Lebesgue測度的性質(zhì)及應(yīng)用

課程設(shè)計論文Lebesgue測度的性質(zhì)及應(yīng)用2015年1月摘要本文首先Lebesgue測度的引入寫起，然后從Lebesgue外測度寫起，主要寫了外測度的定義與外測度的一些基本性質(zhì)以及外測度的一些性質(zhì)的應(yīng)用，之后聯(lián)系到Lebesgue內(nèi)測度的角度寫Lebesgue測度，并與可測集相結(jié)合寫一些Lebesgue測度的性質(zhì)，并介紹這些性質(zhì)的應(yīng)用。關(guān)鍵字：Lebesgue外測度；Lebesgue內(nèi)測度，勒貝格測度，可測集。Lebesgue測度的性質(zhì)及應(yīng)用要了解lebesgue測度我們首先來了解一下lebesgue測度是如何引入的。一、lebesgue的引入19世紀(jì)以來，微積分開始進入嚴(yán)密化的階段。1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的積分，這一理論的應(yīng)用范圍主要是連續(xù)的函數(shù)。隨著K．魏爾斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托爾(Cantor)工作的問世，在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了許多“奇怪”的函數(shù)與現(xiàn)象，致使黎曼積分理論暴露出較大的局限性。幾乎與這一理論發(fā)展的同時(1870—1880年)，人們就巳經(jīng)開展了對積分理論的改造工作。當(dāng)時，關(guān)于積分論的工作主要集中于無窮集合性質(zhì)的探討，而無處稠密的集合具有正的外“容度”性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，使集合的測度概念在積分論的研究中占有重要地位。積分的幾何意義是曲線圍成的面積，黎曼積分的定義是建立在對區(qū)間長度的分割的基礎(chǔ)上的。因此，人們自然會考慮到如何把長度、面積等概念擴充到更廣泛的集合類上，從而把積分概念置于集合測度理論的框架之中。這一思想的重要性在于使人們認(rèn)識到：集合的測度與可測性的推廣將意味著函數(shù)的積分與可積性的推廣。至此，Lebesgue引入了Lebesgue測度。實變函數(shù)論的核心內(nèi)容是建立一種較Riemann積分而言，適用范圍更廣、使用操作更為簡便的新的積分理論——Lebesgue積分，但是介紹Lebesgue積分卻不能象介紹Riemann積分那樣，一開始就定義什么是Lebesgue積分，而是需要先引入測度和可測函數(shù)概念，并且要用足夠的篇幅對它們進行討論后才能開始定義Lebesgue積分。Riemann積分具有明顯的直觀性，它的幾何意義是[a，b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)與軸所成平面曲邊梯形的面積，因此，Riemann積分的定義以及一個函數(shù)的可積性，是與相應(yīng)的平面圖形面積如何確定以及面積是否存在密切相關(guān)的。于是，如果要建立能夠適用于更大函數(shù)類的新的積分理論，首先需要把原有的面積概念加以推廣，以使得更多的點集能具有類似于面積性質(zhì)的度量。如果我們把一般空間中的點集E的度量結(jié)果，稱為E的測度，記作m(E)，那么實際上就定義了一種特殊的函數(shù)：自變量為點集E，函數(shù)值為測度m(E)。這樣的函數(shù)稱為集函數(shù)，不同的測度理論實際上就是針對點集定義的不同性質(zhì)的集函數(shù)，換而言之，對點集采用不同的度量工具導(dǎo)致了不同的測度理論。歷史上先后出現(xiàn)過多種測度理論。最早是19世紀(jì)80年代，G．Peano提出點集的內(nèi)、外測度的概念，接著1892年C．Jordan建立起Jordan可測集理論(其測度也稱為容度)，E．Borel在1898年的著作中引進了Borel集的概念，1910年Legesgue研究了其中的測度，決定性地推進了測度理論的發(fā)展，也就是通常所說的Lebesgue測度。二、Lebesgue外測度說起Lebesgue就會想起外測度的概念，在外測度中這樣定義外測度，設(shè)E為中任一點集，對于每一列覆蓋E的開區(qū)間,作出它的體積總和（可以等于，不同的區(qū)間列一般有不同的)，所有這一切的組成一個下方有界的數(shù)集，它的下確界（完全由E確定）稱為E的Lebesgue外測度，簡稱L外測度或者外測度，記為m*E,即。2.1Lebesgue外測度的基本性質(zhì)0，當(dāng)E為空集時=0;設(shè),(單調(diào)性）;(次可數(shù)可加性）。2.2Lebesgue外測度的應(yīng)用對于任何區(qū)間I有.證明：（1）設(shè)I為閉區(qū)間。對于任給ε>0,存在開區(qū)間,使得I且<|I|+ε.有外測度定義,,由ε的任意性，有.現(xiàn)在來證明.對于任給ε>0，存在一列開區(qū)間使得且.由于有限覆蓋定理，在中存在有限多個區(qū)間，不妨設(shè),,...,使得。因為,于此為區(qū)間，由初等幾何易知，故.由于ε的任意性，即得。于是。設(shè)I為任意區(qū)間。作閉區(qū)間及使得且可取為I的閉包，則。由于ε>0的任意性，即得.三、Lebesgue內(nèi)測度前面定義了外測度，對稱地，自然想到內(nèi)測度，閉集長度的定義中獲得啟發(fā)的內(nèi)測度可定義為：=sup{|F|FE,F是有界閉集}。對于有界閉集E來說，對于任意包含E的開區(qū)間I,有=|I|-.由于=|I|，及外測度的單調(diào)性和次可加性，得0和.進而，若=，則稱E是Lebesgue測度。Lebesgue測度的性質(zhì)為了解勒貝格測度，必須知道勒貝格可測集類究竟包含什么樣的點集，這是因為勒貝格測度的性質(zhì)與勒貝格可測集的性質(zhì)緊密聯(lián)系在一起。勒貝格可測集具有下述基本性質(zhì)：；若,則;若，則。等價于卡拉泰奧多里條件的引理：點集E可測的充要條件是，對于任意的，，有.證明：必要性:令,于是，。因此E可測，故卡拉泰奧多里條件成立，從而.充分性：只要驗證卡拉泰奧多里條件成立即可，對于任一點集T，令,,則有，,而且。得。S可測的充要條件是也可測。設(shè),都可測，則也可測，并且當(dāng)時，對于任意集合T總有。設(shè)都可測，則也可測，并且當(dāng)時，對于任意集合T總有。設(shè)，都可測，則也可測。設(shè)都可測，則也可測。設(shè)，都可測，則也可測。設(shè)是一列互不相交的可測集，則也是可測集，且.設(shè)是一列可測集合，則也是可測集。Lebesgue測度的應(yīng)用若集合,則存在型O型和型集H,使得,而且.證明：因,故集合為勒貝格可測的充要條件是，，存在開集,使得知，對于任意自然數(shù)n都存在開集和閉集使得,且，。令,,則O是型集，而H是型集，而且有，再由測度m的單調(diào)性，得,,然后令，即得，既.由題得，任意可測集的測度與某型集或型集的測度相等；而且，任意可測集均可表示為一個型集（或型集）與一個零測集的和。由此可知勒貝格可測集類金幣博爾雷集是從開集出發(fā)，通過取余運算、用有限次或可數(shù)次并或交運算，這個過程不超過可數(shù)多次而得到的點集，開集均可表示為互不相交的至多可數(shù)可數(shù)個構(gòu)成區(qū)間的并，而這樣的互不相交的構(gòu)成區(qū)間族與有理數(shù)的子集之間可建立意義對應(yīng)關(guān)系，因此，博雷爾全體的基數(shù)為。但是勒貝格可測集全體的基數(shù)是，實際上，一方面，；另一方面，注意到康托爾集C是零測度集，故它的所有子集都是可測集。再因,故其子集全體的基數(shù)是，從而，。有上述分析，形象的說，零測集占勒貝格可測集的絕大多數(shù)，博雷爾可測集類在勒貝格可測集類中僅占很少的一部分，但就是這很少的一部分卻起著很重要的作用，因為任意的勒貝格可測集都可表示為一個博