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文檔簡介
數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念雙遼一中高二數(shù)學(xué)組姜爽計(jì)數(shù)的需要自然數(shù)(正整數(shù)與零)解方程x+3=1整數(shù)解方程3x=5有理數(shù)解方程x2=2實(shí)數(shù)NZQR可以發(fā)現(xiàn)數(shù)系的每一次擴(kuò)充,解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能實(shí)施的矛盾,且原數(shù)集中的運(yùn)算規(guī)則在新數(shù)集中得到了保留數(shù)系的擴(kuò)充14:26解方程x2+1=0發(fā)現(xiàn)此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,說明現(xiàn)有的數(shù)集不能滿足我們的需求,那么我們必須把數(shù)集進(jìn)一步擴(kuò)充合情推理,類比擴(kuò)充情境引入14:26為了解決負(fù)數(shù)開平方問題,數(shù)學(xué)家大膽引入一個(gè)新數(shù)
i,把
i
叫做虛數(shù)單位,并且規(guī)定:(1)i2
1;(2)實(shí)數(shù)可以與
i
進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算,并且在進(jìn)行運(yùn)算時(shí),原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律)仍然成立.問題解決14:26形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),實(shí)部虛部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集,
通常用字母z表示.一般用字母C表示C={a+bi|a,bR}.復(fù)數(shù)的概念14:26如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即▲復(fù)數(shù)相等思考若14:26若2
-
3i
=
a
-
3i,求實(shí)數(shù)a的值;若8
+
5i
=
8
+
bi,求實(shí)數(shù)b的值;若4
+
bi
=
a
-
2i,求實(shí)數(shù)a,b的值。練一練14:261、復(fù)數(shù)z=a+bi2.復(fù)數(shù)集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈
R、b∈
R)能否表示實(shí)數(shù)?2.復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間有什么關(guān)系?復(fù)數(shù)的分類14:26虛數(shù)(純虛數(shù)(a=0且b≠0))復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈
R、b∈
R)實(shí)數(shù)1、若a=0,則z=a+bi(a∈
R、b∈
R)為純虛數(shù).2、若z=a+bi(a∈
R、b∈
R)為純虛數(shù),則a=0.判斷(假)(真)3、a=0是z=a+bi(a∈
R、b∈
R)為純虛數(shù)的
條件.必要不充分練一練14:26例實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)
是(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?解:(1)當(dāng),即時(shí),復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).(2)當(dāng),即時(shí),復(fù)數(shù)z是虛數(shù).(3)當(dāng)即時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).練習(xí):當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)(2)虛數(shù)(3)純虛數(shù)14:26能否找到用來表示復(fù)數(shù)的幾何模型呢?我們知道實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。x01一一對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)(形)(數(shù))實(shí)數(shù)的幾何模型:復(fù)數(shù)的幾何意義14:26復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)xy0Z(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面——復(fù)平面x軸——實(shí)軸y軸——虛軸ab(數(shù))(形)一一對(duì)應(yīng)z=a+bi一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)14:26復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)(數(shù))(形)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)xy0Z(a,b)abz=a+bi一一對(duì)應(yīng)14:26實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義:復(fù)數(shù)的模其實(shí)是實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念的推廣xOAa|a|=|OA|實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離.xOz=a+biy|z|=|OZ|復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離.的幾何意義:Z(a,b)14:26(A)在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上;(B)在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上;(C)在復(fù)平面內(nèi),實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù);(D)在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù).1.下列命題中的假命題是()D2.“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的()(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)不充分不必要條件C3.已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二、四象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.練一練1.虛數(shù)單位i的引入;2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)的分類3.幾何意義小結(jié)14:261545年意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”
卡丹
第一次開始
討論負(fù)數(shù)開平方的問題,當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”.幾乎過了100年,笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個(gè)名字——虛數(shù).但是又過了140年,歐拉還是說這種數(shù)只是存在于“幻想之中”,并用i(imaginary,即虛幻的
縮寫)來表示它的單位.后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定
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