導數在研究函數中的應用

導數在研究函數中的應用與生活中的優(yōu)化問題舉例1．函數的單調性與導數在區(qū)間(a，b)內，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：如果

，那么函數y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果

，那么函數y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞減；如果

，那么f(x)在這個區(qū)間內為常數．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝0[思考探究]

1.若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)＞0嗎？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件？提示：

函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充分不必要條件．2．函數的極值與導數(1)函數的極小值函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側

，右側

，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函數的極大值函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側

，右側

，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．f′(x)＞0f′(x)＜03．函數的最值(1)如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟①求函數y＝f(x)在(a，b)內的

．②將函數y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．連續(xù)不斷極值端點處的函數值f(a)、f(b)[思考探究]

2.極值點一定是最值點這句話對嗎？提示：

函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是表示函數在一個區(qū)間上的情況，是對函數在整個區(qū)間上的函數值的比較．函數的極值不一定是最值，最值點也不一定是極值點．答案：

B2．若函數f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時取得極值，則a等于(

)A．2

B．3

C．4

D．5解析：

∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.答案：

D3．函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點的個數為(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：從f′(x)的圖象可知f(x)在(a，b)內從左到右的單調性依次為增→減→增→減，∴在(a，b)內有一個極小值點．答案：

A4．(2011·廣東卷)函數f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值．解析：由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，當x∈(0，2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數，當x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上為增函數，故當x＝2時，函數f(x)取得極小值．答案：

25．(2011·福建廈門外國語學校高三月考)函數f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值，最小值分別是________．解析：令f′(x)＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1或x＝2.又x∈[0，3]，∴x＝2.∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴函數的最大值為5，最小值為－15.答案：

5，－15(2011·福建卷)已知a，b為常數，且a≠0，函數f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2.(e＝2.71828…是自然對數的底數)(1)求實數b的值．(2)求函數f(x)的單調區(qū)間．解析：

(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx，從而f′(x)＝alnx.因為a≠0，故：①當a＞0時，由f′(x)＞0得x＞1；由f′(x)＜0得0＜x＜1；②當a＜0時，由f′(x)＞0得0＜x＜1；由f′(x)＜0得x＞1.綜上，當a＞0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0，1)；當a＜0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

求函數單調區(qū)間的基本步驟是：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相應的x的取值范圍．當f′(x)>0時，f(x)在相應的區(qū)間內是單調遞增函數；當f′(x)<0時，f(x)在相應的區(qū)間內是單調遞減函數．還可以通過列表，寫出函數的單調區(qū)間．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1.當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數；當x∈(－2，1)時，f′(x)<0，故f(x)在(－2，1)上為減函數；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數．從而函數f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6.求可導函數f(x)極值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近f′(x)>0，右側附近f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近f′(x)<0，右側附近f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在這個根處取得極小值．2.已知函數y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值，且其圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函數的單調區(qū)間；(2)求函數的極大值與極小值的差．(2)由(1)可知函數在x＝0時取得極大值c，在x＝2時取得極小值c－4，∴函數的極大值與極小值的差為c－(c－4)＝4.(2011·北京卷)已知函數f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值．解析：

(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)與f′(x)的變化情況如下：所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)

－ek－1

(2)當k－1≤0，即k≤1時，函數f(x)在[0，1]上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)＝－k；當0<k－1<1，即1<k<2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調遞減，在(k－1，1]上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當k－1≥1，即k≥2時，函數f(x)在[0，1]上單調遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.函數的最大(小)值是在函數極大(小)值基礎上的發(fā)展．從函數圖象上可以直觀地看出：如果在閉區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，只要把函數y＝f(x)的所有極值連同端點處的函數值進行比較，就可以求出函數的最大(小)值．于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：由上表可得，x＝4是函數f(x)在區(qū)間(3，6)內的極大值點，也是最大值點．所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)單調遞增極大值42單調遞減利用導數解決生活中的優(yōu)化問題時：(1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系表示，還要注意確定出函數關系式中自變量的定義區(qū)間．(2)一定要注意求得結果的實際意義，不符合實際的值應舍去．(3)如果目標函數在定義區(qū)間內只有一個極值點，那么根據實際意義該極值點就是最值點．4.某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經預測：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數為k(k>0)，貨款的利率為4.8%，且銀行吸收的存款能全部放貸出去，試確定當存款利率定為多少時，銀行可獲取最大收益？解析：設存款利率為x，則應有x∈(0，0.048)，依題意：存款量是kx2，銀行應支付的利息是kx3，貨款的收益是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3.由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍去)，又當0<x<0.032時，y′>0；當0.032<x<0.048時，y′<0，所以當x＝0.032時，y取得最大值，即當存款利率定為3.2%時，銀行可獲得最大收益．列表分析：可知h(x)在x＝1處有一個最小值0，當x>0且x≠1時，h(x)>0，∴h(x)＝0在(0，＋∞)上只有一個解．即當x>0時，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．x(0，1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋h(x)遞減極小值遞增研究方程的根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數的大致圖象判斷方程根的情況，這是導數這一工具在研究方程中的重要應用．將方程、不等式等有關知識和導數結合的綜合性問題主要考查綜合運用有關知識分析問題、解決問題的能力．5.已知函數f(x)＝ex＋ax，(1)設曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與直線x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值；(2)若對于任意實數x≥0，f(x)>0恒成立，試確定實數a的取值范圍．當x∈(0，1)時，Q′(x)>0，則Q(x)在(0，1)上單調遞增，當x∈(1，＋∞)時，Q′(x)<0，則Q(x)在(1，＋∞)上單調遞減．∴當x＝1時，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e，∴要使x≥0時，f(x)>0恒成立，a的取值范圍為(－e，＋∞)．1．可導函數極值存在的條件(1)可導函數的極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．(2)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．2．函數的最大值與最小值的理解最值是一個整體性概念，是指函數在給定區(qū)間(或