高中數(shù)學(xué)圓錐曲線難題講義

高中數(shù)學(xué)圓錐曲線難題講義高中數(shù)學(xué)圓錐曲線難題講義高中數(shù)學(xué)圓錐曲線難題講義高中數(shù)學(xué)圓錐曲線難題高中數(shù)學(xué)圓錐曲線難題一．選擇題（共10小題）1．已知橢圓+=1，過右焦點F作不垂直于x軸的弦交橢圓于B兩點，AB的垂直均分線交x軸于N，則|NF|：|AB|等于（）A．B．C．D．2．設(shè)點P與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AD、BC、C1D1所在直線的距離相等，則點P的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線3．（2010?密云縣一模）如圖過拋物線2A，B，C，若|BC|=2|BF|，y=2px（p＞0）的焦點F的直線挨次交拋物線及準線于點且|AF|=3，則拋物線的方程為（）A．2B．2C．2D．2y=9xy=3xy=xy=x4．（2011?海珠區(qū)一模）一圓形紙片的圓心為原點O，點Q是圓外的必定點，A是圓周上一點，把紙片折疊使點A與點Q重合，而后睜開紙片，折痕CD與OA交于P點，當(dāng)點A運動時P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓5．（2012?武漢模擬）拋物線2，弦AB的中點M在其y=2px（p＞0）的焦點為F，A、B在拋物線上，且準線上的射影為N，則的最大值為（）A．B．C．1D．6．（2014?齊齊哈爾二模）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2，則（）?2010-2014A．跟著角度θ的增大，B．跟著角度θ的增大，C．跟著角度θ的增大，D．跟著角度θ的增大，

e1增大，e1e2為定值e1減小，e1e2為定值e1增大，e1e2也增大e1減小，e1e2也減小7．（2014?懷化三模）從（此中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為（）A．B．C．D．28．（2013?溫州二模）拋物線y=2px（p＞0）的準線交x軸于點C，焦點為F．A、B是拋物線上的兩點．己知A．B，C三點共線，且|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，直線AB的斜率為k，則有（）A．B．C．D．9．（2014?和平區(qū)模擬）在拋物線2y=x+ax﹣5（a≠0）上取橫坐標為x1=﹣4，x2=2的兩點，經(jīng)過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x22）+5y=36相切，則拋物線極點的坐標為（A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）10．（2012?安徽模擬）以下四個命題中不正確的選項是（）A．若動點P與定點A（﹣4，0）、B（4，0）連線PA、PB的斜率之積為定值，則動點P的軌跡為雙曲線的一部分B．設(shè)m，n∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，則動點的軌跡是拋物線的一部分2222與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動圓的圓心M的C．已知兩圓A：（x+1）+y=1、圓B：（x﹣1）+y=25，動圓M軌跡是橢圓D．已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，則橢圓的另一個焦點的軌跡為雙曲線二．解答題（共10小題）11．（2008?天津）已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（﹣3，0），一條漸近線的方程是．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C訂交于兩個不一樣的點M，N，且線段MN的垂直均分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．12．（2013?北京）直線y=kx+m（m≠0）與橢圓訂交于A，C兩點，O是坐標原點．（Ⅰ）當(dāng)點B的坐標為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；（Ⅱ）當(dāng)點B在W上且不是W的極點時，證明：四邊形OABC不行能為菱形．13．已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A（0，）為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關(guān)于直線y=x對稱．（1）求雙曲線C的方程；?2010-2014（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的均分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．14．（2011?安徽）設(shè)λ＞0，點A的坐標為（1，1），點B在拋物線y=x2上運動，點Q滿足，經(jīng)過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足，求點P的軌跡方程．15．（2013?南開區(qū)一模）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個極點恰好是拋物線的焦點，離心率等于．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求證：λ1+λ2為定值．16．（2013?廣東）已知拋物線C的極點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離為，設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，此中A，B為切點．（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點P在直線l上挪動時，求|AF|?|BF|的最小值．17．（2008?上海）已知雙曲線．（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）已知點M的坐標為（0，1）．設(shè)P是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點．記．求λ的取值范圍；（3）已知點D，E，M的坐標分別為（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點．記l為經(jīng)過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．18．（2011?南通三模）過拋物線2x軸于點B，交y軸于點D，點y=4x上一點A（1，2）作拋物線的切線，分別交C（異于點A）在拋物線上，點E在線段AC上，滿足=λ1；點F在線段BC上，滿足=λ，且λ，21+λ2=1線段CD與EF交于點P．?2010-2014（1）設(shè)，求λ；（2）當(dāng)點C在拋物線上挪動時，求點P的軌跡方程．19．（2013?四川）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓C的離心率：（Ⅱ）設(shè)過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．20．（2014?宜昌模擬）已知點A，B的坐標分別是（0，﹣1），（0，1），直線AM，BM訂交于點M，且它們的斜率之積﹣．（1）求點M軌跡C的方程；（2）若過點D（2，0）的直線l與（1）中的軌跡C交于不一樣的兩點E、F（E在D、F之間），試求△ODE與△ODF面積之比的取值范圍（O為坐標原點）．?2010-2014高中數(shù)學(xué)圓錐曲線難題參照答案與試題分析一．選擇題（共10小題）1．已知橢圓+=1，過右焦點F作不垂直于x軸的弦交橢圓于B兩點，AB的垂直均分線交x軸于N，則|NF|：|AB|等于（）A．B．C．D．考點：橢圓的應(yīng)用．專題：計算題；壓軸題．分析：本題合適于特值法．不如取直線的斜率為1．由此推導(dǎo)出|NF|：|AB|的值．解答：解：取直線的斜率為1．右焦點F（2，0）．直線AB的方程為y=x﹣2．聯(lián)立方程組，把y=x﹣2代入整理得14x2﹣36x﹣9=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴AB中點坐標為（），則AB的中垂線方程為，令y=0，得，∴點N的坐標（）．∴|NF|=，|AB|==，∴|NF|：|AB|=，應(yīng)選B．評論：特值法是求解選擇題和填空題的有效方法．2．設(shè)點P與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AD、BC、C1D1所在直線的距離相等，則點P的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線考點：拋物線的定義．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)AB的中點為E，CD的中點為F，過EF做一個平面EFMN與BC平行，M∈C1D1，N∈A1B1，故平面EFMN內(nèi)的點到AD和BC的距離相等．PM為P到C1D1的距離．依據(jù)P到BC的距離等于P到點M的距離，可得點P的軌跡．解答：解：由題意可得AD和BC平行且相等，設(shè)AB的中點為E，CD的中點為F，過EF做一個平面EFMN與BC平行，?2010-2014且M∈C1D1，N∈A1B1，則平面EFMN與AD也平行，故平面EFMN內(nèi)的點到AD和BC的距離相等．由正方體的性質(zhì)可得平面EFMN垂直于平面CDD1C1，故有D1C1垂直于平面EFMN，故PM為P到C1D1的距離．由此可得P到BC的距離等于P到點M的距離，故點P的軌跡是拋物線，應(yīng)選D．評論：本題主要觀察拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2010?密云縣一模）如圖過拋物線2A，B，C，若|BC|=2|BF|，y=2px（p＞0）的焦點F的直線挨次交拋物線及準線于點且|AF|=3，則拋物線的方程為（）A．22C．22xB．y=9xxD．y=3xy=y=考點：拋物線的標準方程．專題：計算題；壓軸題；數(shù)形聯(lián)合．分析：分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設(shè)|BF|=a，依據(jù)拋物線定義可知|BD|=a，從而推測出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，從而依據(jù)BD∥FG，利用比率線段的性質(zhì)可求得p，則拋物線方程可得．解答：解：如圖分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設(shè)|BF|=a，則由已知得：|BC|=2a，由定義得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，2|AE|=|AC|3+3a=6，從而得a=1，∵BD∥FG，=求得p=，2所以拋物線方程為y=3x．?2010-2014評論：本題主要觀察了拋物線的標準方程．觀察了學(xué)生對拋物線的定義和基本知識的綜合掌握．4．（2011?海珠區(qū)一模）一圓形紙片的圓心為原點O，點Q是圓外的必定點，A是圓周上一點，把紙片折疊使點A與點Q重合，而后睜開紙片，折痕CD與OA交于P點，當(dāng)點A運動時P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓考點：雙曲線的定義．專題：計算題；壓軸題；數(shù)形聯(lián)合．分析：依據(jù)CD是線段AQ的垂直均分線．可推測出|PA|=|PQ|，從而可知|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|結(jié)果為定值，從而依據(jù)雙曲線的定義推測出點P的軌跡．解答：解：由題意知，CD是線段AQ的垂直均分線|PA|=|PQ|，|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|（定值），∴依據(jù)雙曲線的定義可推測出點P軌跡是以Q、O兩點為焦點的雙曲線，應(yīng)選B．評論：本題主要觀察了雙曲線的定義的應(yīng)用，觀察了學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2012?武漢模擬）拋物線2（p＞0）的焦點為F，A、B在拋物線上，且，弦AB的中點M在其y=2px準線上的射影為N，則的最大值為（）A．B．C．1D．考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得222|AB|=a+b，從而依據(jù)基本不等式，求得|AB|的范圍，從而可得答案．解答：解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|?2010-2014在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，222配方得，|AB|22﹣2ab，|AB|=a+b=（a+b）又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣獲取|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值為．應(yīng)選A．評論：本題主要觀察拋物線的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用，觀察了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．6．（2014?齊齊哈爾二模）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2，則（）A．跟著角度θ的增大，B．跟著角度θ的增大，C．跟著角度θ的增大，D．跟著角度θ的增大，

e1增大，e1e2為定值e1減小，e1e2為定值e1增大，e1e2也增大e1減小，e1e2也減小考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：連接BD、AC，假設(shè)AD=t，依據(jù)余弦定理表示出BD，從而依據(jù)雙曲線的性質(zhì)可獲取a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后依據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷e1的單調(diào)性；相同表示出橢圓中的2的關(guān)系式，最后令e1、e2相乘即可獲取e12的關(guān)系．c'和a'表示出ee解答：解：連接BD，AC設(shè)AD=t則BD==?2010-2014∴雙曲線中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上單調(diào)減，從而可知當(dāng)θ增大時，y==減小，即e1減小∵AC=BD∴橢圓中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1應(yīng)選B．評論：本題主要觀察橢圓和雙曲線的離心率的表示，觀察考生對圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，圓錐曲線是高考的要點每年必考，平常要注意基礎(chǔ)知識的累積和練習(xí)．7．（2014?懷化三模）從（此中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為（）A．B．C．D．考點：雙曲線的標準方程；列舉法計算基本領(lǐng)件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題：計算題；壓軸題．分析：m和n的全部可能取值共有3×3=9個，此中有兩種不符合題意，故共有7種，可一一列舉，從中數(shù)出能使方程是焦點在x軸上的雙曲線的選法，即m和n都為正的選法數(shù)，最后由古典概型的概率計算公式即可得其概率解答：解：設(shè)（m，n）表示m，n的取值組合，則取值的全部狀況有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），3，﹣1），（3，2），（3，3）共7個，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合題意）此中能使方程是焦點在x軸上的雙曲線的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4個∴此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為應(yīng)選B評論：本題觀察了古典概型概率的求法，橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程，列舉法計數(shù)的技巧，正確計數(shù)是解決本題的要點?2010-201428．（2013?溫州二模）拋物線y=2px（p＞0）的準線交x軸于點C，焦點為F．A、B是拋物線上的兩點．己知A．B，C三點共線，且|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，直線AB的斜率為k，則有（）A．B．C．D．考點：橢圓的標準方程；等差數(shù)列的通項公式；直線的斜率．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：依據(jù)拋物線方程求出點C（﹣，0），可得直線AB方程為y=k（x﹣），將其與拋物線方程消去y獲取關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系獲取x1+x2和x1x2關(guān)于p、k的式子，聯(lián)合兩點間的距離公式算出|AB|=?．再利用拋物線的定義，獲取|AF|+|BF|=x1+x2+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列得出|AF|+|BF|=2|AB|，從而建立關(guān)于p、k的等式，化簡整理得?=，即可解出，獲取本題答案．解答：解：∵拋物線y2=2px的準線方程為x=﹣，∴準線與x軸的交點C坐標為（﹣，0）所以，獲取直線AB方程為y=k（x﹣），與拋物線2消去y，y=2px化簡整理，得，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系得∴|AB|==?=?=?|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，∴|AF|+|BF|=2|AB|，依據(jù)拋物線的定義得|AF|=x12，+，|BF|=x+所以，獲取x1+x2+p=2?，即+p=2?，化簡得=，約去得?=∴（1+k2）（1﹣k2）=，解之得k2=應(yīng)選：D?2010-2014評論：本題給出拋物線準線交對稱軸于點的三邊成等差數(shù)列，求直線AB系等知識點，屬于中檔題．

C，過點C的直線交拋物線于A、B兩點，A、B與焦點F構(gòu)成的三角形的斜率．側(cè)重觀察了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線地點關(guān)9．（2014?和平區(qū)模擬）在拋物線2y=x+ax﹣5（a≠0）上取橫坐標為x1=﹣4，x2=2的兩點，經(jīng)過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x22）+5y=36相切，則拋物線極點的坐標為（A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）考點：拋物線的應(yīng)用．專題：計算題；壓軸題．分析：求出兩個點的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出割線的斜率；利用導(dǎo)數(shù)在切點處的值為切線的斜率求出切點坐標；利用直線方程的點斜式求出直線方程；利用直線與圓相切的條件求出a，求出拋物線的極點坐標．解答：解：兩點坐標為（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1）兩點連線的斜率k=2關(guān)于y=x+ax﹣5y′=2x+a2x+a=a﹣2解得x=﹣1在拋物線上的切點為（﹣1，﹣a﹣4）切線方程為（a﹣2）x﹣y﹣6=0直線與圓相切，圓心（0，0）到直線的距離=圓半徑解得a=4或0（0舍去）2拋物線方程為y=x+4x﹣5極點坐標為（﹣2，﹣9）應(yīng)選A．評論：本題觀察兩點連線的斜率公式、觀察導(dǎo)數(shù)在切點處的值為切線的斜率、觀察直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑．10．（2012?安徽模擬）以下四個命題中不正確的選項是（）A．若動點P與定點A（﹣4，0）、B（4，0）連線PA、PB的斜率之積為定值，則動點P的軌跡為雙曲線的一部分B．設(shè)m，n∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，則動點的軌跡是拋物線的一部分2222M的C．已知兩圓A：（x+1）+y=1、圓B：（x﹣1）+y=25，動圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動圓的圓心軌跡是橢圓D．已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，則橢圓的另一個焦點的?2010-2014軌跡為雙曲線考點：橢圓的定義；軌跡方程．專題：證明題；壓軸題．分析：利用直譯法，求A選項中動點P的軌跡方程，從而判斷表示的曲線；利用新定義運算，利用直譯法求選項B中曲線的軌跡方程，從而判斷軌跡圖形；利用圓與圓的地點關(guān)系，利用定義法判斷選項C中動點的軌跡；利用橢圓定義，由定義法判斷D中動點的軌跡即可解答：解：A：設(shè)P（x，y），因為直線PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直線PA、PB的斜率分別是k1=，k2=，2×=，化簡得9y=4x﹣64，即（x≠±4），∴動點P的軌跡為雙曲線的一部分，A正確；22==，設(shè)P（x，y），則y=，B：∵m*n=（m+n）﹣（m﹣n），∴即y2=4ax（x≥0，y≥0），即動點的軌跡是拋物線的一部分，B正確；C：由題意可知，動圓M與定圓A相外切與定圓B相內(nèi)切MA=r+1，MB=5﹣rMA+MB=6＞AB=2∴動圓圓心M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，C正確；D設(shè)此橢圓的另一焦點的坐標D（x，y），∵橢圓過A、B兩點，則CA+DA=CB+DB，15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴橢圓的另一焦點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線一支，D錯誤應(yīng)選D評論：本題綜合觀察了求動點軌跡的兩種方法：直譯法和定義法，觀察了圓、橢圓、拋物線、雙曲線的定義，橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程，有必定難度二．解答題（共10小題）11．（2008?天津）已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（﹣3，0），一條漸近線的方程是．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C訂交于兩個不一樣的點M，N，且線段MN的垂直均分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．考點：雙曲線的應(yīng)用．專題：計算題；壓軸題．分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，依據(jù)焦點坐標及漸近線方程求出待定系數(shù)，即得雙曲線C的方程．（2）設(shè)出直線l的方程，代入雙曲線C的方程，利用鑒識式及根與系數(shù)的關(guān)系求出MN的中點坐標，從而獲取線段MN的垂直均分線方程，經(jīng)過求出直均分線與坐標軸的交點，計算圍城的三角形面積，由鑒識式大于0，求得k的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）解：設(shè)雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）．?2010-2014由題設(shè)得，解得，所以雙曲線方程為．（Ⅱ）解：設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0）．點M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標滿足方程組將①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．此方程有兩個不等實根，于是5﹣4k22（5﹣4k2）（4m2≠0，且△=（﹣8km）+4+20）＞0．22整理得m+5﹣4k＞0．③由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點坐標（x0，y0）滿足，．從而線段MN的垂直均分線方程為．此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為，．由題設(shè)可得．整理得，k≠0．將上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．解得或．所以k的取值范圍是．評論：本小題主要觀察雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎(chǔ)知識，觀察曲線和方程的關(guān)系等分析幾何的基本思想方法，觀察推理運算能力．12．（2013?北京）直線y=kx+m（m≠0）與橢圓訂交于A，C兩點，O是坐標原點．（Ⅰ）當(dāng)點B的坐標為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；（Ⅱ）當(dāng)點B在W上且不是W的極點時，證明：四邊形OABC不行能為菱形．考點：橢圓的簡單性質(zhì)；兩點間的距離公式．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（I）先依據(jù)條件得出線段OB的垂直均分線方程為y=，從而A、C的坐標為（，），依據(jù)兩點間?2010-2014的距離公式即可得出AC的長；（II）欲證明四邊形OABC不行能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數(shù)．設(shè)222與橢圓的交點，從而解得，則A、C兩點的OA=OC=r，則A、C為圓x+y=r橫坐標相等或互為相反數(shù)．于是結(jié)論得證．解答：解：（I）∵點B的坐標為（0，1），當(dāng)四邊形OABC為菱形時，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴線段OB的垂直均分線為y=，將y=代入橢圓方程得x=±，所以A、C的坐標為（，），如圖，于是AC=2．（II）欲證明四邊形OABC不行能為菱形，利用反證法，假設(shè)四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，222與橢圓的交點，設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x+y=r故22﹣1），則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數(shù)．，x=（r從而獲取點B是W的極點．這與題設(shè)矛盾．于是結(jié)論得證．評論：本題主要觀察了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的地點關(guān)系，觀察等價轉(zhuǎn)變思想，屬于基礎(chǔ)題．13．已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A（0，）為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關(guān)于直線y=x對稱．（1）求雙曲線C的方程；（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的均分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．考點：雙曲線的標準方程；軌跡方程；雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，依據(jù)題意可得k=±1，所以雙曲線C的方程為，C的一個焦點與A關(guān)于直線y=x對稱，可得雙曲線的焦點坐標從而求出雙曲線的標準方程．（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF2到T，使|QT|=|OF1|；若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點T，使|QT|=|QF1|，依據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2，再利用相關(guān)點代入法求出軌跡方程即可．?2010-2014解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx﹣y=0∵該直線與圓相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x（3分）故設(shè)雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個焦點為2222∴2a=2，a=1，∴雙曲線C的方程為x﹣y=1（6分）（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點T，使|QT|=|QF1|（8分）依據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2，所以點T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是①（10分）因為點N是線段F1T的中點，設(shè)N（x，y），T（xT，yT）則（12分）代入①并整理得點N的軌跡方程為（14分）評論：本題主要觀察雙曲線的相關(guān)性質(zhì)與定義，以及求軌跡方程的方法（如相關(guān)點代入法）．14．（2011?安徽）設(shè)λ＞0，點A的坐標為（1，1），點B在拋物線y=x2上運動，點Q滿足，經(jīng)過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足，求點P的軌跡方程．考點：拋物線的應(yīng)用；軌跡方程．專題：綜合題；壓軸題．分析：設(shè)出點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量的坐標，代入已知條件中的向量關(guān)系獲取各點的坐標關(guān)系；表示出B點的坐標；將B的坐標代入拋物線方程求出p的軌跡方程．解答：知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)P（x，y），Q（x，y0），M（x，解：由2）則x2﹣y0=λ（y﹣x2）即y0=（1+λ）x2﹣λy①?2010-2014再設(shè)B（x1，y1）由得將①代入②式得又點B在拋物線y=x2222將③代入得（1+λ）x﹣λ（1+λ）y﹣λ=（（1+λ）x﹣λ）整理得2λ（1+λ）x﹣λ（1+λ）y﹣λ（1+λ）=0因為λ＞0所以2x﹣y﹣1=0故所求的點P的軌跡方程：y=2x﹣1評論：本題觀察題中的向量關(guān)系供給點的坐標關(guān)系、求軌跡方程的重要方法：相關(guān)點法，即求出相關(guān)點的坐標，將相關(guān)點的坐標代入其滿足的方程，求出動點的軌跡方程．15．（2013?南開區(qū)一模）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個極點恰好是拋物線的焦點，離心率等于．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求證：12為定值．λ+λ考點：橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：綜合題；壓軸題．分析：的焦點，離心率等于．易求出a，b的值，獲取橢圓（1）依據(jù)橢圓C的一個極點恰好是拋物線C的方程．（2）設(shè)A、B、M點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x﹣2），而后采納“聯(lián)立方程”+“設(shè)而不求”+“韋達定理”，聯(lián)合已知中，，求出λ1+λ2值，即可獲取結(jié)論．解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b=1．（2分）∴2．∴a=5．（4分）∴橢圓C的方程為．（5分）2）設(shè)A、B、M點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．又易知F點的坐標為（2，0）．（6分）明顯直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x﹣2）．（7分）將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k2222﹣5=0．（8分））x﹣20kx+20k∴．（9分）?2010-2014又∵．（11分）∴．（12分）評論：本題觀察的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，此中依據(jù)已知條件計算出橢圓的標準方程是解答本題的要點．16．（2013?廣東）已知拋物線C的極點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離為，設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，此中A，B為切點．（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點P在直線l上挪動時，求|AF|?|BF|的最小值．考拋物線的標準方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；拋物線的簡單性質(zhì)．點：專壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．題：分（1）利用焦點到直線l：x﹣y﹣2=0的距離建立關(guān)于變量c的方程，即可解得c，從而得出拋物線C的方程；析：（2）先設(shè)，，由（1）獲取拋物線C的方程求導(dǎo)數(shù)，獲取切線PA，PB的斜率，最后利用直線AB的斜率的不一樣表示形式，即可得出直線AB的方程；（3）依據(jù)拋物線的定義，有，，從而表示出|AF|?|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，將它表示成關(guān)于y0的二次函數(shù)的形式，從而即可求出|AF|?|BF|的最小值．解解：（1）焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離，解得c=1答：2所以拋物線C的方程為x=4y（2）設(shè)，由（1）得拋物線C的方程為，，所以切線PA，PB的斜率分別為，所以PA：①PB：②聯(lián)立①②可得點P的坐標為，即，又因為切線PA的斜率為，整理得直線AB的斜率所以直線AB的方程為整理得，即?2010-2014因為點P（x0，y0）為直線l：x﹣y﹣2=0上的點，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2所以直線AB的方程為（3）依據(jù)拋物線的定義，有，所以=由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2所以=所以當(dāng)時，|AF|?|BF|的最小值為點本題以拋物線為載體，觀察拋物線的標準方程，觀察利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，觀察計算能力，有必定的評：綜合性．17．（2008?上海）已知雙曲線．（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）已知點M的坐標為（0，1）．設(shè)P是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點．記．求λ的取值范圍；（3）已知點D，E，M的坐標分別為（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點．記l為經(jīng)過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．考點：雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：計算題；壓軸題．分析：，把1換成0，就獲取它的漸近線方程．（1）在雙曲線（2）設(shè)P的坐標為（x0，y0），則Q的坐標為（﹣x0，﹣y0），先求出，而后運用向量數(shù)目積的坐標運算能夠求出λ的取值范圍．（3）依據(jù)P為雙曲線C上第一象限內(nèi)的點，可知直線l的斜率再由題設(shè)條件依據(jù)k的不同取值范圍試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．解答：，把1換成0，解：（1）在雙曲線所求漸近線方程為2）設(shè)P的坐標為（x0，y0），則Q的坐標為（﹣x0，﹣y0），=?2010-2014∵∴λ的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．3）若P為雙曲線C上第一象限內(nèi)的點，則直線l的斜率由計算可得，當(dāng)；當(dāng)∴s表示為直線l的斜率k的函數(shù)是評論：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題，解題要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)和解題技巧．18．（2011?南通三模）過拋物線2上一點A（1，2）作拋物線的切線，分別交x軸于點B，交y軸于點D，點y=4xC（異于點A）在拋物線上，點E在線段AC上，滿足1；點F在線段BC上，滿足=λ2，且λ12，=λ+λ=1線段CD與EF交于點P．（1）設(shè)，求λ；（2）當(dāng)點C在拋物線上挪動時，求點P的軌跡方程．考點：拋物線的簡單性質(zhì)；向量在幾何中的應(yīng)用．專題：綜合題；壓軸題．分析：D點，分別表示出（1）設(shè)出過A點的切線方程，確立出，，依據(jù)λ，求出λ的值．1+λ2=1（2）設(shè)C（x0，y0），P（x，y），用x0，y0表示出x，y，代入拋物線方程，從而確立P點的軌跡．解答：解：（1）過點A的切線方程為y=x+1．（1分）切線交x軸于點B（﹣1，0），交y軸交于點D（0，1），則D是AB的中點．所以．（1）（3分）由?=（1+λ）?．（2）同原由=λ1，得=（1+λ1），（3）?2010-2014=λ2，得=（1+λ）．（4）2將（2）、（3）、（4）式代入（1）得．因為E、P、F三點共線，所以+=1，再由λ1+λ2=1，解之得λ=．（6分）（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中點，所以點P為△ABC的重心．所以，x=，y=．22解得x0=3x，y0=3y﹣2，代入y0=4x0得，（3y﹣2）=12x．因為x0≠1，故x≠．所求軌跡方程為（2（x≠）．（10分）3y﹣2）=12x評論：本題以拋物線為載體，觀察曲線的軌跡方程的研究及綜合應(yīng)用能力．19．（2013?四川）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓C的離心率：（Ⅱ）設(shè)過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點