估算法和假設(shè)法

第五節(jié)假設(shè)法（虛設(shè)法）和估算法一、 方法介紹：假設(shè)法在解物理題時，我們常常用到一種虛擬的思維方法，即從給定的物理條件出發(fā)，假設(shè)與想像某種虛擬的東西，達(dá)到迅速、地解決問題的目的，我們把這種訪求稱為虛設(shè)法，也稱假設(shè)法。假設(shè)法是對于待求解的問題，在與原題所給條件不相違的前提下，人為的加上或減去某些條件，以使原題方便求解。求解物理試題常用的有假設(shè)物理情景，假設(shè)物理過程，假設(shè)物理量等，利用假設(shè)法處理某些物理問題，往往能突破思維障礙，找出新的解題途徑，化難為易，化繁為簡。假設(shè)法的幾種情形是：虛設(shè)條件、虛設(shè)過程，虛設(shè)狀態(tài)、虛設(shè)結(jié)論等。虛設(shè)是一種物理的想像和創(chuàng)造的過程，物理學(xué)的不少發(fā)現(xiàn)是通過這一途徑而的。無疑，在解物理題時能掌握和熟練運動用虛設(shè)法，對培養(yǎng)我們的創(chuàng)造能力是十分有意義的。估算法有些物理問題本身的結(jié)果，并不一定需要有一個非常準(zhǔn)確的答案，但是往往需要我們對事物有一個預(yù)測的估計值；有些物理問題的提出，由于本身條件的限制，或者實驗中尚未觀察到必要的結(jié)果，使我們解決問題缺乏必要的已知條件，無法用常規(guī)的方法來求出物理問題的準(zhǔn)確答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住問題的主要本質(zhì)，充分應(yīng)用物理知識進(jìn)行快速數(shù)量級的計算。估算法就是對某些物理的數(shù)量級進(jìn)行大致推算或精確度要求不太高的挖計算方法。估算題與一般的計算題相比較，它雖然是不精確、不嚴(yán)密的計算，但確是合理的挖，它可以避免繁的計算而著重于簡捷的思維能力的培養(yǎng)。二、假設(shè)法的應(yīng)用虛設(shè)條件根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律求解過程較麻煩。例1:如圖10-1所示，一根輕質(zhì)彈簧上端固定，下端掛一質(zhì)量為m0的平盤，盤中有一物體，質(zhì)量為m。當(dāng)盤靜止時，彈簧的長度比其自然長度伸長了1。今向下拉盤使彈簧再伸長AL后停止，然后松手放開。設(shè)彈簧總處在彈性限度以內(nèi)，則剛松開手時盤對物體的支持力等于（ ）根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律求解過程較麻煩。B、(1+半)(m+m0)gA、（1+B、(1+半)(m+m0)gLD、△L AD、C、了mg D、廠（m+m°）gLL解析：此題可以盤內(nèi)物體為研究對象受力分析列出一個式子，然后再以整體為研究對象受力分析再列一個式子和根據(jù)平衡位置的平衡條件聯(lián)立求解若采用假設(shè)法，本題將變得非常簡單。其意義是沒有將盤往下拉，則松手放開，假設(shè)題中所給條件AL=0其意義是沒有將盤往下拉，則松手放開，彈簧長度不會變化，盤仍靜止，盤對物體的支持力的大小應(yīng)為mg。以AL=0代入四個選項中，只有答案A能得到mg。由上述分析可知，此題答案應(yīng)為A。虛設(shè)過程例2：如圖10-2所示，甲、乙兩物體質(zhì)量分別為m1=2kg，m2=3kg，疊放在水平桌面上。已知甲、乙間的動摩擦因數(shù)為也=0.6，物體乙與平面間的動摩因數(shù)為p2=0.5，現(xiàn)用水平拉力F作用于物體乙上，使兩物體一起沿水平方向向右做勻速直線運動，如果運動中F突然變?yōu)榱?，則物體甲在水平方向上的受力情況（g取10m/s2）A、大小為12N，方向向右B、大小為12N，方向向左

C、大小為10N，方向向右 D、大小為10N，方向向左TOC\o"1-5"\h\z解析：當(dāng)F突變?yōu)榱銜r，可假設(shè)甲、乙兩物體一起沿水平方運動， 七則它們運動的加速度可由牛頓第二定律求出。由此可以求出甲所受的摩 r-kifi擦力，若此摩擦力小于它所受的滑動摩擦力，則假設(shè)成立。反之不成立。 十L如圖10-2甲所示。假設(shè)甲、乙兩物體一起沿水平方向運動，則由牛頓第二定律得： ,c 圖10—f2=(m1+m2)a ①f2=pN2=g2(m1+m2)g ②由①、②得：a=5m/s2可得甲受的摩擦力為f1=m1a=10N因為f=g1m1g=12Nf1<f所以假設(shè)成立，甲受的摩擦力為10N，方向向左。應(yīng)選D。虛設(shè)狀態(tài)例12：0.2L的氧氣瓶內(nèi)，裝有4g氧氣，在室溫為0°C時，瓶內(nèi)氧氣的壓強(qiáng)是多少？解析：本題乍一看似乎缺少已知量，更無法利用理想氣體狀態(tài)方程，但當(dāng)我們假設(shè)這些氧氣的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)為初態(tài)時，則問題就可以解決了。假設(shè)這些氧氣的初態(tài)為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，則有：V、—X22.4L，p=1atm，T=273K132 1 1由已知該氧氣的末狀態(tài)為V]=0.2L，T2=273K，p2未知，由于T]=T2，所以根據(jù)玻意耳定律p1V1=p2V2解得：p2=1.4atm虛設(shè)結(jié)論例8：如圖10-8所示，一根全長為L、粗細(xì)均勻的鐵鏈，對稱地掛在輕小光滑的定滑輪上，當(dāng)受到輕微的擾動，鐵鏈開始滑動，當(dāng)鐵鏈下降L1(0W匕)的瞬間，鐵鏈的速度多大？解析：在鐵鏈下降時，只有重力做功，機(jī)械能守恒。當(dāng)鐵鏈下降L1時，如圖10-8甲所示，假設(shè)此位置是把左側(cè)鐵鏈下端AB=L1段剪下來再接到右側(cè)鐵鏈的下端CD處實現(xiàn)的。設(shè)鐵鏈的總質(zhì)量為m，鐵鏈下降到L]時，L1段中心下降L1高，所以重力做功：根據(jù)機(jī)械能守恒定律:mgL

mv2=—L圖10—8 圖10—8*1'根據(jù)機(jī)械能守恒定律:mgL

mv2=—L圖10—8 圖10—8*1'解得鐵鏈的速度：v=片^例9：如圖10-9所示，大小不等的兩個容器被一根細(xì)玻璃管連通，玻璃管中有一段水銀柱將容器內(nèi)氣體隔開(溫度相同)，當(dāng)玻璃管豎直放置時，大容器在上，小容器在下，水銀柱剛好在玻璃管的正中間，現(xiàn)將兩容器同時降低同樣的溫度，若不考慮容器的變化，則細(xì)管中水銀柱的移動情況是（ ）A、不動 B、上升C、下降 D、先上升后下降解析：只要假設(shè)水銀柱不動，分析氣體壓強(qiáng)隨溫度的變化情況，就可判定水銀柱怎樣移動。假設(shè)水銀柱不移動，則兩部氣體的體積都不變，根據(jù)查理定律，有：p=土朋，化簡為：Ap=四pTT-AT TAT —AT一有：ApA=〒pA，ApB=〒PB由于pA<pB，所以：ApA<ApB，水銀柱向下移動。答案：C虛功原理虛功原理是在全國中學(xué)生物理競賽當(dāng)中解決靜力學(xué)問題時經(jīng)常應(yīng)用的一種比較簡單的解題方法。例6、如圖中所示的框架，它是由四根重量和長度都相同的桿子光滑鉸接而成的四邊形框架，中間B、D兩端又光滑鉸接一輕桿，A端是掛在天花板上的， "乩二已知框架上每一根稈子的重量為p，長度為入，試求平衡時 "盤、此輕桿所受之力？解：可見這個例子要我們求的是輕桿兩頭所受的力。為此我們可以把B、D撤消，撤消桿子也就等于撤消約束。（在框架的B、D兩）將約束去掉而代之的是作用在框架B、D兩處 、/向外的作用力T（如下圖所示）并使系統(tǒng)仍處于原來的平衡狀態(tài)，這里的系統(tǒng)自然是指這個平行四邊形框架。此時我們就可以將去掉的約束而代之的兩個作用力T看作為系統(tǒng)所受的主動力，而其他的約束仍然是理想的。于是就可應(yīng)用虛功原理求出這兩個力。這兩個力其實就是桿子對框架的約束壓力，求出了它當(dāng)然也就求出了桿子所受的力?，F(xiàn)在我們對所討論的問題和系統(tǒng)都已明確，于是就可著手找出系統(tǒng)的主動力。對框架這個系統(tǒng)除了受到T這兩個主動力之外，還有作用于各桿上的四個重力，這四個重力的合力可用作用在框架對稱中心E點的4P代替。在這里坐標(biāo)就取垂直對稱軸向下為Y軸的正向，A為坐標(biāo)原點，水平向右為x軸的正方向。根據(jù)對稱性可以直接寫出系統(tǒng)的虛功方程為：2盛七+4尸8七=0，由圖可得：1血，yE=1cosa，...&疽IcosaSx,呢=-1sin仙.代入虛功方程中去，得:（2TIcosa-4Plsina）誠=0，.?.T=2Ptga。這種把約束去掉，代之以力而求約束力的方法是一種重要的方法，我們必須要掌握。上面我們所舉的兩個例子，所考慮的系統(tǒng)都是剛性系統(tǒng)，如果我們碰到要考慮的系統(tǒng)不是剛性時，不要忘了計算主動內(nèi)力所作的虛功。例如：將一彈簧圈放在光滑的球面上，求彈簧圈靜止時的位置，此時彈簧圈就不是一個剛體，它內(nèi)力的虛功不等于零。此時必須要把內(nèi)主動力的虛功計算進(jìn)去［如果把彈簧圈割開使內(nèi)力暴露出來而轉(zhuǎn)化為外力，割開后的彈簧圈可看作剛體處理。綜上所述，應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般是：第一步先找出所要考慮的質(zhì)點組或者剛體，1、找出所要研究的系統(tǒng)。

2、 找出系統(tǒng)所受的主動力。3、 列出虛功方程。列出的虛功方程中的虛位移里的坐標(biāo)不一定要獨立，虛功的正負(fù)號很重要，要正確判斷。我們還是以所選坐標(biāo)的正方向為標(biāo)準(zhǔn)，也就是上面解題時所采用的方法。另外還得注意：計算虛功的參考系必須是靜止的。4、 虛功方程列出之后，要把方程中的虛位移化成獨立的變量。其方法有兩種：一種是先找出坐標(biāo)間的關(guān)系，再微分得出，這種方法就叫分析法，我們上面的例子采用的就是這種方法。另外一種是觀察法，根據(jù)觀察直接找出虛位移之間的關(guān)系。這種方法只在某些簡單的情況下可行。5、 最后就是將找出的虛位移之間的關(guān)系代入虛功方程求解出最后的結(jié)果。應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般來說大致是這樣的。當(dāng)然對具體的題目要作具體的處理，并不一定要這樣呆板，可靈活地去做，對我們初學(xué)者來說，有據(jù)可依總是有益處的。當(dāng)然這個例子也可以用牛頓力學(xué)中的靜力平衡方程很容易地解出……。二、 估算法的應(yīng)用1.熱學(xué)物理量的的估算估算法求解固體和液體分子大小和數(shù)目可近似把固體、液體分子看作一個緊挨著一個的小球或立方體來估算分子的大小和分子的數(shù)目。學(xué)會計算微觀世界的物理量(如分子數(shù)目、分子質(zhì)量、分子直徑等)的一般方法。由于微觀量是不能直接測量的，人們可以測定宏觀物理量，用阿伏伽德羅常數(shù)作為橋梁，間接計算出微觀量來。如分子質(zhì)量m，可通過物質(zhì)摩爾質(zhì)量M和阿伏伽德羅常數(shù)NA，得到m=M/NA。通過物質(zhì)摩爾質(zhì)量M、密度P、阿伏伽德羅常數(shù)NA，計算出分子直徑對固體或液體來說，分子間隙數(shù)量級遠(yuǎn)小于分子大小的數(shù)量級，所以可以近似認(rèn)為分子緊密排列。U MV—mol—molNA pNA如果把分子簡化成球體，可進(jìn)一步求出分子的直徑dd=(6V/n)1/3=(6M/PNAn)1/3估算法求氣體分子間的距離：氣體分子間的間隙不能忽略，設(shè)想氣體分子平均分布，且每個氣體分子平均占有的空間設(shè)想成一個小立方體，據(jù)這一微觀模型，氣體分子間的距離就等于小立方體的邊長。取V體積所給狀態(tài)的空氣，求出其中的空氣分子數(shù)n，由平衡狀態(tài)下n個空氣分子均勻分布在體積V中，則可求出每個空氣分子平均占有的空間體積。如果再把每個空氣分子平均占有中，則可求出每個空氣分子平均占有的空間體積。如果再把每個空氣分子平均占有的體積設(shè)想成一個小立方體，并認(rèn)為空氣分子均勻分布。相當(dāng)于任一瞬間所有的空氣分子都處于各個小立方體的中心，那么根據(jù)這一理想化的氣體微觀構(gòu)成模型，空氣分子間的平均距離d，即可看作等于每個空氣分子平均占有的小立方體的邊長1。即d—1—3''匕對于氣體來說，V1不再等于氣體分子體積，而是分子所占空間的體積。D不是指氣體分子

線度大小，而是相鄰兩氣體分子的間距。物質(zhì)分子所含分子數(shù)的估算：關(guān) MVM 鍵為求出分子的摩爾數(shù)，便可以利用 "分=nmoNA=M—Na="Na=pVNa阿佛加德羅常數(shù)求出含有的分子數(shù)mol mol mol例6-1已知金剛石的密度P=3.5X103kg/m3,碳的摩爾質(zhì)量為12X10-3kg/mol?，F(xiàn)有一塊體積V=5.7X10-8m3的金剛石，它含有多少個碳原子？如果認(rèn)為碳原子是緊密地排列在一起的，試求碳原子的直徑。M V —mol點撥：在計算金剛石含有的碳原子數(shù)時，也可先由Vmol=p求出Vmol，再由V0=Nav求出一個碳原子的體積V0，然后由n=V0求出金剛石含有的碳原子數(shù)n。解析：第一問很常規(guī)，屬于化學(xué)知識復(fù)習(xí)。M PVN 3.5x103x5.7x10-8N=nNA=MmolNA=Mmol A= 12x10-3 X6.02X1023=1.00X1022解第二問，可以先求每個碳原子所占據(jù)的空間VVVpVNM mol12x10-3v-N=v= =nNA=M a_mol =pNA=3.5x103x6.02x1023=5.70X10-30m3f如果認(rèn)為碳原子呈立方體排列，碳原子的直徑d=3v=1.79X10-10m4d 6v— — 3'如果認(rèn)為碳原子呈球形排列，則v=3n(2)3，故，碳原子的直徑d=\兀=2.22X10-10m答案：1.00X1022，2.22X10-10m例6-2在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，水蒸氣的摩爾體積是22.4x10-3m3/mo1，則水蒸氣分子的平均間距約是水分子直徑的()倍。A.1倍 B.10倍C.100倍D.1000倍點撥：水蒸氣是氣體，在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的摩爾體積是22.4x10-3m3/mo1，每個水蒸汽分子點撥：水蒸氣是氣體，所占體積(包括水分子和它的周圍空間的體積)為V 224x103m3/mol 小N 6.02x1Q3mo-1V——mol =N 6.02x1Q3mo-1把每個分子和它所占空間看成一個小立