2023-2024學年湖南省部分學校高二上學期8月聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年湖南省部分學校高二上學期8月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合U={?3,?2A.{?2,?1,0,12.復平面內(nèi)復數(shù)z所對應的點為?2,?1，則A.5 B.2 C.2 3.將一個棱長為1的正方體鐵塊磨制成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為(

)A.4π3 B.6π8 4.已知向量a=(1,1)，b=A.8 B.?8 C.2 D.5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABA.13 B.23 C.1 6.設點Px,y滿足ax+by+c=0A.

充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.過點0,?2與圓x2+y2A.15 B.14 C.?18.已知a>0，若函數(shù)fx=ax2?A.1,+∞ B.1,+∞二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知x，y是正數(shù)，且x+y=2，下列敘述正確的是

A.xy最大值為1 B.2x+2y有最大值4

C.x+10.2022年10月22日，黨的二十大勝利閉幕．為了更好的學習二十大精神，某市市委宣傳部面向全市各部門開展了二十大宣講活動．某部門為了鞏固活動成果，面向其下屬甲、乙、丙三個單位開展“領悟二十大精神”知識競賽，競賽成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50,60)，[60,70)，[70,A.a=0.03 B.眾數(shù)為80

C.第71百分位數(shù)是82 D.11.已知直線l：x?my+A.直線l的斜率可以等于0

B.若直線l與y軸的夾角為30°，則m=33或m=?33

C.直線l12.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.存在點Q，使得C1Q//A1C

B.存在

點Q，使得C1Q⊥A1C

C.對于任意點Q三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線l:x+y?1=0：與圓C14.為了得到函數(shù)y=sinx+π3的圖象，只需把函數(shù)y=cosx的圖象向15.在正四棱錐P?ABCD中，PB=AB=1，點M16.已知圓C1:x2+y2?kx?y=0和圓四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，次日離開．

(1(2)求此人在該市停留期間恰有118.(本小題12.0分)直線l過點P3,2且與x軸、y軸正半軸分別交于A

(1)若直線與直線2x(2)如圖，若AP=2PB，過點P作平行于x軸的直線交y軸于點M，動點E、F分別在線段MP和O19.(本小題12.0分)已知銳角?ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.(1)求角(2)若c=120.(本小題12.0分)

如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠AB21.(本小題12.0分)已知圓O:x2+y2=4，過點P(?22,0)的直線

(1)求直線l

的(2)?ABO的面積為S22.(本小題12.0分)已知函數(shù)f(x)(1)若函數(shù)y=f((2)記g(x)=f(x)x，若y=g答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】先求出集合

A

，再根據(jù)補集的定義即可得解．解：由

x+2x?1≤0

，得

又因為

U=?3,?2故選：C．2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

根據(jù)復數(shù)的幾何含義以及復數(shù)模長的定義計算即可．【解答】解：因為復數(shù)

z

所對應的點為

?2,?1

，所以所以

z+i所以|故選：B．3.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出該正方體的內(nèi)切球的體積即可作答．解：棱長為1的正方體鐵塊磨制成一個球體零件，當磨成的球是這個正方體的內(nèi)切球時，球體零件體積最大，此時球體的半徑為

r=12

，球體的體積為

故選：C4.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標表示即可求得

λ

．解：由

a=1,1

，

b=2,?1

因為

λa+2b⊥a?b

，所以故選：A．5.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運算及空間向量基本定理求出

x

、

y

、

z

，即可得解．解：因為

EC=2PE

所以

A=23又

AE=所以

x=13y=1故選：D．6.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)幾何意義，將所求式轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，進而研究圖像求解．解：若

x+2即點

Px,y

到直線

顯然，這兩條直線平行，如圖，

所以當點

Px,y

在與這兩條直線平行的直線上時，此時直線

ax+by+c=即

b=2a

，且

a≠0,所以“

b=2a

”是“

故選：B7.【答案】A

【解析】【分析】將圓的方程化為標準式，記點

P0,?2

，求出

PC

，在

Rt?PBC解：圓

x2+y2?2x?1=0

可化為

設

P0,?2

，切線為

PA

、

PB

在

Rt?PBC

中，

sinα故選：A．8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查利用分段函數(shù)存在最小值求參數(shù)的取值范圍，分析每支函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題．分

0<a≤12

、

12<a<1

、

a=1

、

a>1

四種情況討論，分析函數(shù)

fx

在區(qū)間

解：①當

0<a≤12

時，二次函數(shù)

fx此時函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上單調(diào)遞減，此時函數(shù)

fx=ax?1?1

在區(qū)間若使得函數(shù)

fx=ax2?x,x≤②當

12<a<1

時，二次函數(shù)

fx此時函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上的最小值為函數(shù)

fx=ax?1?1

在區(qū)間若使得函數(shù)

fx=ax2?x,x≤③當

a=1

時，函數(shù)

f則函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上的最小值為當

x∈1,+∞

此時，函數(shù)

fx=④當

a>1

時，二次函數(shù)

fx=ax此時函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上的最小值為函數(shù)

fx=ax?1?1

在區(qū)間若使得函數(shù)

fx=ax2?x,x≤1ax?綜上所述，實數(shù)

a

的取值范圍是

1,+故選：B．9.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，由基本不等式對選項逐一判斷，即可得到結果．解：

∵x

，

y

是正數(shù)，

2=x+y≥2xy

，當且僅當2x+2y≥22x?2y=2因為

(x+y)2=x+y+對于D，

1x+4y=121故選：AC10.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，小矩形面積之和為1可判斷A；利用眾數(shù)的定義可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)計算公式可判斷C；利用平均數(shù)的計算公式可判斷D．解：對于A，根據(jù)頻率分布直方圖可知，

0.010+0.015+0.040+a+0.005對于B，眾數(shù)的估計值為75，故B錯誤；對于C，前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為

0.010+0.015前四組數(shù)據(jù)的頻率之和為

0.010+0.015則設第71百分位數(shù)是

x,x所以

0.65+x?80×0.030=0.71

，解得

x對于D，由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為

0.010×10×55故選：AC11.【答案】BD【解析】【分析】本題考查直線過定點問題，直線的斜率與傾斜角的關系，直線方程的應用，屬于較易題．

根據(jù)題意由直線的相關知識，逐個分析即可．【解答】

解：當m=0時，直線l的斜率不存在，

當m≠0時，直線l的斜率為1m，不可能等于0，故A選項錯誤；

∵直線l與y軸的夾角為30°，

∴直線l的傾斜角為60°或120°，

∴直線l的斜率為1m，

∴1m=tan60°=3或1m=tan120°=?3，

∴m=33或m=?33，

故B選項正確；

直線l的方程可化為(12.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，以

A

為原點，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，對選項逐一判斷，即可得到結果．解：由題知，在正方體

ABCD?A1B1C1建立以

A

為原點，分別以

AB

，

AD

，

AAI

的方向為

x

軸、

y

軸、

z

軸的正方向的空間直角坐標系

所以

A10,0,1

，

C1,1,0

，

所以

C1Q=?1,當

C1Q=λA1C

，即

所以不存在

λ

使得

C1Q=λA1C

，即不存在點

Q

當

C1Q?A1C=?因為

A1Q=(0,所以點

Q

到

A1C

的距離為=2a?因為

QC=1,0,?a

，所以

cosQC所以三角形

A1CQ

故選：BC13.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，利用圓的弦長公式，準確計算，即可求解．解：由圓

C:x?32+y+42又由圓心

C

到直線

l:x+y?1根據(jù)圓的弦長公式，可得

AB=故答案為：

2314.【答案】右(或左)π6

(或

π6+2kπ

，

k∈Z

中的任何一個值)(或

11π6

【解析】【分析】首先變形

y=cosx=sinx解：函數(shù)

y=cosx=sinx所以

y=cosx

的圖象向右平移

π6

個單位長度，或是向右平移

π6+2kπ

或是

y=cosx=sinx所以

y=cosx

的圖象向左平移

11π6

個單位長度，或是向左平移

11π6+2k故答案為：右；

π6

(或

π6+2kπ

，

k∈Z

中的任何一個值)；或左；

11π6

(15.【答案】3【解析】【分析】作出輔助線，得到

∠BMO

為異面直線

PA

和

BM

所成的角或其補角，根據(jù)邊長求出

∠M解：如圖，連接

AC,BD

相交于

O

，連接

OM

，則

O

又

M

為

PC

的中點，所以

OM所以

∠BMO

為異面直線

PA

和又

?PCB

為等邊三角形，且邊長為1，故

又

OM=12PA=12

所以

∠MOB=90°異面直線

PA

和

BM

所成的角的余弦值為

故答案為：

3316.【答案】45【解析】【分析】利用圓與圓之間的關系求出公共直線所過的定點，將其代入

mx+ny=2

中，用

m

表示

n解：由圓

C1:x2+y可得圓

C1

和

C2

的公共弦所在的直線方程為

k聯(lián)立

x?2y=0y?1=0又因為點

M

在直線

mx+ny=2所以

n=2所以

m2+當

m=45

取等號，所以

m2+n故答案為：

45

17.【答案】解：(1)由圖看出，1日至13日這13天的時間內(nèi)，空氣質(zhì)量重度污染的是5日、8日共故此人到達當日該市空氣重度污染的概率為

213

(2)此人在該市停留兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)的所有情況為

86,25

，

25,57

，

57,143

，

143,220

，

220,160

，

160,40

，

40,217

，

217,160

，

160,121其中只有1天空氣重度污染的是

143,220

，

220,160

，

40,217

，故此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為

413

【解析】【分析】(1(2)明確此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的事件等價于此人在4日或5日或7日或18.【答案】解：(1)由題設直線

l:3x?2y+C解得

C=?5

，故直線

(2)因為

AP=2PB

，設

Aa,0

，

B0,b

即有

3?a可得

a=9

，

b=3

，

M0,2

，

梯形

AOMP

的面積為

12×2×3設

Em,2

，

Fn,0

，可得

1當

m≠n

時，直線

EF

的方程為

將

n=6?m

代入上式可得由

y?1=06y+2x?12=0

當

m=n=3

時，

EF

的方程為

x=3

，

EF

過點

3,1

【解析】【分析】(1)由題設直線

l:3x?2y+C(2)設

Aa,0

，

B0,b

，根據(jù)

AP=2PB

求出

a

、

b

，從而求出直角梯形

OAPM

的面積，設

Em,2

，

Fn,0

，依題意可得

m19.【答案】解：(1)因為

2可得

acosC由正弦定理得

sinAcos又因為

sinB=可得

3sin且

C∈0,π2

，則

sinC>0

，可得又因為

A∈0,π2

，則

A?π6∈?(2)由正弦定理

bsinB=c則

?ABC

=3因為

?ABC

為銳角三角形，故

0<C<所以

tanC>33

，則

0<所以

S?ABC

的取值范圍為

【解析】【分析】(1(2)根據(jù)題意利用正弦定理和面積公式，并結合三角恒等變換可得

S?ABC=20.【答案】解：(1)證明：四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AA1，CC1延長后交于一點，故A，C，C1，A1共面，

因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故AA?1⊥BD，

連接AC，

因為底面四邊形ABCD為菱形，故AC⊥BD，

又AA1∩AC=A，AA1，AC?平面ACC1A1，

故BD⊥平面ACC1A1，

因為CC1?平面ACC1A1，

所以BD⊥CC1；

(2)過點A作BC的垂線交BC于點N，以AN方向作為x軸，以【解析】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，二面角的求法，屬于中檔題．

(1)連接AC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到AA1⊥BD，再根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC1A1，進而證明BD⊥CC1；

(2)過點A作BC的垂線交B21.【答案】解：(1)解法一；設直線

l

的斜率為

k

，則直線

l

的方程：

y由題意知：圓心到直線的距離

d=2因為直線

l

與圓

O

相交于不重合的

A,B

兩點，且

A所以

0<22kk2+1<2

.得所以

k

的取值范圍為

?1,解法二：設直線

l

的斜率為

k

，則直線

l

的方程：

y=k聯(lián)立

y=kx+2Δ=32k4?4因為

A,B,O

三點構成三角形，所以所以

k

的取值范圍為

?1,(2)直線

l:y=k點

O

到直線

l

距離：

d=2所以

AB=所以

S=12ABd設

k2+1=t1所以

S=4所以當

1t=34

，即

t=43

，即

所以

S

的最大值為2