相交線（對(duì)頂角、垂線）

...wd......wd......wd...學(xué)生姓名：年級(jí)：七年級(jí)科目：數(shù)學(xué)授課教師：賀琴授課時(shí)間：學(xué)生簽字：相交線知識(shí)點(diǎn)一、余角、補(bǔ)角注意：對(duì)個(gè)數(shù)有限制，對(duì)位置沒(méi)有要求〔1〕假設(shè)兩角之和為90°，則這兩個(gè)角互為余角互為余角的有關(guān)性質(zhì)：①∠1＋∠2＝90°，則∠1、∠2互余；反過(guò)來(lái)，假設(shè)∠1，∠2互余，則∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，則∠2＝∠3.〔2〕假設(shè)兩角之和為180°，則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角互為補(bǔ)角的有關(guān)性質(zhì)：假設(shè)∠A+∠B＝180°，則∠A、∠B互補(bǔ)；反過(guò)來(lái)，假設(shè)∠A、∠B互補(bǔ)，則∠A+∠B＝180°.②同角或等角的補(bǔ)角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，則∠B＝∠C.〔3〕同角的余角〔補(bǔ)角〕相等；1、如果一個(gè)角是36°，那么以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是〔〕A、它的余角是64°B、它的補(bǔ)角是64°C、它的余角是144°D、它的補(bǔ)角是144°2、如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，CO⊥AB，∠EOD=90°，那么圖中互余的角有〔〕A、1對(duì)B、2對(duì)C、3對(duì)D、4對(duì)3、如圖，∠BOC=∠AOM=∠AON=90°，則圖中∠1的余角有哪些∠1與∠3有什么關(guān)系∠3的補(bǔ)角有哪些4、如圖，∠AOC和∠BOD都是直角，∠BOC=51°求∠AOB、∠DOC和∠AOD的度數(shù)∠AOB與∠DOC有何大小關(guān)系假設(shè)∠BOC的具體度數(shù)不確定，其他條件不變，〔2〕中的關(guān)系仍然成立嗎試說(shuō)明理由知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)頂角及其性質(zhì)〔1〕認(rèn)識(shí)對(duì)頂角對(duì)頂角：如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且它們的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.1、圖中，是對(duì)頂角的為〔〕2、判斷以以下圖中，∠1，∠2是否是對(duì)頂角：3、判斷以以下圖形中，有沒(méi)有對(duì)頂角，假設(shè)有，是哪兩個(gè)角4、判斷題，對(duì)的打“√〞，錯(cuò)的打“×〞。1、頂點(diǎn)相對(duì)的角是對(duì)頂角。〔〕2、有公共頂點(diǎn)并且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角。〔〕3、兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)的角是對(duì)頂角?！病?、兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)，沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角是對(duì)頂角?！病场?〕對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等1、如圖，直線AB、CD、EF都經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，并且，則__________，_________，________，______。2、如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，則〔〕A.B.C.D.3、：直線AD、BC交于O點(diǎn)，，求：的度數(shù)。4、：如圖直線AB與CD交于O點(diǎn)，，求：的度數(shù)。5、如圖，直線AB，CD相交于O點(diǎn)，∠AOC=2∠COB，OE平分∠DOB，則∠DOE=度。6、：直線AB、EF相交于O點(diǎn)，于O點(diǎn)，，求7、如圖，直線AB，CD，EF相交于O點(diǎn)，∠AOE=20°，∠DOB=52°，OG平分∠COF，求∠EOG的度數(shù)。8、如圖，直線AB、CD、EF交于點(diǎn)O，是它的余角的2倍，，且有，求的度數(shù)?！?〕兩兩相交分類法求對(duì)頂角的對(duì)數(shù)1、三條直線相交于一點(diǎn)，所成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)是〔〕A.3 B.4 C.5 D.6分析:根據(jù)對(duì)頂角的定義可知，任意兩條直線相交，可以得到2對(duì)對(duì)頂角，所以可以從兩直線相交上分類尋找對(duì)頂角的對(duì)數(shù)。

〔1〕直線AB、CD相交于點(diǎn)O，得到∠AOC與∠BOD、∠BOC與∠AOD兩對(duì)對(duì)頂角。

〔2〕直線AB、EF相交于點(diǎn)O，得到∠AOE與∠BOF、∠AOF與∠EOB兩對(duì)對(duì)頂角。

〔3〕直線EF、CD相交于點(diǎn)O，得到∠EOC與∠DOF、∠EOD與∠COF兩對(duì)對(duì)頂角。

綜上可知，圖中共有2×3＝6對(duì)對(duì)頂角。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)這道題，我們不難發(fā)現(xiàn)每組〔兩條相交直線〕都存在2對(duì)對(duì)頂角，所以，三條直線交同一點(diǎn)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)為2×3＝6〔對(duì)〕。

推廣：n條直線相交于同一點(diǎn)，有〔n-1〕+〔n-2〕+……+3+2+1組兩兩相交的直線，即n〔n-1〕對(duì)對(duì)頂角。2、如圖，圖中共有對(duì)對(duì)頂角。3、如圖，直線AB，CD，EF相交，則圖中共有對(duì)對(duì)頂角。4、試探索當(dāng)有100條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，可得到幾對(duì)對(duì)頂角5、如圖，B點(diǎn)是∠DAE的AD邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線MN交AE于C，交AD于B，且∠1=∠2，則圖中對(duì)頂角有對(duì)，與∠1〔不包括∠1〕相等的角有個(gè)。分別是：。★兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線?！?+∠4=180°注意：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角。⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。知識(shí)點(diǎn)三、垂線及其性質(zhì)、畫法〔1〕垂直的概念當(dāng)兩條直線相交所成的角中，有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直.如圖，AB與CD相交于O，當(dāng)交角為90°時(shí)，稱AB與CD垂直，記作AB⊥CD于O.其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.〔2〕垂直的性質(zhì)垂線性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直。垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。1、指出下面各圖中的垂直關(guān)系：(1)如圖1，∠C=90°〔2〕如圖2，∠A=90°,∠1與∠2互余2、寫出下面圖形所有直角：(1)∠1與∠2互余,AB⊥CD.(2)OC⊥AD?！?〕垂線的畫法⑴過(guò)直線上一點(diǎn)畫直線的垂線；⑵過(guò)直線外一點(diǎn)畫直線的垂線。注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。1、如圖，過(guò)一點(diǎn)P畫出線段AB或射線AB的垂線.2、如圖，畫AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.3、過(guò)P點(diǎn)，畫出OA、OB的垂線或畫出AB、CD的垂線?！?〕垂線段的概念及其性質(zhì)從直線外一點(diǎn)到這條直線所引的直線中，點(diǎn)與垂足之間的線段叫做垂線段。直線外一點(diǎn)到這條直線的所有連線中，垂線段最短。PPA4A3A2A1OA5A6l〔5〕點(diǎn)到直線距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離.四、各概念之間的區(qū)別與聯(lián)系⑴垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度。聯(lián)系：具有垂直于直線的共同特征。(垂直的性質(zhì))⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間。聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即點(diǎn)與垂足)間距離。⑶線段與距離距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。1、判斷以下語(yǔ)句是否正確：〔1〕直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；〔2〕直線外一點(diǎn)到這條直線的線段叫做點(diǎn)到直線的距離；〔3〕直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離；〔4〕直線外一點(diǎn)到這條直線的線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離。2、判斷以下語(yǔ)句是正確：〔1〕過(guò)一點(diǎn)畫線段或射線的垂線，垂足不一定在線段或射線上；〔2〕作直線的垂線，有且只有一條.〔3〕直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離.〔4〕兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果一對(duì)鄰補(bǔ)角相等，那么這兩條直線垂直.3、點(diǎn)到直線的距離是指這點(diǎn)到這條直線的〔〕A.垂線段B.垂線的長(zhǎng)C.長(zhǎng)度D.垂線段的長(zhǎng)度4、直線外________與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段________.5、定點(diǎn)P在直線外，動(dòng)點(diǎn)O在直線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段PO最短時(shí)，∠POA=________度.這時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離是線段________的長(zhǎng)度.6、如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，小明、小穎、小涵三人各抒己見(jiàn)，你認(rèn)為哪個(gè)說(shuō)法正確小明說(shuō)：BD、DC、AD分別表示點(diǎn)A到BC、點(diǎn)D到AC、AB的距離.小穎說(shuō)：DA、DE、DF分別表示點(diǎn)A到BC、點(diǎn)D到AC、AB的距離.小涵說(shuō)：DA、DE、DF的長(zhǎng)度分別表示點(diǎn)A到BC，點(diǎn)D到AC、AB的距離.7、如圖，CD⊥AB，CD=DB，DB=3㎝，求：①C到AB的距離；②∠ADC=，∠BDC=8、：AB⊥CD于O點(diǎn)，直線EF過(guò)O點(diǎn)，∠EOC=15°，求∠BOF的度數(shù).9、如圖，直線AB、CD、EF相交于O，且，.則_________，___________。10、如圖：于D，，則__________。11、：如圖，于D，，則________，______，__________。12、將一張長(zhǎng)方形的白紙，按如以下圖折疊，使D到D′，E到E′處，并且BD′與BE′在同一條直線上，那么AB與BC的位置關(guān)系是_________.13、如圖，107國(guó)道a上有一出口M，現(xiàn)想在附近公路b旁建一個(gè)加油站，欲使通道長(zhǎng)最短，應(yīng)沿怎樣的線路施工14、如圖，在河岸l的同側(cè)有一村莊A和自來(lái)水廠B。現(xiàn)要在河岸l上建設(shè)一抽水站D，將河中的水輸送到自來(lái)水廠后，再送往A村，為了節(jié)省資金，所鋪設(shè)的水管應(yīng)盡可能的短。問(wèn)抽水站D應(yīng)建在何處，應(yīng)沿怎樣的路線來(lái)鋪設(shè)水管?在圖中畫出來(lái).15、如圖，方案把池中的水引到C處，可過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，然后沿CD開(kāi)渠，可使所開(kāi)的渠道最短.這種設(shè)計(jì)的依據(jù)是________.16、汽車在直線形的公路上由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB兩側(cè)的兩個(gè)學(xué)校。(1)汽車行駛時(shí)，會(huì)對(duì)公路兩旁的學(xué)校都造成一定的影響，當(dāng)汽車行駛到何處時(shí)，分別對(duì)兩個(gè)學(xué)校影響最大在圖中標(biāo)出來(lái)；(2)當(dāng)汽車從A向B行駛時(shí)，在哪一段上對(duì)兩個(gè)學(xué)校影響越來(lái)越大越來(lái)越小對(duì)M學(xué)校影響逐漸減小而對(duì)N學(xué)校影響逐漸增大【隨堂練習(xí)】1、我們知道，“兩點(diǎn)之間線段最短〞，“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂直段最短〞.在此根基上，人們定義了點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到直線的距離，類似地，假設(shè)點(diǎn)P是O外一點(diǎn)(如圖5-40)，則點(diǎn)P與O的距離應(yīng)定義為()A.線段PO的長(zhǎng)度B.線段PA的長(zhǎng)度C.線段PB的長(zhǎng)度D.線段PC的長(zhǎng)度2、如以下圖的長(zhǎng)方體中，和平面AC垂直的棱有()A.2條B.4條C.6條D.8條3、如圖，直線AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，則∠DOE=___________.4、如圖，∠α與∠β有公共頂點(diǎn)，且∠α兩邊與∠β的兩邊互相垂直，∠α=∠β.試求∠α，∠β的度數(shù).5、如圖，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，則AB、AC、CD之間的大小關(guān)系是___________