìn)展同學(xué)的“數(shù)據(jù)分析觀念”？

第一，就是讓同學(xué)去經(jīng)受這個(gè)數(shù)據(jù)分析的過程，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息。

例如，清華附屬學(xué)校安華老師執(zhí)教的一班級《統(tǒng)計(jì)》。安老師為同學(xué)供應(yīng)了四部動畫片，選出大家最喜愛看的一部進(jìn)行播放。同學(xué)的想法各不相同，這可怎么辦呢？老師啟發(fā)同學(xué)自己去想方法，讓同學(xué)感悟到我們是為了解決問題而來做統(tǒng)計(jì)的。統(tǒng)計(jì)什么？怎樣統(tǒng)計(jì)呢？同學(xué)自始至終都在思索中，他們最先想到舉手表決，卻沒有精確?????統(tǒng)計(jì)出結(jié)果，然后又連續(xù)想方法，有的同學(xué)說站起來這樣數(shù)的更清晰了，還有說在小組內(nèi)去統(tǒng)計(jì)，然后我們再匯總，最終大家都統(tǒng)一到用

投票表決的方法來統(tǒng)計(jì)。當(dāng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)上來以后，如何讓同學(xué)體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息呢？安老師讓同學(xué)利用數(shù)據(jù)來推斷，看哪部動畫片，要用數(shù)據(jù)來說話。恰巧當(dāng)時(shí)這個(gè)班正好有一個(gè)孩子是請假沒來，老師提出問題：假如這名同學(xué)也來投票表決，還是去看“多啦A夢”嗎？同學(xué)依據(jù)數(shù)據(jù)利用簡潔推理也做出了推斷。

其次，鼓舞同學(xué)把握數(shù)據(jù)分析的方法，依據(jù)問題的背景能選擇合適的方法。

例如，體育課上11名男同學(xué)100米跑的成果：13秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。

平均數(shù)：15秒6，中位數(shù)：16秒6

（1）假如選擇參與一項(xiàng)競賽，盼望有一半的男同學(xué)可以參與，選擇哪個(gè)成果作為標(biāo)準(zhǔn)？

（2）假如盼望確定一個(gè)較高的標(biāo)準(zhǔn)，選擇哪個(gè)成果作為標(biāo)準(zhǔn)？（答案不唯一）

（3）假如要確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，你如何確定？為什么？

第三，通過數(shù)據(jù)分析，讓同學(xué)感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

史寧中說：“統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的教學(xué)重點(diǎn)是進(jìn)展同學(xué)的數(shù)據(jù)分析意識，培育同學(xué)的隨機(jī)觀念，難點(diǎn)在于，如何創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)幕顒樱w現(xiàn)隨機(jī)性以及數(shù)據(jù)獲得、分析、處理進(jìn)而作出決策的全過程。”

例如：上學(xué)時(shí)間。

同學(xué)記錄自己在一個(gè)星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時(shí)間，假如把記錄時(shí)間精確到分，可能同學(xué)每天上學(xué)途中需要的時(shí)間是不一樣的，可以讓同學(xué)感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；更進(jìn)一步，讓同學(xué)感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，但數(shù)據(jù)較多時(shí)具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到許多信息，比如，通過一個(gè)星期的調(diào)查可以知道“也許”需要多少時(shí)間。

為什么我們要在統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)中，把數(shù)據(jù)分析觀念作為一個(gè)核心概念呢？可以從標(biāo)準(zhǔn)解讀中對核心概念的價(jià)值進(jìn)行分析。

在標(biāo)準(zhǔn)解讀中，提出了四個(gè)方面的價(jià)值。第一，它們是同學(xué)在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培育的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進(jìn)同學(xué)進(jìn)展的重要方面(教育價(jià)值)；其次，核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點(diǎn)，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵；第三，核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基

本思想；第四，這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過老師的教學(xué)予以落實(shí)。

二、統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

（一）新課標(biāo)中關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

1.《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

2．分析調(diào)整緣由

“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容結(jié)構(gòu)做了較大調(diào)整，使三個(gè)學(xué)段內(nèi)容學(xué)習(xí)的層次性更加明確。強(qiáng)調(diào)培育數(shù)據(jù)分析觀念，與同學(xué)的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系得更加緊密。內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，三個(gè)學(xué)段有較大的差別。第一學(xué)段內(nèi)容大削減，只保留3條要求。主要是學(xué)會分類、會進(jìn)行簡潔的數(shù)據(jù)搜集與整理的；其次學(xué)段分為“簡潔數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程”和“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”兩部分，共8條；第三學(xué)段分為“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“大事的概率兩部分”，共11條。這樣調(diào)整的緣由在于，在試驗(yàn)過程中原來第一學(xué)段對于統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的要求，根據(jù)同學(xué)現(xiàn)有的理解水平，學(xué)習(xí)有肯定困難，教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施有很大難度。同時(shí)，在內(nèi)容上與后面兩個(gè)學(xué)段有很大的重復(fù)。因此，較大幅度降低了第一學(xué)段統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的要求，對后兩個(gè)學(xué)段的內(nèi)容也

做相關(guān)的調(diào)整，如中位數(shù)、眾數(shù)等內(nèi)容從其次學(xué)段移到第三學(xué)段。這樣使統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容在三個(gè)學(xué)段的要求上有明顯區(qū)分，在難度上也表現(xiàn)肯定的梯度。

（二）統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容主線

統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容主線，主要包括四方面的內(nèi)容，第一是數(shù)據(jù)分析過程；其次是數(shù)據(jù)分析方法；第三是數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；第四是隨機(jī)現(xiàn)象及簡潔大事發(fā)生的概率。這四條主線很重要，我們常說教學(xué)問不僅僅要教給同學(xué)一顆一顆的珍寶，還需要把這些珍寶串成一條一條漂亮的項(xiàng)鏈，明顯主線就是串這個(gè)項(xiàng)鏈特別重要的方面。

我們可以看到課標(biāo)每個(gè)學(xué)段的第一句話，都是提出了有關(guān)過程的要求，明顯就成為了統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的最主要或者最首要的一個(gè)主線，《標(biāo)準(zhǔn)》在三個(gè)階段都提出了相應(yīng)的要求：在第一學(xué)段中，提出“經(jīng)受簡潔的數(shù)據(jù)收集和整理過程”；在其次學(xué)段中，提出“經(jīng)受簡潔的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計(jì)算器）”。在第三學(xué)段中，提出“經(jīng)受收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計(jì)算器處理較為簡單的數(shù)據(jù)”。

從三個(gè)學(xué)段的要求不難看到，首先過程都是重要的，其次數(shù)據(jù)分析的過程可以包括收集、整理、描述和分析，另外隨著年齡的差別，在要求上會有所差別，第一學(xué)段經(jīng)受簡潔就可以了，到其次學(xué)段略微要把描述分析數(shù)據(jù)提出來是這樣一個(gè)過程，為了使大家對這個(gè)過程，再加深理解，我們下面列舉標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)案例，來說明這個(gè)過程。

第一學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例19）：對全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。

從以下的數(shù)據(jù)中可以得到哪些信息呢？

第1小組116128124135128141

第2小組129130134127134138

第3小組138142119123127146

第4小組119137136138150152

第5小組125120131143135148

第6小組138132147139148139

[說明]學(xué)校一般每年都要測量同學(xué)的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)供應(yīng)了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個(gè)問題可以貫穿第一學(xué)段和其次學(xué)段，依據(jù)不同學(xué)段的同學(xué)特

點(diǎn)，要求可以有所不同。盼望同學(xué)把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓同學(xué)感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。教學(xué)中可以作如下設(shè)計(jì)：

（1）指導(dǎo)同學(xué)將全班同學(xué)的身高進(jìn)行匯總。

（2）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)覺信息。比如，最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學(xué)的身高是多少（眾數(shù)）等。在爭論過程中，括號中的有些名詞并不需要消失，但是盼望同學(xué)體會數(shù)據(jù)所代表的意義。

（3）在整理中，可以讓同學(xué)嘗試制造敏捷的方法。例如，查找最高，可以直接比較查找，當(dāng)同學(xué)人數(shù)比較多時(shí)，也可以分組查找組內(nèi)最高，然后在每組的最高中查找最高；在考慮挨次問題時(shí)，同學(xué)可能會有不同的排序方法。例如，先找到最小（大）的，然后在剩余的數(shù)中再找到最?。ù螅┑?，依次將這些數(shù)按從小（大）到大（?。┑陌ご芜M(jìn)行排序；或者先固定一個(gè)數(shù)，拿其次個(gè)數(shù)與之比較，然后取第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)比較，依據(jù)它們之間的大小關(guān)系打算位置，這樣連續(xù)下去，最終將這些數(shù)排序。無論同學(xué)的動身點(diǎn)如何，只要思路清楚、排序正確即可。

其次學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例38）：對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。

[說明]在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)同學(xué)對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個(gè)學(xué)段中，要求同學(xué)結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的同學(xué)數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的同學(xué)占全班同學(xué)的比例及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解幾年來同學(xué)身高變化的狀況，猜測將來身高變化趨勢。同學(xué)還可以爭論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以關(guān)注如下要點(diǎn)：

（1）組織同學(xué)爭論并明確畫統(tǒng)計(jì)圖的基本標(biāo)準(zhǔn)。假如同學(xué)意見不全都，可以依據(jù)意見的不同把同學(xué)分組，各自畫出統(tǒng)計(jì)圖后進(jìn)行比較。

（2）可以把幾年來全班同學(xué)平均身高的數(shù)據(jù)畫出折線統(tǒng)計(jì)圖，讓同學(xué)與自己身高數(shù)據(jù)的折線圖進(jìn)行分析比較。還可以對男女生的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和比較。

（3）組織同學(xué)爭論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。同學(xué)可以用平均身高作為代表，用自己的身高與平均身高進(jìn)行比較；可以用消失次數(shù)最多的身高作為代表（“眾數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比；也可以用班級中等水平同學(xué)的身高作為代表（“中位數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比。同學(xué)只要能說出自己的理由就可以，不需要消失“眾數(shù)”“中位數(shù)”等名詞（只要求老師理解，不要求給同學(xué)講解）。

（4）雖然數(shù)據(jù)整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結(jié)論清楚，能夠更好地反映實(shí)際背景。

第三學(xué)段：比較自己班級與別的班級同學(xué)的身高狀況。

[說明]對于兩個(gè)班級同學(xué)身高狀況比較，通常可以通過平均值來推斷，但有時(shí)候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，假如一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很大，而另一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很小，即使前一個(gè)班的平均高一些，也不能說這個(gè)班的整體狀況很好。因此，在推斷身高狀況時(shí)，不僅要看平均值，還需要參考方差。

同樣的一個(gè)內(nèi)容，在不同的班級可以有不同的要求，第一學(xué)段，要求的難度，就是在提取信息的數(shù)量上，要求并不是特別的高，關(guān)鍵是讓他意識到，感悟到數(shù)據(jù)是信息，那么到了其次學(xué)段，顯得這個(gè)要求又有所變化了，總之要讓同學(xué)經(jīng)受數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析的過程，要親自參加其中。

三、數(shù)據(jù)分析的方法

1．收集數(shù)據(jù)的方法

在收集數(shù)據(jù)的方法中我們要把握這么幾點(diǎn)：第一點(diǎn)就是我們所涉及的數(shù)據(jù)，可能是全體數(shù)據(jù)，或者我們說總體數(shù)據(jù)，也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)，在學(xué)校階段，同學(xué)收集的基本上都是總體數(shù)據(jù)。

其次個(gè)就是數(shù)據(jù)的來源，實(shí)際上是有兩種，一種就是閱讀別人現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，比如說報(bào)刊資料上等等的數(shù)據(jù)，還有一點(diǎn)就是需要自己的調(diào)查的數(shù)據(jù)，對于學(xué)校來說除了要看別人的數(shù)據(jù)特別重要，也要自己要做一些調(diào)查數(shù)據(jù)，在這方面許多老師都有特別好的閱歷和設(shè)計(jì)好的例子，比如我看到一些課堂中，老師們引入了讓一班級的孩子來統(tǒng)計(jì)換乳牙的狀況，或者讓有些同學(xué)來統(tǒng)計(jì)看電視的時(shí)間等等，值得留意的是假如我們讓同學(xué)去收集自己調(diào)查的數(shù)據(jù)，肯定要教給他們一些方法，比如說我曾看到，有的同學(xué)并不知道什么叫乳牙，他也不知道看電視的時(shí)

間應(yīng)當(dāng)怎么統(tǒng)計(jì)，所以這樣以來呢，報(bào)出來的數(shù)據(jù)就不夠真實(shí)，是比影響統(tǒng)計(jì)的效果，那我們可以支配一些活動，讓同學(xué)在老師的指導(dǎo)下，或者在家長的關(guān)心下，讓他來去調(diào)查，這樣會更好。

常用的收集數(shù)據(jù)的方法包括這么幾方面：調(diào)查的方法、試驗(yàn)的方法、測量的方法、查閱資料的方法等等?？偠灾?，同學(xué)應(yīng)當(dāng)對收集數(shù)據(jù)的方法有一個(gè)比較豐富的體驗(yàn)，《課標(biāo)》無論在第一學(xué)段還是其次學(xué)段都提出了這樣的要求，比如說在第一學(xué)段課標(biāo)是這樣說的，要了解一些調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡潔方法。那么有的老師說這兩個(gè)似乎也沒有太大區(qū)分，其實(shí)嚴(yán)格意義上都是同學(xué)自己去做，當(dāng)然我們可以這么理解，調(diào)查就是同學(xué)去問問自己的同伴，那么測量呢，比如說我們可以量量這個(gè)課桌有多長，我們量量我們班的課桌大體上都是多長，包括我們在前面舉過的上學(xué)時(shí)間都可以理解是測量。在其次學(xué)段，明顯又進(jìn)了一步，要求同學(xué)能夠自己來設(shè)計(jì)簡潔的調(diào)查表，這跟第一學(xué)段相比有進(jìn)一步的提高，而且能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，就不僅僅是了解了，在選擇方法中包括了我們說的調(diào)查，可以做一些測量，還可以做一些試驗(yàn)，比如說我們原來確定做過的物理試驗(yàn)，或者說呢有的課上這樣讓同學(xué)做試驗(yàn)，反彈高度，就不同高度拋一個(gè)球，確定起始高度越高，反彈高度一般狀況下都會高，那么究竟是什么關(guān)系呢，這時(shí)候通過試驗(yàn)來獵取一些數(shù)據(jù)。這三點(diǎn)都是同學(xué)能夠自己獲得的。當(dāng)然我們也要讓同學(xué)了解現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，也就是從報(bào)刊、雜質(zhì)、電視等等媒體中呢，有意識的獲得一些數(shù)據(jù)，那么總而言之應(yīng)當(dāng)對收集數(shù)據(jù)的方法有比較豐富的體驗(yàn)。

2．整理、描述